\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A JANU\'AR 25.-I VIZSGA FELADATAI}

\bigskip

\item{1.)}  Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $\xi$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$,
\'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=1$
param\'eterrel, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=e^{-x}$,
ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Csodaorsz\'ag munkat\"orv\'enyk\"onyve szerint egy c\'eg
minden munk\'asa fizetett sza\-bad\-s\'a\-got kap azokon a napokon,
amikor legal\'abb az egyik\"uknek sz\"ulet\'esnapja van. Ezen napok
kiv\'etel\'evel azonban az \'ev minden napj\'an mindenkinek
dolgoznia kell. Minden munk\'as 1 TV-k\'esz\"ul\'eket k\'esz\'{\i}t
egy nap alatt. Egy  gy\'ar felvesz $k$ munk\'ast v\'eletlenszer\H{u}en,
teh\'at mindegyik\"uknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul az
\'ev 365 napj\'anak mindegyik\'eben $\frac1{365}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel van sz\"ulet\'esnapja. Mennyi a gy\'ar
\'altal \'evente elk\'esz\'{\i}tett TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'am\'anak
a v\'arhat\'o \'ert\'eke?

\item{3.)} Legyen egy $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x,y)=C(x^2+y+\frac x{y^4})$,
ha $0\le x\le1$, \'es $1\le y\le 2$, $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
Hogyan kell a $C$ konstansot megv\'alasztani, hogy $f(x,y)$ val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny legyen? Sz\'amolja ki a $\xi$
\'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\Cov(\xi,\eta)$
kovarianci\'aj\'at.

\item{4.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 2700 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est 
egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy  a kapott pontok \'ert\'ekeinek 
az \"osszege nagyobb, mint 15, \'es a n\'egyzet\"osszege nagyobb, 
mint 880.

\item{5.)}
\itemitem{a)} Milyen tulajdons\'agokat kell teljes\'{\i}tenie egy
$F(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny\-nek ahhoz, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'eny legyen?
\itemitem{b)} 
Milyen felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en l\'etezik egy 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o} \'es azon 
v\'eg\-te\-len sok el\H{o}\'{\i}rt egy\"uttes eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o? A Kolmogorov-f\'ele 
alapt\'etel e k\'erd\'esr\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'eny\'enek az 
ismertet\'es\'et k\'erem. (Az el\H{o}\-ad\'a\-son ennek az 
eredm\'enynek t\"obb egym\'ashoz hasonl\'o, de nem teljesen 
ekvivalens v\'altozat\'at fogalmaztam meg. Ezek 
b\'armelyik\'enek helyes ismertet\'ese j\'o v\'alasznak 
mi\-n\H{o}\-s\"ul.)

\item{6.)} Hogyan sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
leg\'altal\'anosabb alakja sz\'eriasorozatokra?

\bye



