\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf P\'OSA CSENGE DOLGOZAT FELADATAI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\lambda$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha
$x<0$. Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi-\eta$
k\"ul\"onbs\'eg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{2.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 11 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a k\'et egym\'ast k\"ovet\H{o} feh\'er---feh\'er
goly\'o h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{3.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at visszatev\'essel, \'es
jel\"olje $X$ az ily m\'odon kapott k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'arty\'ak
sz\'am\'at. Sz\'amolja ki az $EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{4.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, azaz legyen
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-1)^2/6}$. Sz\'amolja ki az
$E\xi^4$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{5.)} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumba egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul 3600 pontot egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal,
azaz a ledobott pontok v\'eletlen hely\'et megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\frac13$, ha
$0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe be\'{\i}rjuk minden ledobott pont
hely\'enek az \'ert\'ek\'et, ha az a $[0,2]$ intervallumban
van, \'es a 2 sz\'amot, ha a ledobott pont a $[2,3]$
intervallumba esik. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 3600 sz\'am \"osszege a
4750 \'es 4820 sz\'amok k\"oz\'e esik.

\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektor norm\'alis eloszl\'as\'u nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel?



\bye


\medskip
\centerline {\bf Megold\'asok.}

\medskip
\item{1.)} Mint a gyakorlaton megbesz\'elt\"uk, ha $\xi$ \'es $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)$ \'es $g(x)$, $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\xi-\eta$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy$, ahol $g^-(x)=g(-x)$
a $-\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Jelen feladatban
$f(x)=g(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=g(x)=0$, ha
$x<0$. \'Erdemes k\"ul\"on n\'ezni az $f*g^-(x)$ \'ert\'ek\'et az
$x>0$ \'es $x<0$ sz\'amokra. Az $x>0$ esetben
$f(y)g(y-x)=\lambda^2 e^{-\lambda y}e^{-\lambda(y-x)}
=\lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}$, ha $y\ge0$ \'es $y-x\ge0$, azaz
$y\ge x$, \'es $f(y)g(y-x)=0$, ha $y<x$. Hasonl\'oan, az $x<0$
esetben $f(y)g(y-x)=\lambda^2 e^{-\lambda y}e^{-\lambda(y-x)}
=\lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}$, ha $y\ge0$, \'es $y-x\ge0$, azaz
$y\ge 0$, \'es $f(y)g(y-x)=0$, ha $y<0$. Innen
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy
=\int_x^\infty \lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}\,dy
=\lambda^2 e^{\lambda x}\[\frac{e^{-2\lambda y}}{-2\lambda}\]_x^\infty
=\frac{\lambda}2e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es
$f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy
=\int_0^\infty \lambda^2e^{-\lambda(2y-x)}\,dy
=\lambda^2 e^{\lambda x}\[\frac{e^{-2\lambda y}}{-2\lambda}\]_0^\infty
=\frac{\lambda}2e^{\lambda x}$, ha $x\le0$. \'Igy kisz\'amoltuk a
$\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ezt \'ugy is
fel\'{\i}rhatjuk egys\'egesebb form\'aban, hogy
$\frac\lambda2e^{-\lambda|x|}$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.

\item{} Ezt a sz\'amol\'ast lehetett volna kiss\'e
egyszer\H{u}s\'{\i}teni, \'eszrev\'eve, hogy a $\xi-\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert 
elegend\H{o} azt csak az $x>0$ sz\'a\-mok\-ra kisz\'amolni.

\item{2.)} $\Cov(\xi^2,\eta)=E\xi^2\eta-E\xi^2E\eta$. Tov\'abb\'a,
$$
\align
E\xi^2\eta
&=\int x^2yf(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x^2y\,dy\)\,dx
=\int_0^1x^2\[y^2\]_0^{1-x}\,dx \\
&=\int_0^1x^2(1-2x+x^2)\,dx=\frac13-\frac12+\frac15=\frac1{30},
\endalign
$$
$E\xi^2=\int x^2f(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x^2\,dy\)\,dx
=\int_0^1 2(1-x)x^2\,dx=\frac23-\frac12=\frac16$, \'es
$E\eta=\int yf(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2y\,dy\)\,dx
=\int_0^1(1-x)^2\,dx=1-1+\frac13=\frac13$. Ez\'ert
$\Cov(\xi^2,\eta)=\frac1{30}-\frac1{18}=-\frac1{45}$.

