\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A DECEMBER 23.-I VIZSGA FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip

\item{1.)}  Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $\xi$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$,
\'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=1$
param\'eterrel, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=e^{-x}$,
ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 11 goly\'ot vissza\-te\-v\'es\-sel.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a k\'et egym\'ast k\"ovet\H{o} feh\'er---feh\'er
goly\'o h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Jel\"olje $\xi$ a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok sz\'am\'anak az
\"osszeg\'et. Sz\'amolja ki az $E\xi^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.



\item{4.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 2700 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est 
egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy  a kapott pontok \'ert\'ekeinek 
az \"osszege nagyobb, mint 15, \'es a n\'egyzet\"osszege nagyobb, 
mint 880. (A feladat \'ugy \'ertend\H{o}, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'am\'{\i}tani, hogy mind a 
k\'et esem\'eny bek\"ovetkezik.)

\item{5.)}
\itemitem{a)} Milyen tulajdons\'agokat kell teljes\'{\i}tenie egy 
egyv\'altoz\'os $F(x)$ illetve egy $k$-v\'altoz\'os $F(x_1,\dots,x_k)$ 
f\"ugg\-v\'eny\-nek ahhoz, hogy egy egy illetve $k$-v\'altoz\'os 
eloszl\'asf\"uggv\'eny legyen?
\itemitem{b)} 
Milyen felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en l\'etezik egy 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o} \'es azon 
v\'eg\-te\-len sok el\H{o}\'{\i}rt egy\"uttes eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o? A Kolmogorov-f\'ele 
alapt\'etel e k\'erd\'esr\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'eny\'enek az 
ismertet\'es\'et k\'erem. (Az el\H{o}\-ad\'a\-son ennek az 
eredm\'enynek t\"obb egym\'ashoz hasonl\'o, de nem teljesen 
ekvivalens v\'altozat\'at fogalmaztam meg. Ezek 
b\'armelyik\'enek helyes ismertet\'ese j\'o v\'alasznak 
mi\-n\H{o}\-s\"ul.)

\item{6.)} Hogyan sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
leg\'altal\'anosabb alakja sz\'eriasorozatokra? Ezen bel\"ul 
fogalmazza meg az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et \'es a 
Lindeberg felt\'etelt. Ha fel tud sorolni olyan centr\'alis 
hat\'ereloszl\'ast\'etel tipus\'u eredm\'enyeket, amelyek 
k\"ovetkeznek az \'altal\'anos esetben \'erv\'enyes centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l, akkor tegye meg. (Olyan 
eredm\'enyekr\H{o}l van sz\'o, amelyek a centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyess\'eg\'et mondj\'ak ki 
gyeng\'ebb, de jobban ellen\H{o}rizhet\H{o} felt\'etelek
mellett.)

\item{7.)} Mikor mondjuk, hogy $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy sorozata 
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'al egy $F(x)$ 
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?




\bye



