AZ AUGUSZTUS 27.-i DOLGOZAT FELADATAI

1. Egy éven át lottózunk. Mind az 52 héten kitöltünk egy szelvényt (90 számból kell eltalálni ötöt). Mi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkalommal lesz (pontosan) hármas találatunk?

2. Feldobunk egy szabályos pénzdarabot 102 alkalommal egymástól függetlenül. Legyen a ξ valószínűségi változó egyenlő az olyan három egymást követő dobásból álló részsorozatok számával ebben a dobássorozatban, amelyeknek mindegyik eleme fejdobás. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

3. Van két sziget, az igazmondók és a hazugok szigete. Az igazmondók szigetén mindenki 0.9 valószínűséggel igaz, a hazugok szigetén pedig 0.8 valószínűséggel hamis választ ad bármely kérdésre. Valaki éjjel a viharos tengeren hajózva eljut a két sziget valamelyikére, 1/2 valószínűséggel az igazmondók, 1/2 valószínűséggel a hazugok szigetére. Megkérdezi az első szembejövő embert, hogy az igazmondók szigetére került-e. Azt a választ kapja, hogy igen. A második embertől, akivel találkozik azt kérdezi, hogy igaz-e, hogy kétszer kettő néggyel egyenlő. Erre a kérdésre is igenlő választ kap. Mi annak a valószínűsége, hogy emberünk az igazmondók szigetére került?

4. Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyek közül ξ λ paraméterű és η μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, azaz a ξ valószínűségi változó f(·) sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f(x) = 0, ha x < 0, az η valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye g(x) = μe^{−μx}, ha x > 0, g(x) = 0, ha x < 0, továbbá λ > 0, μ > 0 és λ ≠ μ. Számítsuk ki a ξ + η összeg sűrűségfüggvényét.

5. Ledobunk 6000 pontot egymástól függetlenül egyenletes eloszlással a [0, 3] intervallumra. Azaz a ledobott pontok egy valószínűséggel a [0, 3] intervalumba esnek, és annak valószínűsége, hogy egy ledobott pont egy [a, b] ⊂ [0, 3] alakú intervallumba esik \frac{b−a}{3}. Ha egy pont a [0, 1] intervallumba esik, akkor felírjuk a ledobott pont helyének pontos értékét egy jegyzőkönyvbe, ha a pont az (1, 2] intervalumba esik, akkor az 1 számot, ha pedig a (2, 3] intervallumba esik, akkor a 2 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Adjunk jó közelítő becslést annak valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt számok összege 6900 és 7070 közé esik.

6. Legyen A, B, C, D négy esemény egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek függetlenek?