JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó. Legyen ξ egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Legyen η egyenletes eloszlású a [−1, 0] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye g(x) = 1, ha −1 ≤ x ≤ 0, és g(x) = 0 egyébként. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen (ξ, η) kétdimenziós véletlen vektor, amelynek eloszlása egyenletes a (0, 0), (1, 0), (0, 1) csúcspontok által meghatározott háromszögben, azaz sűrűségfügggvénye f(x, y) = 2, ha x > 0, y > 0, és x + y ≤ 1, és f(x, y) = 0 egyébként. Számoljuk ki a ξ^{2} és η valószínűségi változók Cov (ξ^{2}, η) kovarianciáját.

3.) Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevéssel 101 golyót. Jelölje ξ azon húzások számát, amikor a kihúzott golyó színe megegyezik az előzőleg kihúzott golyó színével. Számoljuk ki ξ várható értékét és szórásnégyzetét.

4.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó −1 várható értékkel és 4 szórásnégyzettel, azaz legyen a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{8π}} e^{−(x+1)^{2}/8}. Számoljuk ki az Ee^{tξ} várható értéket tetszőleges t valós számra.

5.) Az a feltételezésünk, hogy egy nálunk levő pénzdarab legalább \frac{4}{5} valószínűséggel esik a fej, és legfeljebb \frac{1}{5} valószínűséggel az írás oldalra. E feltevés ellenőrzése érdekében feldobjuk a pénzdarabot 10 000 alkalommal, és kijelölünk egy k számot úgy, hogy amennyiben legalább k darab fejdobás történt akkor elfogadjuk ezt a feltevést, ha pedig kevesebb fejdobás történt, akkor elutasítjuk. Hogyan válasszuk ezt a k számot, ha azt akarjuk, hogy feltevésünk helyessége esetén legalább 0.9 valószínűséggel döntsünk úgy, hogy igaz ez a feltevés?

6.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek a valószínűségi változók függetlenek?