\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf VIZSGA FELADATOK}

\bigskip



\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$ 
\'es $\mu>0$ param\'eterekkel, amelyekre $\lambda\neq\mu$, azaz 
legyen $\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye 
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x>0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$, 
\'es $\eta$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye legyen 
$g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 11 goly\'ot vissza\-te\-v\'es\-sel.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a k\'et egym\'ast k\"ovet\H{o} feh\'er---feh\'er
goly\'o h\'uz\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Jel\"olje $\xi$ a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok sz\'am\'anak az
\"osszeg\'et. Sz\'amolja ki az $E\xi^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{4.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 2700 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est 
egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy  a kapott pontok \'ert\'ekeinek 
a n\'egyzet\"osszege nagyobb, mint 880. 

\item{5.)} Legyenek $(\xi_1,\eta_1)$, $(\xi_2,\eta_2)$,\dots,
$(\xi_n,\eta_n)$ k\'etv\'altoz\'os v\'eletlen vektorok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy e v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek?

\item{6.)} Hogyan sz\'ol a nagy sz\'amok er\H{o}s \'es a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'enye? (A v\'alaszhoz hozz\'atartozik
a t\"orv\'enyek megfogalmaz\'as\'aban felhaszn\'alt fogalmak
definici\'oj\'anak az ismertet\'ese is.)

\item{7.)} Mi a t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja,
\'es hogyan sz\'ol a t\"obbv\'altoz\'os cent\-r\'a\-lis
hat\'areloszl\'ast\'etel?

\item{8.)} Hogyan sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
leg\'altal\'anosabb alakja sz\'eriasorozatokra?




\bye











\item{4.)} Ledobunk a $[0,4]$ intervallumra egym\'ast\'ol 
f\"uggetlen\"ul 5400 pontot egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a 
ledobott pontok hely\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
$f(x)=\frac14$, ha $0\le x\le4$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Azon 
dob\'asok \'ert\'ekeit, amelyek az $[1,3]$ intervallumba esnek egy 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rjuk v\'altoztat\'as n\'elk\"ul, azon 
dob\'asok eset\'en, amelyek a $[3,4]$ intervallumba estek 4-et 
\'{\i}runk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, a $[0,1]$ intervallumba esett 
dob\'asok eset\'en nem \'{\i}runk a jegyz\H{o}k\"onyvbe semmit.
Adjunk a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est arra, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe
\'{\i}rt sz\'amok \"osszege 10700 \'es 11000 k\"oz\'e esik.


