\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\nopagenumbers
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf AZ AUGUSZTUS 27.-i DOLGOZAT FELADATAI}
\bigskip

\item{1.} Egy \'even \'at lott\'ozunk. Mind az 52 h\'eten
kit\"olt\"unk egy szelv\'enyt (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni
\"ot\"ot). Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb
k\'et alkalommal lesz (pontosan) h\'armas tal\'alatunk?
\item{2.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 102 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Le\-gyen a $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenl\H{o} az olyan h\'arom 
egym\'ast k\"ovet\H{o} dob\'asb\'ol \'all\'o  r\'eszsorozatok 
sz\'am\'aval ebben a dob\'assorozatban, amelyeknek mindegyik eleme
fejdob\'as. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a 
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{3.} Van k\'et sziget, az igazmond\'ok \'es a hazugok szigete.
Az igazmond\'ok sziget\'en mindenki 0.9 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
igaz, a hazugok sziget\'en pedig 0.8 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
hamis v\'alaszt ad b\'armely k\'erd\'esre. Valaki \'ejjel a viharos
tengeren haj\'ozva eljut a k\'et sziget valamelyik\'ere, 1/2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az igazmond\'ok, 1/2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a hazugok sziget\'ere. Megk\'erdezi az
els\H{o} szembej\"ov\H{o} embert, hogy az  igazmond\'ok sziget\'ere
ker\"ult-e. Azt a v\'alaszt kapja, hogy igen. A m\'asodik embert\H{o}l,
akivel tal\'alkozik azt k\'erdezi, hogy igaz-e, hogy k\'etszer kett\H{o}
n\'eggyel egyenl\H{o}. Erre a k\'erd\'esre is igenl\H{o} v\'alaszt kap.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ember\"unk az igazmond\'ok
sziget\'ere ker\"ult?
\item{4.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$, az  $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$, $g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a
$\lambda>0$, $\mu>0$ \'es $\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi+\eta$ \"osszeg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{5.} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
egyenletes eloszl\'assal a $[0,3]$ intervallumra.  Azaz a
ledobott pontok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $[0,3]$ intervalumba esnek, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy ledobott pont egy $[a,b]\subset[0,3]$ alak\'u intervallumba
esik $\frac{b-a}3$. Ha egy pont a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
fel\'{\i}rjuk a ledobott pont hely\'enek pontos \'ert\'ek\'et egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az $(1,2]$ intervalumba esik, akkor az
1 sz\'amot, ha pedig a $(2,3]$ intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot
\'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
becsl\'est annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'amok \"osszege 6900 \'es 7070
k\"oz\'e esik.
\item{6.} Legyen $A$, $B$, $C$, $D$ n\'egy esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy ezek f\"uggetlenek?



\bye
