\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf A november 7-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip\noindent


\item{1.)}Tekints\"uk egy szab\'alyos dob\'okocka
feldob\'as\'at, illetve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
amely megmondja mi a dob\'as eredm\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Hat\'arozzuk meg a dob\'as\'ert\'ekek
n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}
Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5
\'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi fel, mindegyiket $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $P(\xi<x)$ null\'aval egyenl\H{o},
ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a $P(\xi<1)=0$
azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et n\'ezz\"uk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szigor\'uan kisebb
mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$,
akkor az $\{\oo\colon \xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a
dob\'as eredm\'enye 1. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben
is. Ez\'ert $F(x)=\frac16$, ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\colon \xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\frac26$, ha $2<x\le3$. Ezt a
gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$,
$F(x)=\frac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$, \'es $F(x)=1$, ha
$6<x<\infty$. Ha a dob\'asok n\'egyzet\'enek az
elosz\'asf\"uggv\'eny\'ere vagyunk kiv\'ancsiak, akkor hasonl\'oan
vizsg\'alhatjuk a helyzetet. Ekkor a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
a k\"ovetkez\H{o} lesz: $G(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$, mert ebben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a dob\'as \'ert\'ek\'enek n\'egyzete
kisebb, mint $x$ egy $x\le 1$ sz\'am eset\'en 0.
$G(x)=\frac16$, ha $1<x\le 4$, mert az az esem\'eny, hogy a dob\'as
\'ert\'ek\'enek n\'egyzete kisebb mint $x$ egy $1<x<4$ sz\'am eset\'en
akkor k\"ovetkezik be, ha a dob\'as \'ert\'eke 1. $G(x)=\frac26$, ha
$x<4\le 9$, mert a dob\'as \'ert\'ek\'enek a n\'egyzete akkor kisebb,
mint $x$ egy $4\le x<9$ sz\'am eset\'eben, ha a dob\'as eredm\'enye 1
vagy 2. Hasonl\'oan, $G(x)=\frac36$, ha $9\le x<16$, $G(x)=\frac46$,
ha $16\le x<25$, $G(x)=\frac56$, ha $25<x\le36$, \'es $G(x)=1$, ha
$36<x$.
\item{2.)} Ledobunk egy pontot egyenletesen a $[0,2]$ intervallumra,
azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont egy
$[a,b]\subset[0,2]$ intervallumba esik $\frac{b-a}2$. Mi a ledobott
pont hely\'enek az eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye?
\item{} \'Irjuk fel a ledobott pont hely\'enek az \'ert\'ek\'et akkor,
ha az a $[0,1]$ intervallumba esik, de az 1 sz\'amot \'{\i}rjuk fel,
ha a dob\'as \'ert\'eke az $[1,2]$ intervallumba esik. Mi a fel\'{\i}rt
sz\'am eloszl\'asf\"uggv\'enye? Mi lesz a fel\'{\i}rt sz\'am
eloszl\'asf\"uggv\'enye akkor, ha abban az esetben, amikor a ledobott
pont az $[1,2]$ intervallumba esik null\'at \'{\i}runk, abban az
eseben, ha a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor mag\'at a sz\'amot
\'{\i}rjuk fel?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont $\xi$ \'ert\'eke kisebb, mint $x$ $P(\xi<x)=0$, ha
$x\le0$, $P(\xi<x)=\frac x2$, ha $0\le x\le 2$, \'es $P(\xi<x)=1$, ha
$x>1$. Ez\'ert a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"ugggv\'enye  $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=\frac x2$, ha
$0\le x\le2$, \'es $F(x)=1$, ha $x>1$, azaz egy $\frac12$
meredeks\'eg\H{u} egyenes a $[0,2]$ intervallumon, \'es
$F(x)$ a  v\'{\i}zszintes $x=1$ egyenes az $x>2$, \'es az $x=0$
v\'{\i}zszintes egyenes az $x<0$ f\'elegyenesen.
A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o l\'etez\H{o}
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et megkapjuk, mint az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'at. $f(x)=\frac12$, ha
$0\le x\le2$, $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$. (A
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik, mert
az eloszl\'asf\"uggv\'eny minden pontban folytonos, \'es k\'et pont
(az $x=0$ \'es $x=2$ pontok) kiv\'etel\'evel minden\"utt
deriv\'alhat\'o is.
\item{} A fel\'{\i}rt (v\'eletlen) $\eta$ sz\'am $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye az els\H{o} esetben $P(\eta<x)=0$, ha
$-\infty<x\le 0$, ha $x\le0$, $P(\eta<x)=\frac x2$, ha $0<x\le 1$,
\'es $P(\eta<x)=1$, ha $x>1$. Ez azt jelenti, hogy $G(x)=0$, ha
$x\le0$, $G(x)=\frac x2$, ha $x\le1$, (ebben hasonl\'o a
viselked\'ese az el\H{o}bb tekintett $F(x)$ f\"uggv\'enyhez), de
az $x=1$ pontban ugrik, \'es $G(x)=1$, ha $x>1$.
\item{} A m\'asodik esetben tekintett v\'eletlen sz\'am $H(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye hasonl\'oan ha\-t\'a\-roz\-ha\-t\'o meg. A
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy ekkor a $[0,1]$ intervallumban $H(x)=\frac
x2+\frac12$, $0\le x\le1$. Ekkor ugyanis a fel\'{\i}rt sz\'am akkor
lesz kisebb, mint $x$, $0\le x\le 1$, ha a ledobott pont vagy a
$[0,1]$ vagy az $1,2]$ intervallumba esik, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac x2+\frac12$. Tov\'abb\'a $H(x)=0$,
ha $x\le0$, \'es $H(x)=1$, ha $x>1$.

