\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf HAT\'ARELOSZL\'AST\'ETEL POISSON HAT\'ARELOSZL\'ASSAL}

\medskip\noindent
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelhez hasonl\'oan l\'etezik
hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-sal. Ennek
\'altal\'anos alakj\'at szint\'en sz\'eriasorozatokra \'erdemes
megfogalmazni. Ez a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'ep\-pen sz\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson hat\'areloszl\'assal.}\/ {\it
Legyen adva egy
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy olyan rendszere, amelyben
az egy sorban \'all\'o (azaz ugyanolyan $k$ index-szel rendelkez\H{o})
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok tel\-je\-s\'{\i}\-tik a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
felt\'eteleket is:

\medskip
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.

\medskip
\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ v\'eletlen
\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a $\lambda$
para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$,
azaz $\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$
minden $l=0,1,2,\dots$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} \'Erts\"uk meg a feladat felt\'eteleit. Nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sz\'eriasorozatot vett\"unk, amely
teljes\'{\i}t egy az egyenletes kicsis\'eghez hasonl\'o felt\'etelt.
A 3.)~felt\'etel alapj\'an
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}P(\xi_{k,j}>0)=0$, ami
hasonl\'{\i}t az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'ehez, b\'ar
megengedi, hogy nagyon kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan nagy
\'ert\'ekeket vegyenek fel, ami miatt a sz\'or\'asn\'egyzet\"uk
nagy.

Ugyanakkor, mint azt a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel egyik
p\'eld\'aj\'anak t\'argyal\'as\'aban l\'attuk a (normaliz\'alt)
$\xi_{k,j}-E\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a
2.)~tulajdons\'ag miatt nem teljes\'{\i}tik a Lindeberg felt\'etelt.
Ez\'ert r\'ajuk nem \'erv\'enyes a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel. A 3.) felt\'etel alapj\'an mind a
$P(\xi_{k,j}=1)$ mind a $P(\xi_{k,j}\ge2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
nagyon kicsik nagy $k$ indexekre. De m\'{\i}g a $P(\xi_{k,j}\ge2)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek  `m\'asodrendben' kicsik a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)=0$
felt\'etel alapj\'an a $P(\xi_{k,j}=1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
csak `els\H{o}rendben' kicsik a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$
felt\'etel miatt. A t\'etel azt mondja ki, hogy ilyen felt\'etelek
teljes\"ul\'ese eset\'en  az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
v\'eletlen \"osszegek egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
konverg\'alnak eloszl\'asban.

