\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A DECEMBER 28-I VIZSGA FELADATAI}

\bigskip

\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\frac12e^{-|x|}$,
$-\infty<x<\infty$, s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 11 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a k\'et egym\'ast k\"ovet\H{o} feh\'er---feh\'er
goly\'o h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{3.)} Legyen adva k\'et $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, valamint egy
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ugy, hogy $\eta$
$\Cal F$-m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
$\xi$ pedig f\"uggetlen az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at\'ol.
Sz\'am\'{\i}tsa ki az $E(\xi^2\eta^3+\xi\eta^4|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$, $n\ge2$, f\"uggetlen, 
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$E\xi_j=m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es 
$\sigma^2=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2$, $1\le j\le n$, 
sz\'or\'asn\'egyzettel. Mutassa meg, hogy e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  
$$
\bar S_n=\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j \; \text{ \'atlaga \'es } \; 
V_n^2=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar S_n)^2 \; 
\text{ empirikus sz\'or\'asn\'egyzete}
$$
 k\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o. To\-v\'ab\-b\'a, $E\bar S_n=m$, \'es $EV_n^2=\sigma^2$.

\item{5.)} Hogyan sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'altal\'anos alakja sz\'eriasorozatokra?

\item{6.)} Legyenek $(\xi_1,\eta_1)$, $(\xi_2,\eta_2)$,\dots,
$(\xi_n,\eta_n)$ k\'etv\'altoz\'os v\'eletlen vektorok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy e v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek?

\bye



