\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A J\'UNIUS 29.-i VIZSGA FELADATAI}
\smallskip
 
 
 
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
v\'egtelen sokszor. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, 
hogy a hatodik h\'arommal oszthat\'o sz\'am
a harmadik h\'arommal oszthat\'o dob\'as ut\'an 20 dob\'assal 
k\'es\H{o}bb jelenik meg?
\item{2.} Legyen adva k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 9 piros \'es 6
feh\'er goly\'o. Egym\'as ut\'an 15-sz\"or kih\'uzunk egy-egy goly\'ot
mind a k\'et urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul. Te\-kint\-s\"uk azokat
a h\'uz\'asp\'arokat, amelyek sor\'an k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u}
goly\'okat h\'uztunk. Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki az ilyen h\'uz\'asp\'arok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{3.} Egy teszt-vizsg\'an, ahol k\'et lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\"oli meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
k\'et lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a fel\-t\'e\-te\-les
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, fel\-t\'e\-ve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adt\'ak?
\item{4.} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 1 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
2 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\frac1{2\sqrt{\pi}}e^{-(x-1)^2/4}$. Sz\'amoljuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi^4$
negyedik momentum\'at.
\item{5.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
elosz\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.
\item{6.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n adott $\xi_1$, $\xi_2$,\dots,
$\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egym\'ast\'ol
f\"uggetlenek?
\item{7.} Az al\'abbi n\'egy \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ul melyik helyes
\'es melyik nem:
\itemitem{a.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
azaz $\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o}
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az \"osszeg\'evel, azaz
$\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
 
 
 
\bye
