A FEBRUÁR 1.-I VIZSGA FELADATAI

1.) Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2.) Feldobunk egy szabályos pénzdarabot egymástól függgetlenül véletlen sokszor. Legyen a dobások száma Poisson eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz annak valószínűsége, hogy k dobást végzünk legyen \frac{1}{k!}e^{−1}, k = 0, 1, 2, . . .. Mutassa meg, hogy a fej és írásdobások száma két egymástól független Poisson eloszlású valószínűségi változó λ = \frac{1}{2} paraméterrel.

3.) Legyen egy (ξ, η) véletlen vektor sűrűségfüggvénye f(x, y) = C \frac{x}{y^{4}} , ha 0 ≤ x ≤ 1, és 1 ≤ y ≤ 1 + x, és f(x, y) = 0 egyébként. Hogyan kell a C konstanst megválasztani annak érdekében, hogy f(x, y) valóban sűrűségfüggvény legyen? Számolja ki a ξ és η valószínűségi változók Cov (ξ, η) kovarianciáját.

4.) Ledobunk a [0, 4] intervallumra egymástól függetlenül 7800 pontot egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{4}, ha 0 ≤ x ≤ 4, és f(x) = 0 egyébként. Azon dobások értékeit, amelyek az [1, 3] intervallumba esnek egy jegyzőkönyvbe írjuk változtatás nélkül, azon dobások esetén, amelyek a [3, 4] intervallumba estek 4-et írunk a jegyzőkönyvbe, a [0, 1] intervallumba esett dobások esetén nem írunk a jegyzőkönyvbe semmit. Adjunk a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével jó becslést annak a valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt számok összege 15500 és 15800 közé esik.

5.) Legyen adva k-változós eloszlásfüggvényeknek egy F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, sorozata. Mikor mondjuk, hogy ezek az eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez?

6.) Legyen adva egy ξ változó és egy F, F ⊂ A, σ-algebra egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Definiálja az E(ξ|F) feltételes várható értéket. (Feltesszük, hogy létezik az E|ξ| < ∞ várható érték.)