A november 7-i gyakorlat témája

1.) Tekintsük egy szabályos dobókocka feldobását, illetve azt a valószínűségi változót, amely megmondja mi a dobás eredménye. Határozzuk meg ennek a ξ valószínűségi változónak az F (x) eloszlásfüggvényét. Határozzuk meg a dobásértékek négyzetének az eloszlásfüggvényét.

Megoldás: Ez a ξ valószínűségi változó az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 értékek valamelyikét veszi fel, mindegyiket \frac{1}{6} valószínűséggel. Ezért annak a valószínűsége, hogy P (ξ < x) nullával egyenlő, ha x < 1. Sőt x = 1 esetében is teljesül a P (ξ < 1) = 0 azonosság, mert annak valószínűségét nézzük, hogy a ξ valószínűségi változó szigorúan kisebb mint az x szám. Ezért F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1. Ha 1 < x < 2, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt jelenti, hogy a dobás eredménye 1. Ez az állítás igaz x = 2 esetében is. Ezért F (x) = \frac{1}{6}, ha 1 < x ≤ 2. Ha 2 < x ≤ 3, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt jelenti, hogy a dobás eredménye 1 vagy 2. Ezért F (x) = \frac{2}{6}, ha 2 < x ≤ 3. Ezt a gondolatot végigkövetve kapjuk, hogy F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1, F (x) = \frac{j}{6}, ha j < x ≤ j + 1, 1 ≤ j ≤ 5, és F (x) = 1, ha 6 < x < ∞. Ha a dobások négyzetének az eloszásfüggvényére vagyunk kiváncsiak, akkor hasonlóan vizsgálhatjuk a helyzetet. Ekkor a vizsgált valószínűségi változó G(x) eloszlásfüggvénye a következő lesz: G(x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1, mert ebben annak valószínűsége, hogy a dobás értékének négyzete kisebb, mint x egy x ≤ 1 szám esetén 0. G(x) = \frac{1}{6}, ha 1 < x ≤ 4, mert az az esemény, hogy a dobás értékének négyzete kisebb mint x egy 1 < x < 4 szám esetén akkor következik be, ha a dobás értéke 1. G(x) = \frac{2}{6}, ha x < 4 ≤ 9, mert a dobás értékének a négyzete akkor kisebb, mint x egy 4 ≤ x < 9 szám esetében, ha a dobás eredménye 1 vagy 2. Hasonlóan, G(x) = \frac{3}{6}, ha 9 ≤ x < 16, G(x) = \frac{4}{6}, ha 16 ≤ x < 25, G(x) = \frac{5}{6}, ha 25 < x ≤ 36, és G(x) = 1, ha 36 < x.

2.) Ledobunk egy pontot egyenletesen a [0, 2] intervallumra, azaz annak valószínűsége, hogy a ledobott pont egy [a, b] ⊂ [0, 2] intervallumba esik \frac{b−a}{2}. Mi a ledobott pont helyének az eloszlás és sűrűségfüggvénye?

Írjuk fel a ledobott pont helyének az értékét akkor, ha az a [0, 1] intervallumba esik, de az 1 számot írjuk fel, ha a dobás értéke az [1, 2] intervallumba esik. Mi a felírt szám eloszlásfüggvénye? Mi lesz a felírt szám eloszlásfüggvénye akkor, ha abban az esetben, amikor a ledobott pont az [1, 2] intervallumba esik nullát írunk, abban az eseben, ha a [0, 1] intervallumba esik, akkor magát a számot írjuk fel?

Megoldás: Annak valószínűsége, hogy a ledobott pont ξ értéke kisebb, mint x P (ξ < x) = 0, ha x ≤ 0, P (ξ < x) = \frac{x}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, és P (ξ < x) = 1, ha x > 1. Ezért a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfügggvénye F (x) = 0, ha x ≤ 0, F (x) = \frac{x}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, és F (x) = 1, ha x > 1, azaz egy \frac{1}{2} meredekségű egyenes a [0, 2] intervallumon, és F (x) a vízszintes x = 1 egyenes az x > 2, és az x = 0 vízszintes egyenes az x < 0 félegyenesen. A ξ valószínűségi változó létező sűrűségfüggvényét megkapjuk, mint az F (x) eloszlásfüggvény deriváltját. f(x) = \frac{1}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, f(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 2. (A sűrűségfüggvény valóban létezik, mert az eloszlásfüggvény minden pontban folytonos, és két pont (az x = 0 és x = 2 pontok) kivételével mindenütt deriválható is. A felírt (véletlen) η szám G(x) eloszlásfüggvénye az első esetben P (η < x) = 0, ha −∞ < x ≤ 0, ha x ≤ 0, P (η < x) = \frac{x}{2}, ha 0 < x ≤ 1, és P (η < x) = 1, ha x > 1. Ez azt jelenti, hogy G(x) = 0, ha x ≤ 0, G(x) = \frac{x}{2}, ha x ≤ 1, (ebben hasonló a viselkedése az előbb tekintett F (x) függvényhez), de az x = 1 pontban ugrik, és G(x) = 1, ha x > 1. A második esetben tekintett véletlen szám H(x) eloszlásfüggvénye hasonlóan határozható meg. A különbség az, hogy ekkor a [0, 1] intervallumban H(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, 0 ≤ x ≤ 1. Ekkor ugyanis a felírt szám akkor lesz kisebb, mint x, 0 ≤ x ≤ 1, ha a ledobott pont vagy a [0, 1] vagy az 1, 2] intervallumba esik, és ennek valószínűsége \frac{x}{2} + \frac{1}{2}. Továbbá H(x) = 0, ha x ≤ 0, és H(x) = 1, ha x > 1.

