A JÚNIUS 11.-I VIZSGA FELADATAI

1. Valaki minden héten lottózik, és egy hetet akkor tekint sikeresnek, ha legalább két találatot ér el. (Egy szelvénnyel játszik, 90 számból kell eltalálni 5-öt, és minden lehetséges húzássorozat egyforma valószínű.) Mi annak a valószínűsége, hogy a huszadik hét a harmadik sikeres hét? (Egy viszonylag rövid formulát kérek, nem kívánom, hogy a pontos számszerű értéket kiszámolják.)

2. Adott két urna, amelyek mindegyike 20 fehér és 30 piros golyót tartalmaz. Kihúzunk egymás után 10 alkalommal mind a két urnából egy-egy golyót visszatevés nélkül. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy hány alkalommal húztunk két egyforma színű golyót. Számolja ki e valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

3. Egy diáknak egy tesztlapot kell kitöltenie a vizsgán, amelyben három lehetséges válasz közül kell választania. Egy adott kérdésre p, 0 ≤ p ≤ 1, valószínűséggel tudja a helyes választ. Ha tudja a helyes választ, akkor a jó helyet jelöli be, ha nem tudja, akkor egyforma valószínűséggel tölti ki a lehetséges három válasz valamelyikét. Mi annak a feltételes valószínűsége, hogy tudja egy kérdésre a helyes választ, feltéve hogy a kérdésre a jó választ jelölte be?

4. Legyen a ξ valószínűségi változó, sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}, −∞ < x < ∞. Számolja ki az ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

5. Ledobunk egymástól függetlenül 24 000 pontot a [0, 2] intervalumra egyenletes eloszlással, (azaz annak a valószínűsége, hogy egy ledobott pont értéke x-nél kisebb \frac{x}{2}-vel egyenlő, ha 0 ≤ x ≤ 2, eggyel egyenlő, ha x ≥ 2, és nulla, ha x ≤ 0.) Őrizzük meg azokat a ledobott pontokat, melyek értéke 1-nél kisebb, és hagyjuk el azokat, melyek értéke, nagyobb mint egy. Mi annak a valószínűsége, hogy a megörzött pontok értékeinek az összege 5900 és 6075 közé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével.

6. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} n valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek függetlenek egymástól? Legyen A_{1}, …, A_{n} n esemény egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek függetlenek egymástól?