A DECEMBER 28-I VIZSGA FELADATAI

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó \frac{1}{2}e^{−|x|}, −∞ < x < ∞, sűrűség-

függvénnyel. Számítsa ki a ξ + η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét. 2.) Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 11 golyót

visszatevés nélkül. Számítsa ki a két egymást követő fehér—fehér golyó húzások számának a várható értékét és szórásnégyzetét.

3.) Legyen adva két ξ és η valószínűségi változó, valamint egy F ⊂ A σ-algebra egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn úgy, hogy η F-mérhető valószínűségi változó, ξ pedig független az F σ-algebrától. Számítsa ki az E(ξ^{2}η^{3} + ξη^{4}|F) feltételes várható értéket.

4.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n}, n ≥ 2, független, normális eloszlású valószínűségi változók, Eξ_{j} = m várható értékkel és σ^{2} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2}, 1 ≤ j ≤ n, szórásnégyzettel. Mutassa meg, hogy e valószínűségi változók

S̄_{n} = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} átlaga és V_{n}^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − S̄_{n})^{2} empirikus szórásnégyzete

két egymástól független valószínűségi változó. Továbbá, ES̄_{n} = m, és EV_{n}^{2} = σ^{2}. 5.) Hogyan szól a centrális határeloszlástétel általános alakja szériasorozatokra? 6.) Legyenek (ξ_{1}, η_{1}), (ξ_{2}, η_{2}), …, (ξ_{n}, η_{n}) kétváltozós véletlen vektorok egy (Ω, A, P)

valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy e véletlen vektorok függetlenek?