\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy b\'ar form\'alis \'ertelemben az eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'at m\'as\-k\'ep\-pen defini\'altuk, abban a speci\'alis
esetben, ha mindegyik $S_k$, $k=0,1,2,\dots$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o eg\'esz \'ert\'eket
vesz fel az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aja az $S_0$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ohoz $k\to\infty$ esetben ekvivalens azzal, hogy a
$\limm_{k\to\infty}P(S_k=n)=P(S_0=n)$ rel\'aci\'o
teljes\"ul minden $n$ eg\'esz sz\'amra. Ez\'ert a
kimondott hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg
azt megmutatni, hogy az $S_k$ v\'eletlen \"osszegek
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak egy $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u $S_0$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ehez. Ennek bizony\'{\i}t\'asa azon alapul, hogy
j\'o aszimptotikus formul\'at adunk az $Ee^{it\xi_{k,j}}$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek \'ert\'ekeire.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u $S_0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye
$$
Ee^{itS_0}=\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}e^{ij t}
=e^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty \frac{(\lambda e^{it})^j}{j!}
=e^{\lambda(e^{it}-1)}.
$$
M\'asr\'eszt
$Ee^{it\xi_{k,j}}=P(\xi_{k,j}=0)+e^{it}P(\xi_{k,j}=1)+\e_{k,j}(t)$,
ahol $\e_{k,j}(t)=\summ_{l=2}^\infty P(\xi_{k,j}=l)e^{ilt}$.
Vezess\"uk be a $\delta_{k,j}=P(\xi_{k,j}\ge2)$ jel\"ol\'est. Mivel
$|\e_{k,j}(t)|\le P(\xi_{k,j}\ge2)=\delta_{k,j}$,
$P(\xi_{k,j}=0)=1-P(\xi_{k,j}=1)-P(\xi_{k,j}\ge2)
=1-\lambda_{k,j}-\delta_{k,j}$, ez\'ert
$Ee^{it\xi_{k,j}}=1-\lambda_{k,j}+e^{it}\lambda_{k,j}+\eta_{k,j}(t)$
valamely $\eta_{k,j}(t)$ mennyis\'eggel, amelyre
$|\eta_{k,j}(t)|\le2\delta_{k,j}$. Mivel $|\log(1+z)-z|\le2|z|^2$,
ha $|z|\le\frac1{10}$ (tetsz\H{o}leges $z$, $|z|\le\frac1{10}$
{\it komplex}\/ sz\'amra), \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}=0$,
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\delta_{k,j}=0$
az el\H{o}z\H{o} becsl\'esek alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
|\log Ee^{it\xi_{k,j}}-(Ee^{it\xi_{k,j}}-1)|
\le2|Ee^{it\xi_{k,j}}-1|^2,
$$
\'es mivel
$|(Ee^{it\xi_{k,j}}-1)-\lambda_{k,j}(e^{it}-1)|\le 2\delta_{k,j}$
$$
|\log Ee^{it\xi_{k,j}}-\lambda_{k,j}(e^{it}-1)|\le
2\delta_{k,j}+2|Ee^{it\xi_{k,j}}-1|^2
\le 8\lambda_{k,j}^2+4\delta_{k,j} \tag1
$$
minden $1\le j\le n_k$ indexre, ha $k\ge k_0$ valamilyen alkalmas
$k_0$ index-szel. Az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egben azt
haszn\'altuk ki, hogy
$$
|Ee^{it\xi_{k,j}}-1|^2\le
2|(Ee^{it\xi_{k,j}}-1)-\lambda_{k,j}(e^{it}-1)|^2+
2|\lambda_{k,j}(e^{it}-1)|^2\le 4\delta_{k,j}^2+8\lambda_{k,j}^2.
$$
Az (1) egyenl\H{o}tlens\'eget \"osszeadva minden $1\le j\le n_k$
indexre azt kapjuk, hogy nagy $k$ indexekre
$$
\left|\sum_{j=1}^{n_k}\log Ee^{it\xi_{k,j}}
-(e^{it}-1)\sum_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\right|
\le \sum_{j=1}^{n_k}(4\lambda_{k,j}^2+8\delta_{k,j}).
$$
Mivel $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\delta_{k,j}=0$ \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda^2_{k,j}
\le\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\cdot
\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=0$, ez\'ert
$$
\left|\sum_{j=1}^{n_k}\log Ee^{it\xi_{k,j}}
-(e^{it}-1)\sum_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\right|\to0,\quad
\text{ha }k\to\infty.
$$
Tov\'abb\'a, mivel
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$, ez\'ert
$$
\limm_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\log Ee^{it\xi_{k,j}}
=\lambda(e^{it}-1),\quad \text{ha }k\to\infty.
$$
Ez azt jelenti, hogy $\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=\limm_{k\to\infty}
\prodd_{j=1}^{n_k}Ee^{it\xi_{k,j}}=e^{\lambda(e^{it}-1)}=Ee^{itS_0}$,
\'es ezt kellett bel\'atni.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}ad\'asban a fenti
t\'etel egy gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at a gener\'atorf\"uggv\'eny
m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tottuk be. A
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny \'es gener\'ator f\"uggv\'eny 
m\'odszer alkalmaz\'asa k\"oz\"ott (nem negat\'{\i}v eg\'esz 
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
vizsg\'alat\'aban) szoros kapcsolat van. Val\'oban, legyen $\xi$ nem 
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o, $P(\xi=k)=p_k$, $0\le k<\infty$, 
$\summ_{k=0}^\infty p_k=1$. Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye $P(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$,
karakterisztikus f\"uggv\'enye pedig
$\varphi(t)=\summ_{k=0}^\infty p_ke^{ikt}$. Innen
$\varphi(t)=P(e^{it})$. Teh\'at nem negat\'{\i}v eg\'esz
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'enye megegyezik e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek az \'ert\'ek\'evel a komplex
egys\'egk\"or\"on. (A $\varphi(t)$ sz\'am a
gener\'atorf\"uggv\'eny \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o} az
abszcissza tengellyel $t$ sz\"oget bez\'ar\'o komplex
egys\'egvektoron.)

