\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf AZ \'APRILIS 20.-I DOLGOZAT FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$,
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$ \'es
$\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$ cs\'ucspontok
\'altal meghat\'arozott der\'eksz\"og\H{u} h\'aromsz\"ogben, azaz
legyen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x,y)=1$ az
$x\ge0$, $y\ge0$, $x+2y\le2$ egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$(x,y)$ pontokban, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amolja
ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{3.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Mutassa meg, hogy a $\xi+\eta+\zeta$ \'es a
$\frac{\xi+\eta-2\zeta}{\xi-2\eta+\zeta}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.

\item{4.)} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
a $[0,3]$ intervallumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a
ledobott pontok hely\'enek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye legyen
$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe fel\'{\i}rjuk a ledobott pontok n\'emileg
m\'odos\'{\i}tott \'ert\'ek\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
a pont \'ert\'eket \'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az
$[1,2]$ intervallumba esik akkor az 1 sz\'amot, ha pont a $[2,3]$
intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot \'{\i}rjuk a
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\'ert\'eket annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 6000 sz\'am \"osszege 6940 \'es 7080
k\"oz\'e esik.

\item{5.)} Mi a sztochasztikus folyamat definici\'oja? Mikor mondjuk,
hogy egy sztochasztikus folyamat Gauss folyamat?

\item{6.)} Hogy sz\'ol a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel? Milyen eredm\'enyeket tanultunk, amelyek
sz\"uks\'egesek annak indokl\'as\'ahoz, hogy ez a t\'etel egy j\'ol
megfogalmazott  \'all\'{\i}t\'as?

\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}

\medskip
\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$

\item{2.)} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
$E\xi\eta=\int xy f(x,y) \,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y) \,dx\,dy$
\'es $E\eta=\int y f(x,y) \,dx\,dy$.
$$
\align
E\xi\eta&=\int_{-\infty}^\infty\int_{\-\infty}^\infty xy f(x,y)\,dx\,dy
=\int_0^2 x\(\int_0^1f(x,y)y\,dy\)\,dx\\
&=\int_0^2 x\(\int_0^{1-\frac x2}y\,dy\)\,dx
=\int_0^2 x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx
=\int_0^2 x\frac{\(1-\frac x2\)^2}2\,dx\\
&=\int_0^2\(\frac{x^2}8-\frac{x^2}2+\frac x2\)\,dx
=\frac12-\frac86+2=\frac16,
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} x\,dy\)\,dx
=\int_0^2\(x-\frac{x^2}2\)\,dx=2-\frac86=\frac23,
$$
$$
\align
E\eta&=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} y\,dy\)\,dx
=\int_0^2\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx\\
&=\int_0^2\frac{1-x+\frac{x^2}4}2\,dx=\frac13-1+1=\frac13.
\endalign
$$
Innen, $\Cov(\xi,\eta)=\frac16-\frac23\cdot\frac13=-\frac1{18}$.

\item{3.)} El\'eg azt megmutatni, hogy a $\xi+\eta+\zeta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es a
$(\xi+\eta-2\zeta,\xi-2\eta+\zeta)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlen
egym\'ast\'ol. Ez viszont az\'ert igaz, mert $(\xi+\eta+\zeta,
\xi+\eta-2\zeta,\xi-2\eta+\zeta)$ h\'aromdimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
koordin\'at\'akkal, tov\'abb\'a
$E(\xi+\eta+\zeta)(\xi+\eta-2\zeta)=0$, \'es
$E(\xi+\eta+\zeta)(\xi-2\eta+\zeta)=0$.

\item{4.)} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont \'ert\'ek\'et,
$1\le j\le 6000$, \'es
legyen $\eta_j=f(\xi_j)$, ahol az $f(x)$, $0\le x\le3$, f\"uggv\'enyt
az $f(x)=x$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=1$, ha $1\le x\le2$, \'es
$f(x)=2$, ha $2\le x\le3$ k\'epletekkel defini\'aljuk. Ekkor $\eta_j$
a $j$-ik jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'am \'ert\'eke, \'es minket
a $P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tjuk ki el\H{o}sz\"or
az $E\eta_j$ \'es $\Var\eta_j$ mennyis\'egeket.
$E\eta_j=\int_0^3\frac13f(x)\,dx=\int_0^1\frac13x\,dx+\frac13(1+2)
=\frac16+1=\frac76$,
$E\eta^2_j=\int_0^3\frac13f^2(x)\,dx
=\int_0^1\frac13x^2\,dx+\frac13(1^2+2^2)=\frac19+\frac53=\frac{16}9$,
\'es $\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac{16}9-\frac{49}{36}
=\frac{15}{36}=\frac5{12}$. Innen az $S=\summ_{j=1}^{6000}\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora $ES=7000$, \'es
$\Var S=2500=50^2$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint
$$
\align
P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)&=
P\(\frac{6940-7000}{50}\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}
\le\frac{7080-7000}{50}\)\\
&=P\(-1.2\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le1.6\)
\sim \Phi(1.6)-\Phi(-1.2)\\
&=\Phi(1.6)+\Phi(1.2)-1\sim(0.9452+0.8849-1)\sim0.83.
\endalign
$$

\item{5.)} Ha adva van egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es azon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vala\-mely $T$ halmazzal indexelt $\xi_t$ rendszere, akkor ez 
ut\'obbit sztochasztikus folyamatnak nevezz\"uk. Egy 
sztochasztikus folyamat akkor Gauss folyamat, ha a $T$ halmaz 
minden $\{t_1,\dots,t_k\}$ v\'eges r\'eszhalmaz\'ara a 
$(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_k})$ v\'eletlen vektor norm\'alis 
eloszl\'as\'u.

\item{6.)} Legyenek $(\xi_j(1),\dots,\xi_j(d))$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok, amelyek
mindegyik koordin\'at\'aj\'anak van v\'eges m\'asodik momentuma,
azaz $E\xi_k(1)^2<\infty$ minden $1\le k\le d$ indexre.
Defini\'aljuk az 
$$
S_n=(S_n(1),\dots,S_n(d_k))
=\(\summ_{j=1}^n(\xi_j(1)-E\xi_j(1)),\dots,
\summ_{j=1}^n(\xi_j(d)-E\xi_j(d))\)
$$ 
v\'eletlen vektorokat. A
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel azt
mondja ki, hogy az $\frac1{\sqrt n}S_n$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz, 
amelynek kovariancia m\'atrixa megegyezik a
$(\xi_j(1),\dots,\xi_j(d))$ v\'eletlen vektorok kovariancia
m\'atrix\'aval, ha $n\to\infty$.

\item{} Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy ez \'ertelmes \'all\'{\i}t\'as
tudnunk kell egyr\'eszt, hogy l\'etezik a k\'{\i}v\'ant kovariancia
m\'atrix-szal rendelkez\H{o} nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ez az\'ert igaz,
mert minden v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa szim\-met\-ri\-kus
\'es pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix, \'es minden pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'at\-rix\-hoz l\'etezik ilyen kovariancia m\'atrix\'u
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
(nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}) v\'eletlen vektor. M\'asr\'eszt
tudnunk kell, hogy a hat\'areloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'aroztuk. Ez abb\'ol az eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik,
amely szerint egy norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa.

\bye