\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'assal a
$[0,1]$ intervallumba, azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
pont egy $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik $b-a$. Hat\'arozzuk
meg a ledobott pont n\'egyzet\'enek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\medskip
\item{3.)} Egy $m$ \'es $\sigma^2$ param\'eter\H{u} $\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{{-(u-m)^2/2\sigma^2}}$,
$-\infty<u<\infty$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\eta=\sigma\xi+m$, ahol $\xi$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Jel\"olje $\Phi(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $\eta$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$G(x)=P(\sigma\xi+m,x)=P\(\xi<\frac{x-m}\sigma\)
=\Phi\(\frac{x-m}\sigma\)$, s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
pedig $g(x)=\frac d{dx} G(x)=\frac1\sigma
\left.\frac{d\Phi(u)}{du}\right|_{u=\frac{x-m}\sigma}
=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{{-(u-m)^2/2\sigma^2}}$.

\item{4.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy az $[a,b]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\int_a^b u\frac1{b-a}\,du=\frac1{b-a}\[\frac{u^2}2\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{b-a}2,
$$
$$
\align
\Var\xi&=E\(\xi-\frac{b-a}2\)^2
=\int_a^b  \(u-\frac{b-a}2\)^2\frac1{b-a}\,du
=\int_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}\frac{u^2}{b-a}\,du\\
&=\frac1{b-a}\[\frac{u^3}3\]_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}=
\frac2{3(b-a)}\(\frac{b-a}2\)^3=\frac{(b-a)^2}{12}.
\endalign
$$
\medskip
\item{5.)} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk,
hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda
u}\,du=\frac1{\lambda^2}\(\[u^2
e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2}
-\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$.
\medskip
\item{6.)} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\item{7.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\frac{x-b}a\)=1-F\(\frac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac1{|a|}f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'onak
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi^3$
\'es $\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\bye

\medskip
\item{10.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{|\sigma|}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{8.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.





\bye


\medskip
\item{3.)}  Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $a\xi+b$, $a>0$, \'es $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(u)\,du$ $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor $\eta=a\xi+b$ $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$G(x)=P(a\xi+b<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig ennek deriv\'altja, $\frac
d{dx}G(x)=\frac d{dx}F\(\frac{x-b}a\)=\frac1a f\(\frac{x-a}b\)$. A
$\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $H(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $H(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt
x)=P(\xi<\sqrt x)-P(\xi\le-\sqrt x)$, ha $x\ge0$, \'es
$H(x)=P(\xi^2<x)=0$, ha $x<0$. A $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig a $H(x)$
f\"uggv\'eny deriv\'altja, $h(x)=0$, ha $x<0$, $h(x)=\frac1{2\sqrt
x}\(f(\sqrt x)+f(-\sqrt x)\)$.



\item{7.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{|\sigma|}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.

