\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A M\'AJUS 25.--I VIZSGA FELADATAI}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} H\'arom h\'eten keresz\"ul lott\'ozunk, \'es minden h\'eten
kit\"olt\"unk egy szelv\'enyt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy lesz legal\'abb egyszer (pontosan) n\'egyes vagy legal\'abb 
k\'etszer (pontosan) h\'arom  tal\'alatunk tal\'alatunk?
(Lott\'oh\'uz\'askor 90 sz\'amb\'ol h\'uz\-nak ki \"ot\"ot, \'es a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} heti h\'uz\'asok eredm\'enye egym\'ast\'ol
f\"uggetlen.)
\item{2.} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 101-szer egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a k\'et egym\'ast k\"ovet\H{o} hatos
dob\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es 
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. 
\item{3.} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at, majd ezut\'an
k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at do\-bunk fel akkor, ha a dob\'as
eredm\'enye p\'aros \'es egy dob\'okock\'at, ha a dob\'as
ered\-m\'e\-nye p\'aratlan sz\'am. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} dob\'asban hatost
dobtunk, felt\'eve, hogy a m\'asodik dob\'asban  nem jelent meg
hatos dob\'as?
\item{4.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenletes eloszl\'as\'u a
$[-2,0]$, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'o 
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,2]$ intervallumban; azaz 
legyen e k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)$ \'es $g(x)$, ahol 
$f(x)=\frac12$, ha $-2\le x\le0$  \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, 
$g(x)=\frac12$, ha $0\le x\le2$, \'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. 
Sz\'amoljuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{5.} Egy nagyv\'aros \"onkorm\'anyzata d\"onteni akar, hogy
meg\'ep\'{\i}tsen-e egy sz\'{\i}nh\'azat. V\'eletlenszer\H{u}en 
kiv\'alasztanak \'es megk\'erdeznek 10~000 embert arr\'ol, hogy 
egyet\-\'er\-te\-nek-e a sz\'{\i}nh\'az\'ep\'{\i}t\'essel.
Akkor \'ep\'{\i}tik meg a sz\'{\i}nh\'azat, ha a megk\'erdezettek
k\"oz\"ott el\'eg sok el\'eg sok t\'amogat\'o szavazat gy\"ult \"ossze.
Az \"onkorm\'anyzat \'ugy akar d\"onteni a felm\'er\'es alapj\'an, hogy
legal\'abb 0.9 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel igenl\H{o} d\"ont\'est
hozzon akkor, ha a polg\'arok legal\'abb 80\%-a t\'amogatja a tervet. A
mell\'ekelt standard norm\'alis eloszl\'as t\'abl\'azat alapj\'an
hat\'arozzuk meg, hogy legal\'abb h\'any t\'amogat\'o szavazat eset\'en
d\"onts\"on az \"onkorm\'anyzat az \'ep\'{\i}t\'es mellett?
\item{6.} Mikor mondjuk, hogy $F_n$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?
 
\bye
