A július 2.-i vizsga feladatai

1.) Két egy méter hosszú botot véletlenszerűen, (egymástól függetlenül) egyenletes eloszlással eltörünk. A két rövidebb darabot összeragasztjuk. Mi annak a valószínűsége, hogy az így kapott új bot hossza kisebb mint 0.8 méter?

2.) Egy nagyvárosban népszavazást tartanak egy kérdésről. A város egy folyó két oldalán fekszik, és a folyó két oldalán lakóknál más mind a kérdés támogatottsága, mind a szavazási hajlandóság. A folyó baloldalán 85000 szavazópolgár lakik, az ottlakók \frac{3}{4} valószínűséggel támogatják a javaslatot, és \frac{4}{5} valószínűséggel mennek el szavazni. A folyó jobbpartján 50400 szavazópolgár lakik, az ottlakók \frac{1}{2} valószínűséggel támogatják a javaslatot, és \frac{2}{3} valószínűséggel mennek el szavazni. Az egyes lakosok véleménye és szavazási hajlandósága független egymástól. Mi annak a (közelítő) valószínűsége, hogy a leadott igen szavazatok száma nagyobb, mint a leadott nem szavazatok kétszerese plusz 1080?

3.) Legyenek ξ, η és ζ független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Bizonyítsa be, hogy a ξ + η + ζ, 3ξ − 2η − ζ és ξ + 4η − 5ζ valószínűségi változók függetlenek.

4.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számolja ki az E (\frac{ξ^{2}+1}{η^{2}+1} | η) feltételes várható értéket.

5.) Mikor mondjuk, hogy a számegyenesen definiált F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban konvergál egy F (x) eloszlásfüggvényhez, ha n → ∞? Ha több ekvivalens definiciót ismer, akkor adja meg mindegyiket.

6.) Mi a Poisson folyamat definiciója?

7.) Egy A n × n méretű négyzetes mátrixhoz mikor lehet találni olyan (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektort, amelynek ő a kovariancia mátrixa?

8.) Mikor nevezünk egy Markov láncot tranziens, rekurrens, null-rekurrens illetve pozitív rekurrensnek? Milyen eredményeket ismer, amelyek segítenek eldönteni, hogy egy Markov lánc mikor tranziens, mikor null-rekurrens és mikor pozitív rekurrens?