\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A J\'UNIUS 20.-I VIZSGA FELADATAI}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at v\'egtelen sokszor feldobunk
egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} hatos dob\'ast megel\H{o}z\H{o} k\'et dob\'as \"ot\"os volt?
(Ez egyben azt a k\"ovetelm\'enyt is jelenti, hogy az els\H{o}
hatos dob\'as el\H{o}tt legal\'abb k\'et dob\'as volt.)
\item{2.} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 10 alkalommal
egym\'as ut\'an. Tekints\"uk az olyan k\'et egym\'ast
k\"ovet\H{o} dob\'asb\'ol \'all\'o p\'arok
sz\'am\'at, amelyekre mindk\'et dob\'as eredm\'enye hatos. (Ha
p\'eld\'aul az els\H{o} h\'arom dob\'as hatos, a t\"obbi pedig nem
az, akkor k\'et ilyen p\'ar van, az 1. \'es 2. illetve a 2. \'es 3.
dob\'asb\'ol \'all\'o p\'ar.) Sz\'am\'{\i}tsuk ki az ilyen
dob\'asp\'arok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{3.} Az igazmond\'ok v\'aros\'aban egy v\'eletlen\"ul
megk\'erdezett ember 0.9 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mond igazat, a
hazugok v\'aros\'aban 0.8 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hazudik.
V\'eletlen\"ul meg\-\'er\-ke\-z\"unk az egyik v\'arosba, $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az egyikbe, $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asikba. Meg\-k\'er\-de\-z\"unk egy
embert, hogy ez az igazmond\'ok v\'arosa-e, \'es azt a v\'alaszt
kapjuk, hogy nem. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az
igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk?
\item{4.} Van k\'et egy m\'eter hossz\'u botunk, amelyek mindegyik\'et
v\'eletlen\"ul elt\"orj\"uk egy\-m\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy,
hogy minden t\"or\'espont egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}. Az els\H{o}
bot hosszabb \'es a m\'asodik bot r\"ovidebb darabj\'at
\"osszeragasztjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
\'{\i}gy \"osszeragasztott bot hossza kisebb, mint 0.9 m\'eter?
\item{5.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. Feldobnak 3
szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha k\'et p\'aratlan \'es egy p\'aros
dob\'as k\"ovetkezett be, akkor annyi forintot vesz\'{\i}t\"unk,
amennyi a p\'aros dob\'as eredm\'enye. Minden egy\'eb esetben,
(teh\'at, ha nulla, egy vagy h\'arom p\'aratlan dob\'as t\"ort\'ent)
4 forintot nyer\"unk. Ezt a j\'at\'ekot j\'atsszuk 2500 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy nyerem\'enyunk 2300 \'es 2600
forint k\"oz\'e esik. 
\item{6.} Hogyan sz\'ol a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye? (Arra a
k\'erd\'esre kell v\'alaszolni, hogy  milyen tulajdons\'ag
teljes\"ul\'es\'et jelenti az, hogy f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'ara \'erv\'enyes a
nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye. Nem sz\"uks\'eges annak
a jegyzetben le\'{\i}rt, de az el\H{o}ad\'ason nem t\'argyalt
eredm\'enynek a megfogalmaz\'asa, amely megadja a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek sz\"uk\-s\'e\-ges \'es el\'eg\-s\'e\-ges
felt\'etel\'et.)
 
 
\bye
 