\medskip\noindent
\centerline{\bf A centr\'alis \'es t\"obbdimenzi\'os centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etellel}
\centerline{\bf kapcsolatos feladatok.}

\medskip\noindent
A t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja szerint egy
$n$-dimenzi\'os $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorra \'es egy $n\times n$ m\'eret\H{u} $A$
m\'atrixra $\xi A$ (nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u},
$n$-v\'altoz\'os) norm\'alis eloszl\'as\'u vektor. Meg akarjuk
mutatni, hogy igaz a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb 
\'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as.} {\it Tetsz\H{o}leges
$n$-dimenzi\'os $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorra \'es $m\times n$ m\'eret\H{u} $A$ m\'atrixra
$\xi A$ (nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, $m$-v\'altoz\'os)
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.}

\medskip 
Ezt meg lehet mutatni a $\xi A$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek 
a kisz\'amol\'as\'aval, de l\'assuk be ezt az \'all\'{\i}t\'ast 
k\"ozvetlen\"ul line\'aris algebrai m\'odszerekkel.

\medskip\noindent
{\it Az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa.} Feltehetj\"uk, hogy
$\xi$ $n$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mert eloszl\'asa megegyezik
egy $\bar\xi=\eta B$ v\'eletlen vektor\'eval, ahol $\eta$ standard
norm\'alis, \'es $B$ $n\times n$-es m\'atrix. Ez\'ert $\xi A$
eloszl\'asa megegyezik $\bar\xi A=\eta BA$ eloszl\'as\'aval, \'es
el\'eg az ut\'obbi v\'eletlen vektor normalit\'as\'at bel\'atni.

Ha $m=n$, akkor ez az \'all\'{\i}t\'as a norm\'alis eloszl\'as
definici\'oj\'anak a k\"ozvetlen k\"ovetkezm\'enye. Az $m>n$ eset
szint\'en egyszer\H{u}. Ekkor ugyanis a $\xi$ v\'eletlen vektort
kieg\'esz\'{\i}thetj\"uk egy $\tilde\xi=(\xi_1,\dots,\xi_m)$
$m$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorr\'a, $A$-t pedig egy $m\times m$ m\'eret\H{u} $\tilde A$
m\'atrixra az utols\'o $m-n$ sor minden elem\'et null\'anak
v\'alasztva. Ekkor $\xi A=\tilde\xi\tilde A$ $m$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor. Az $m<n$ eset vizsg\'alata
\'erdek\'eben igazolunk egy \"onmag\'aban is
\'erdekes \'es hasznos \'all\'{\i}t\'ast. Ennek \'erdek\'eben
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} Euklideszi teret.

\medskip\noindent
Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots,$ \xi_n$ $n$ f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Te\-kint\-s\"uk az \"osszes $\eta=\summ_{j=1}^n a_j\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, ahol $a_1,\dots,a_n$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok.
Az \'{\i}gy defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy $\Cal N$ Euklideszi teret alkotnak, ha e t\'er k\'et
$\eta=\summ_{j=1}^n a_j\xi_j\in \Cal N$,
$\bar\eta=\summ_{j=1}^n\bar a_j\xi_j\in \Cal N$,
elem\'enek az $A\eta+B\bar\eta$ line\'aris kombin\'aci\'oj\'at az
$A\eta+B\bar\eta=\summ_{j=1}^n (Aa_j+B\bar a_j)\xi_j)$
k\'eplettel defini\'aljuk, skal\'arszorzatukat pedig az
$(\eta,\bar\eta)=E\eta\bar\eta=\summ_{j=1}^na_j\bar a_j$
formul\'aval.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Az el\H{o}bb defini\'alt $\Cal N$ Euklideszi t\'er
elemei nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Tov\'abb\'a, ha adva van
$k$ darab $\eta_j\in\Cal N$, $1\le j\le k$, korrel\'alatlan, azaz
olyan va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, amelyekre 
$E\eta_i\eta_j=0$, ha $1\le i,j\le k$, \'es $i\neq j$, akkor 
ezek az $\eta_1,\dots,\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek (\'es norm\'alis eloszl\'as\'uak).}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Tanultuk, hogy f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege is
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ez\'ert minden
$\eta=\summ_{j=1}^n a_j\xi_j$ alak\'u, azaz $\eta\in\Cal N$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o norm\'alis eloszl\'as\'u
\'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}. Amikor be akarjuk l\'atni,
hogy az $\eta_j\in\Cal N$, $1\le j\le k$, \'es $E\eta_i\eta_j=0$,
$1\le i,j\le k$, $i\neq j$ felt\'eteleket teljes\'{\i}t\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek azt is
feltehetj\"uk (az $\eta_j$ vektorokat alkalmas konstanssal
megszorozva), hogy $E\eta_j^2=1$, $1\le j\le k$. Ekkor az
$\eta_j\in\Cal N$, $1\le j\le k$, vektorokat
kieg\'esz\'{\i}thetj\"uk egy ortonorm\'alt
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n)$ b\'aziss\'a a $\Cal N$ t\'erben.
Ekkor viszont $\eta=\xi U$ egy unit\'er $U$ m\'atrix-szal, \'es
mint tanultuk, ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, teh\'at koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek.