\item{3.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\zeta_j$, $1\le j\le20$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Abban az esetben, ha $j$
p\'aratlan sz\'am, $\zeta_j=2$, ha piros goly\'ot h\'uzunk,
$\zeta_j=0$, ha feh\'er goly\'ot h\'uzunk. Abban az esetben, ha $j$
p\'aros sz\'am, $\zeta_j=-1$, ha feh\'er goly\'ot h\'uzunk,
$\zeta_j=0$, ha piros goly\'ot h\'uzunk. Ekkor minket a
$\zeta=\summ_{j=1}^{20}\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
\'erdekel. Az egyszer\H{u}bb jel\"ol\'es \'erdek\'eben vezess\"uk be
a $\xi_j=\zeta_{2j-1}$, \'es $\eta_j=\zeta_{2j}$, $1\le j\le 10$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$\zeta=\summ_{j=1}^{20}\zeta_j
=\summ_{j=1}^{10}\xi_j+\summ_{j=1}^{10}\eta_j$.

\item{} $E\xi_j=2\frac{20}{50}=\frac45$,
$E\eta_j=-\frac{30}{50}=-\frac35$, ahonnan
$E\zeta=10(E\xi_1+E\eta_1)=10$. A $\Var\zeta$ kisz\'amol\'as\'ahoz
ki kell sz\'amolnunk a $\Var\zeta_j$, azaz a $\Var\xi_j$ \'es
$\Var\eta_j$ \'es a $\Cov(\zeta_j,\zeta_k)$, azaz a
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$, $\Cov(\xi_j,\eta_k)=\Cov(\xi_k,\eta_j)$
valamint $\Cov(\eta_j,\eta_k)$ mennyis\'egeket.

\item{} $\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac85-\(\frac45\)^2
=\frac{24}{25}$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac35-\(\frac35\)^2
=\frac{6}{25}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=4\frac25\frac{19}{49}-\frac{16}{25}=\frac{-24}{1225}$,
$\Cov(\xi_j,\eta_k)=E\xi_j\eta_k-E\xi_jE\eta_k
=-2\frac25\frac{29}{49}+\frac{12}{25}=\frac{8}{1225}$,
$\Cov(\eta_j,\eta_k)=E\eta_j\eta_k-E\eta_jE\eta_k
=\frac35\frac{29}{49}-\frac{9}{25}=\frac{-6}{1225}$.
Innen $\Var\zeta=\summ_{j=1}^{20}\Var\zeta_j
+\summ_{1\le j,k\le20,\,j\neq k}\Cov(\zeta_j,\zeta_k)
=10(\Var\xi_1+\Var\eta_1)+90(\Cov(\xi_1,\xi_2)+\Cov(\eta_1,\eta_2))
+200\Cov(\xi_1,\eta_1)
=12+\frac{-90\cdot24-90\cdot 6+200\cdot8}{1225}
=12+\frac{20}{49}$.

\item{4.)} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
fel\'{\i}rhat\'o $\xi=\sqrt3\eta+1$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ez\'ert
$\xi^4=(\sqrt3\eta)^4+4(\sqrt3\eta)^3+6(\sqrt3\eta)^2+4\sqrt3\eta+1$,
ahonnan
$E\xi^4=E(\sqrt3\eta)^4+6E(\sqrt3\eta)^2+1=9E\eta^4+18E\eta^2+1
=27+18+1=46$, mert $E\eta=E\eta^3=0$, $E\eta^4=3$, $E\eta^2=1$,
mint a gyakorlaton l\'attuk.

\item{5.)}








\bye
