A JANUÁR 29.-I VIZSGA FELADATAI ÉS KÉRDÉSEI

1.) Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki a 2ξ + ξ^{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2.) Feldobunk egy szabályos dobókockát egymás után tíz alkalommal. Jelölje ξ azon egymást követő dobások számát, amelyekre a két dobás összege hárommal egyenlő. Számolja ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

3.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó 1 várható értékkel és 2 szórás-

négyzettel. Számolja ki az Ee^{ξ} várható értéket. 4.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 2700 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledo-

bott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Adjunk jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a kapott pontok értékeinek az összege nagyobb, mint 15, és a négyzetösszege nagyobb, mint 880. (A feladat úgy értendő, hogy annak valószínűségét kell kiszámítani, hogy mind a két esemény bekövetkezik.)

5.)

a) Milyen tulajdonságokat kell teljesítenie egy egyváltozós F (x) illetve egy kváltozós F (x_{1}, …, x_{k}) függvénynek ahhoz, hogy egy egy illetve k-változós eloszlásfüggvény legyen?

b) Milyen feltételek teljesülése esetén létezik egy valószínűségi mező és azon végtelen sok előírt együttes eloszlású valószínűségi változó? A Kolmogorov-féle alaptétel e kérdésről szóló eredményének az ismertetését kérem. (Az előadáson ennek az eredménynek több egymáshoz hasonló, de nem teljesen ekvivalens változatát fogalmaztam meg. Ezek bármelyikének helyes ismertetése jó válasznak minősül.)

6.) Hogyan szól a centrális határeloszlástétel legáltalánosabb alakja szériasorozatokra? Ezen belül fogalmazza meg az egyenletes kicsiség feltételét és a Lindeberg feltételt. Ha fel tud sorolni olyan centrális hatéreloszlástétel tipusú eredményeket, amelyek következnek az általános esetben érvényes centrális határeloszlástételből, akkor tegye meg. (Olyan eredményekről van szó, amelyek a centrális határeloszlástétel érvényességét mondják ki gyengébb, de jobban ellenőrizhető feltételek mellett.)

7.) Mi egy a [0, 1] intervallumon létező Poisson folyamat definiciója? 8.) Mikor mondjuk, hogy ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók egy sorozata elosz-

lásban konvergál egy F (x) eloszlásfüggvényhez?