\medskip\noindent
{\it Az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa az $m<n$ esetben.}\/
Tekints\"uk a $\zeta=\xi A$ vektor $(\zeta_1,\dots,\zeta_m)$
koordin\'at\'ait, mint az el\H{o}bb defini\'alt $\Cal N$ Euklideszi
t\'er elemeit. Tekints\"uk az $\Cal N$ t\'er $\zeta_1,\dots,\zeta_m$ 
vektorok \'altal kifesz\'{\i}tett line\'aris alter\'et, \'es abban 
egy $\eta_1,\dots,\eta_{m'}$, $m'\le m$ ortonorm\'alt b\'azist. 
Ekkor $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_{m'})$ egy standard norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor, \'es $\zeta=\eta A'$ alkalmas $A'$ $m'\times m$
m\'eret\H{u} m\'atrix-szal. Innen k\"ovetkezik, hogy a $\zeta$ vektor 
is norm\'alis eloszl\'as\'u.


\vfill\eject

\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip

\item{1.)} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ $n$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, \'es $k$, $1\le k\le n$, eg\'esz 
sz\'am. Mutassuk meg, hogy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-v\'altoz\'os 
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ azonos 
eloszl\'as\'u egy 
$(\bar\xi_1,\dots,\bar\xi_n)=\zeta A+(m_1,\dots, m_n)$ 
vektorral, ahol $\zeta=(\zeta_1,\dots,\zeta_n)$ $n$-v\'altoz\'os 
standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, $A$ al\-kal\-mas 
$n\times n$ m\'eret\H{u} m\'atrix, \'es $(m_1,\dots,m_n)$ al\-kal\-mas 
$n$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor. Jel\"olje $B$ azt a 
$k\times n$ m\'eret\H{u} m\'atrixot, amelyet \'ugy kapunk,
hogy az $A$ m\'atrixnak csak az els\H{o} $k$ oszlop\'at \H{o}rizz\"uk
meg. Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektor azonos  eloszl\'as\'u a
$(\zeta_1,\dots,\zeta_n)B+(m_1,\dots, m_k)$ vektorral. Innen, 
illetve a feladatsor el\H{o}tt megfogalmazott \'All\'{\i}t\'asb\'ol 
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $m$
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'assal. Ekkor a
$\bar\xi=\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es az
$S_n=\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a
$\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u, $\frac1\sigma S_n$ pedig $n-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
(Ez az eredm\'eny magyar\'azza meg, hogy bizonyos statisztikai
feladatokban mi\'ert jelenik meg az $U$-eloszl\'as, amely egy
standard norm\'alis \'es egy t\H{o}le f\"uggetlen $\chi^2$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o h\'anyados\'anak az
eloszl\'asa.) 
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a
$(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektort.
Ez az el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'eny alapj\'an egy $n+1$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a
egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy
$\Cov(\bar\xi,\xi_j-\bar\xi)=\Cov(\bar\xi,\xi_j)-\Var\bar\xi=0$
minden $1\le j\le n$ indexre. Ez\'ert a
$(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor
$D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n+1$, covariancia m\'atrixa felbomlik
egy $1\times1$-es \'es $n\times n$-es m\'atrix direkt szorzat\'ara,
azaz $d_{1,j}=d_{j,1}=0$, $2\le j\le n+1$. Ez\'ert a norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorok tulajdons\'agaib\'ol, (abb\'ol, hogy
egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza a v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa \'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora) k\"ovetkezik, hogy $\bar\xi$ \'es
$(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ f\"uggetlenek, tov\'abb\'a
norm\'alis eloszl\'as\'uak. Ez\'ert a $\bar\xi$ \'es az
$S_n=\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. A $\chi^2$ statisztik\'ar\'ol
tanultak alapj\'an $S_n$ eloszl\'asa meg\-egye\-zik egy
$\chi^2(n-1)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'aval megszorozva a $\sigma$ sz\'ammal. Ez az
eredm\'eny megkaphat\'o, a $\chi^2$ statisztik\'ar\'ol sz\'ol\'o
eredm\'eny speci\'alis esetek\'ent, ha fel\'{\i}rjuk a
$(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ vektor kovariancia m\'atrix\'at.
E vektor kovarianciam\'atrixa ugyanis 
$\Cov(\xi_i-\bar\xi,\xi_j-\bar\xi)=\frac{n-2}{n^2}\Var\xi_1-
2\frac{n-1}{n^2}\Var\xi_1=-\frac1n\Var\xi_1$, ha $i\neq j$, \'es
$\Var(\xi_i-\bar\xi)=\frac{n-1}{n^2}\Var\xi_1+(1-\frac1n)^2\Var\xi_1
=(1-\frac1n)\Var\xi_1$. 
\item{} A k\"ovetkez\H{o} az el\H{o}ad\'asban bebebizony\'{\i}tott
eredm\'enyt alkalmazzuk. Egy $k$-v\'al\-to\-z\'os, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $(d(,j))$, kovariancia m\'atrix\'u
norm\'alis vektor koordin\'at\'ainak n\'egyzet\"osszege 
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u $k-1$ szabads\'agfokkal, ha 
$d(i,j)=-\sqrt{p_i}\sqrt{ p_j}$, ha $i\neq j$, \'es
$d(i,i)=1-p_i$, tov\'abb\'a $1\le p_i\le1$, $1\le i\le k$, \'es
$\summ_{i=1}^kp_i=1$, Ezt az eredm\'enyt alkalmazzuk $n=k$, 
$p_i=\frac1n$ v\'alaszt\'assal.

