\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A FEBRU\'AR 1.-I VIZSGA FELADATAI}

\bigskip

\item{1.)}  Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz legyen $\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot egym\'ast\'ol
f\"ugggetlen\"ul v\'eletlen sokszor. Le\-gyen a dob\'asok sz\'ama
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy $k$ dob\'ast v\'egz\"unk 
legyen $\frac1{k!}e^{-1}$, $k=0,1,2,\dots$. Mutassa meg, hogy a fej 
\'es \'{\i}r\'asdob\'asok sz\'ama k\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen 
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda=\frac12$ param\'eterrel.

\item{3.)} Legyen egy $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x,y)=C\frac x{y^4}$, ha
$0\le x\le1$, \'es $1\le y\le 1+x$, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
Hogyan kell a $C$ konstanst megv\'alasztani annak \'erdek\'eben, 
hogy $f(x,y)$ val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny legyen? 
Sz\'amolja ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok $\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{4.)} Ledobunk a $[0,4]$ intervallumra egym\'ast\'ol 
f\"uggetlen\"ul 7800 pontot egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a 
ledobott pontok hely\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
$f(x)=\frac14$, ha $0\le x\le4$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Azon 
dob\'asok \'ert\'ekeit, amelyek az $[1,3]$ intervallumba esnek egy 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rjuk v\'altoztat\'as n\'elk\"ul, azon 
dob\'asok eset\'en, amelyek a $[3,4]$ intervallumba estek 4-et 
\'{\i}runk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, a $[0,1]$ intervallumba esett 
dob\'asok eset\'en nem \'{\i}runk a jegyz\H{o}k\"onyvbe semmit.
Adjunk a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 
sz\'amok \"osszege 15500 \'es 15800 k\"oz\'e esik.


\item{5.)} Legyen adva $k$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek
egy $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, sorozata. Mikor mondjuk,
hogy ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban 
kon\-ver\-g\'al\-nak egy $F_0(x_1,\dots,x_k)$ 
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?


\item{6.)} Legyen adva egy $\xi$ v\'altoz\'o \'es egy $\Cal F$,
$\Cal F\subset \Cal A$, $\sigma$-algebra egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Defini\'alja az
$E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. (Feltessz\"uk,
hogy l\'etezik az $E|\xi|<\infty$ v\'arhat\'o \'ert\'ek.)



\bye