Házi feladat:

Feldobunk egy pénzdarabot, amely p valószínűséggel esik a fej, 1−p valószínűséggel az írás oldalra kétszer egymástól függetlenül. Jelölje ξ azt a valószínűségi változót, amely a fejdobások számát adja meg. Adjuk meg a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét. Ledobunk egy pontot véletlenül egyenletes eloszlással a [0, 1] intervallumba, azaz annak valószínűsége, hogy a pont egy [a, b] ⊂ [0, 1] intervallumba esik b − a. Határozzuk meg a ledobott pont négyzetének az eloszlásfüggvényét.

3.) Egy m és σ^{2} paraméterű η normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye g(u) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{−(u−m)^{2}/2σ^{2}}, −∞ < u < ∞

Megoldás: Legyen η = σξ + m, ahol ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó. Jelölje Φ(x) a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ekkor η eloszlásfüggvénye G(x) = P (σξ + m, x) = P (ξ < \frac{x−m}{σ}) = Φ (\frac{x−m}{σ}), sűrűségfüggvénye

pedig g(x) = \frac{d}{dx}G(x) = \frac{1}{σ} \frac{dΦ(u)}{du} |_{u= \frac{x−m}{σ}} = \frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{−(u−m)^{2}/2σ^{2}}.

4.) Számítsuk ki egy az [a, b] intervallumban egyenletes eloszlású ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás:

Eξ = ∫_{a}^{b} u\frac{1}{b − a} du = \frac{1}{b − a} [\frac{u^{2}}{2} ]_{a}^{b} = \frac{b^{2} − a^{2}}{2(b − a)} = \frac{b − a}{2},

Var ξ = E (ξ − \frac{b − a}{2})^{2} = ∫_{a}^{b} (u − \frac{b − a}{2})^{2} \frac{1}{b − a} du = ∫− \frac{b−a}{2}^{\frac{b−a}{2}} \frac{u^{2}}{b − a} du

= \frac{1}{b − a} [\frac{u^{3}}{3} ]− \frac{b−a}{2}^{\frac{b−a}{2}} = \frac{2}{3(b − a)} (\frac{b − a}{2})^{3} = \frac{(b − a)^{2}}{12} .

5.) Számoljuk ki egy λ paraméterű ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Parciális integrálással kapjuk, hogy

Eξ = ∫_{0}^{∞} uλe^{−λu} du = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{∞} ue^{−u} du = \frac{1}{λ} ([−ue^{−u}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} e^{−u} du) = \frac{1}{λ},

Eξ^{2} = ∫_{0}^{∞} u^{2}λe^{−λu} du = \frac{1}{λ^{2}} ([u^{2}e^{−u}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} 2ue^{−u} du) = \frac{2}{λ^{2}} .

Ezért Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{2}{λ^{2}} − \frac{1}{λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}} .

6.) Mutassuk meg, hogy egy exponenciális eloszlású ξ valószínűségi változó teljesíti a következő úgynevezett örökifjú tulajdonságot:

P (ξ > x + y|ξ > y) = P (ξ > x)

minden x ≥ 0 és y ≥ 0 számra. Megoldás: Mivel P (ξ > u) = e^{−λu} minden u ≥ 0 számra, ezért P (ξ > x + y|ξ > y) = \frac{e^{−λ(x+y)}}{e^{−λy}} = e^{−λx} = P (ξ > x).

7.) Legyen ξ valószínűségi változó f(u) sűrűségfüggvénnyel, a és b valós számok. Határozzuk meg az η = aξ + b és ζ = ξ^{2} valószínűségi változók sűrűségfüggvényét. Megoldás: Legyen F (x) = P (ξ < x) = ∫_{−∞}^{x} f(u) du a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Ekkor az η = aξ + b valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a G(x) = P (η < x) = P (ξ < \frac{x−b}{a}) = F (\frac{x−b}{a}) függvény, ha a > 0, és G(x) = P (η < x) = P (ξ > \frac{x−b}{a}) = 1 − F (\frac{x−b}{a}), ha a < 0. Innen η sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{dG(x)}{dx} = \frac{1}{|a|}f (\frac{x−b}{a}).

A ζ = ξ^{2} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

G(x) = P (ξ^{2} < x) = P (−\sqrt{x} < ξ < \sqrt{x}) = F (\sqrt{x}) − F (−\sqrt{x}) ,

ha x ≥ 0, és G(x) = 0, ha x < 0. Innen deriválással ζ sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (f (\sqrt{x}) + f (−\sqrt{x})).

Házi feladat:

Legyen egy ξ valószínűségi változónak f(x) sűrűségfüggvénye. Számítsuk ki ξ^{3} és ξ^{4} sűrűségfüggvényét.