\item{3.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak,
azaz a $\sqrt{\frac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\frac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\frac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\frac1{12}$,
$\Var\xi=\frac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\frac1{80}-\frac1{144}=\frac1{180}$. Tov\'abb\'a
$\Cov(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\frac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{4.)} Egy n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est a v\'alaszt\'ason akkor
fogadnak el, ha egyr\'eszt t\"obben szavaztak r\'a igennel, mint
nemmel, m\'asr\'eszt az igen szavazatok sz\'ama meghaladja az
\"osszes v\'alaszt\'opolg\'arok sz\'am\'anak a $20\%$-\'at. Legyen
mondjuk, $n=5000000$ v\'a\-lasz\-t\'o\-pol\-g\'ar, mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $40\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
megy el szavazni, \'es $50\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel szavaz
igennel. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a
n\'ep\-sza\-va\-z\'as eredm\'enyek\'ent elfogadj\'ak a
n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est?
\item{} {\it Megold\'as:} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
(k\'etv\'altoz\'os) vektor\'ert\'ek\H{u} $(\xi_j,\eta_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
szavaz\'o igennel szavaz, $\xi_j=-1$, ha nemmel szavaz, \'es
$\xi_j=0$, ha nem megy el szavazni. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik szavaz\'o
igennel szavaz, $\eta_j=0$ egy\'ebk\'ent, teh\'at ha nemmel szavaz
vagy ha nem megy el szavazni. Legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j$. Ekkor minket annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, hogy mind az $S_n>0$ mind a
$T_n>0.2n$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Erre a k\'erd\'esre a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk v\'alaszolni, ha azt a
$(\xi_j,\eta_j)$ v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere alkalmazzuk.
Ekkor $E\xi_j=0$, $E\eta_j=0.2$, $\Var\xi_j=E\xi_j^2=0.4$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=0.2-0.2^2=0.16$,
$\Cov(\xi_j,\eta_j)=E\xi_j\eta_j-E\xi_jE\eta_j
=E\xi_j\eta_j=P(\xi_j=1,\eta_j=1)=0.2$. (A sz\'amol\'as utols\'o
l\'e\-p\'e\-s\'e\-ben kihaszn\'altuk, hogy $\eta_j$ k\'et \'ert\'eket
vesz fel. Tov\'abb\'a, ha $\eta_j=0$, akkor $\xi_j\eta_j=0$, \'es ha
$\eta_j=1$, akkor a $\xi_j$ \'es $\eta_j$ definici\'oja szerint $\xi_j=1$.)
Innen $\limm_{n\to\infty}P(S_n>0,T_n>0.2n)=\limm_{n\to\infty}
P\(\frac1{\sqrt n}S_n>0,\frac1{\sqrt n}(T_n-ET_n)>0\)$,
\'es ez azon $(X,Y)$ norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen
vektor \'altal meghat\'arozott $P(X>0,Y>0$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eghez tart, amely\-re $EX=EY=0$,
kovariancia m\'atrix\'at pedig a $\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$,
$\Cov(X,Y)=0.2$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg.

