A JANUÁR 25.-I VIZSGA FELADATAI

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, ahol ξ egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon, azaz sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Az η valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye g(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a ξ + η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2.) Csodaország munkatörvénykönyve szerint egy cég minden munkása fizetett szabadságot kap azokon a napokon, amikor legalább az egyiküknek születésnapja van. Ezen napok kivételével azonban az év minden napján mindenkinek dolgoznia kell. Minden munkás 1 TV-készüléket készít egy nap alatt. Egy gyár felvesz k munkást véletlenszerűen, tehát mindegyiküknek egymástól függetlenül az év 365 napjának mindegyikében \frac{1}{365} valószínűséggel van születésnapja. Mennyi a gyár által évente elkészített TV-készülékek számának a várható értéke?

3.) Legyen egy (ξ, η) véletlen vektor sűrűségfüggvénye f(x, y) = C(x^{2} + y + \frac{x}{y^{4}} ), ha 0 ≤ x ≤ 1, és 1 ≤ y ≤ 2, f(x, y) = 0 egyébként. Hogyan kell a C konstansot megválasztani, hogy f(x, y) valóban sűrűségfüggvény legyen? Számolja ki a ξ és η valószínűségi változók Cov (ξ, η) kovarianciáját.

4.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 2700 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Adjunk jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a kapott pontok értékeinek az összege nagyobb, mint 15, és a négyzetösszege nagyobb, mint 880.

5.)

a) Milyen tulajdonságokat kell teljesítenie egy F (x_{1}, …, x_{k}) k-változós függvénynek ahhoz, hogy eloszlásfüggvény legyen?

b) Milyen feltételek teljesülése esetén létezik egy valószínűségi mező és azon végtelen sok előírt együttes eloszlású valószínűségi változó? A Kolmogorov-féle alaptétel e kérdésről szóló eredményének az ismertetését kérem. (Az előadáson ennek az eredménynek több egymáshoz hasonló, de nem teljesen ekvivalens változatát fogalmaztam meg. Ezek bármelyikének helyes ismertetése jó válasznak minősül.)

6.) Hogyan szól a centrális határeloszlástétel legáltalánosabb alakja szériasorozatokra?