VIZSGA FELADATOK

1.) Legyen ξ és η két független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ > 0 és μ > 0 paraméterekkel, amelyekre λ ≠ μ, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x > 0, és f(x) = 0, ha x < 0, és η sűrűségfüggvénye legyen g(x) = μe^{−μx}, ha x > 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Számítsa ki a ξ + η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2.) Egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 11 golyót visszatevéssel. Számítsa ki a két egymást követő fehér—fehér golyó húzások számának a várható értékét és szórásnégyzetét.

3.) Egy szabályos dobókockát feldobunk tízszer. Jelölje ξ a páros értékű dobások

számának az összegét. Számolja ki az Eξ^{3} várható értéket. 4.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 2700 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledo-

bott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Adjunk jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a kapott pontok értékeinek a négyzetösszege nagyobb, mint 880.

5.) Legyenek (ξ_{1}, η_{1}), (ξ_{2}, η_{2}), …, (ξ_{n}, η_{n}) kétváltozós véletlen vektorok egy (Ω, A, P)

valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy e véletlen vektorok függetlenek? 6.) Hogyan szól a nagy számok erős és a nagy számok gyenge törvénye? (A válaszhoz

hozzátartozik a törvények megfogalmazásában felhasznált fogalmak definiciójának az ismertetése is.)

7.) Mi a többváltozós normális eloszlás definiciója, és hogyan szól a többváltozós cent-

rális határeloszlástétel? 8.) Hogyan szól a centrális határeloszlástétel legáltalánosabb alakja szériasorozatokra?