A JANUÁR 14.-I VIZSGA FELADATAI

1.) Két ember kíván találkozni. 7 óra után ξ_{1} illetve ξ_{2} perccel mind a két ember kimegy a város főterére, és 10 percig vár a másikra. Mi a valószínűsége annak, hogy a két ember találkozik, ha ξ_{1} és a ξ_{2} két egymástól független valószínűségi változó, és mind a kettő exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0?

2.) Egy szabályos dobókockát feldobunk tízszer. Jelölje ξ a páros értékű dobások

számának az összegét. Számolja ki az Eξ^{3} várható értéket. 3.) Ledobunk a [0, 4] intervallumra egymástól függetlenül 7800 pontot egyenletes elosz-

lással, azaz a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{4}, ha 0 ≤ x ≤ 4, és f(x) = 0 egyébként. Azon dobások értékeit, amelyek az [1, 3] intervallumba esnek egy jegyzőkönyvbe írjuk változtatás nélkül, azon dobások esetén, amelyek a [3, 4] intervallumba estek 4-et írunk a jegyzőkönyvbe, a [0, 1] intervallumba esett dobások esetén nem írunk a jegyzőkönyvbe semmit. Adjunk a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével jó becslést arra, hogy a jegyzőkönyvbe írt számok összege 15500 és 15800 közé esik.

4.) Egy kártyacsomag 75 kártyalapot tartalmaz, amelyek mindegyike az 1 és 75 közötti számok valamelyikével meg van számozva. Kihúzunk 40 kártyát visszatevéssel, és jelölje X az ily módon kapott különböző kártyák számát. Számolja ki az EX várható értéket.

5.) Hogyan szól a nagy számok erős és a nagy számok gyenge törvénye? (A válaszhoz hozzátartozik a törvények megfogalmazásában felhasznált fogalmak definiciójának az ismertetése is.)

6.) Hogyan szól a többváltozós centrális határeloszlástétel?