\item{} {\it Megjegyz\'es:} Az ebben a feladatban kapott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg valamivel nagyobb, mint $0.25$, azaz az
az \'ert\'ek, ami akkor jelenne meg, ha a hat\'areloszl\'asban
megjelen\H{o} norm\'alis elosz\'as\'u v\'eletlen vektor $X$ \'es
$Y$ koordin\'at\'ai korrel\'alatlanok, ez\'ert f\"ug\-get\-le\-nek
lenn\'enek. $0.25$ annak az (aszimptotikus)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb a sza\-va\-za\-tok
$40\%$-\'at leadt\'ak, \'es az igen szavazatok voltak
t\"obbs\'egben. De pozit\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az is
bek\"ovetkezhet, hogy az \"ossz-szavazatok sz\'ama valamivel
kevesebb, mint a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak $40\%$-a, de
ezen bel\"ul a t\"obbs\'egben lev\H{o} igennel szavaz\'ok sz\'ama
meghaladja a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak a $20\%$-\'at.

\medskip
\item{5.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'aban
megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, azaz egy olyan
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi,\eta)$ v\'eletlen
vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, amelyre $E\xi=E\eta=0$,
$\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$, $\Cov(X,Y)=0.2$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki a tekintett v\'eletlen
vektor kovariancia m\'atrix\'anak a determin\'ans\'at \'es
inverz\'et. A determin\'ans \'ert\'eke
$\Var\xi\Var\eta-(\Cov(\xi,\eta))^2=0.4\cdot0.16-0.2^2=0.024$,
az inverz m\'atrix olyan $D=\(\matrix A& B\\ B& C\endmatrix\)$
m\'atrix amelyre $A=\frac{0.16}{0.024}=\frac{160}{24}=\frac{20}3$,
$C=\frac{0.4}{0.024}=\frac{50}3$,
$B=-\frac{0.2}{0.024}=-\frac{25}3$. Innen a keresett
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'ert\'eke
$$
f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{\det D}}e^{-(Ax^2+Cy^2+2Bxy)/2}
=\frac{\sqrt{15}}{50\pi}\exp\left\{-\frac53(2x^2+5y^2-5xy)\right\}.
$$
Innen az is k\"ovetkezik, hogy az el\H{o}z\H{o} feladat
megold\'as\'at megad\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\int_0^\infty\int_0^\infty f(x,y)\,dx\,dy$
a fenti $f(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.



%\bye

\item{6.)} Egy term\'ek megv\'as\'arl\'asakor kapunk egy kupont.
\"Osszesen $n$ k\"ul\"onb\"oz\H{o} kupon l\'etezik, \'es az egyes
v\'as\'arl\'asok sor\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
$\frac1n$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel kapjuk meg
valamelyik kupont. Egym\'as  ut\'an sok alkalommal v\'as\'aroljuk
meg ezt a ter\-m\'e\-ket. Jel\"olje
$S_1=S_1^{(n)}$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy
hanyadik v\'as\'arl\'asn\'al gy\"ujt\"ott\"uk \"ossze a kuponok
fel\'et, azaz $\frac n2$ k\"ul\"onb\"oz\H{o} kupont, (legyen $n$
p\'aros sz\'am), \'es $S_2=S_2^{(n)}$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy hanyadik
v\'as\'arl\'asn\'al gy\"ujt\"ott\"uk \"ossze az \"osszes kupont.
Sz\'amoljuk ki $S_1=S_1^{(n)}$ \'es $S_2=S_2^{(n)}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $U_1$ azt, hogy hanyadik
v\'as\'arl\'asn\'al kaptuk az els\H{o}, $U_2$ azt, hogy hanyadik
v\'as\'arl\'asn\'al kaptuk a m\'asodik, \'es \'{\i}gy tov\'abb
$U_k$ azt, hogy hanyadik v\'as\'arl\'asn\'al kaptuk a $k$-ik kupont,
$1\le k\le n$. Ekkor a $\xi_k=U_k-U_{k-1}$, $1\le k\le n$,
(az $U_0=0$ jel\"ol\'essel) f\"uggetlen geometriai eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es $\xi_k$
eloszl\'as\'anak a param\'etere $p=\frac {n-k+1}n$.
Tov\'abb\'a $S_1^{(n)}=\summ_{k=1}^{n/2}\xi_k$,
$S_2^{(n)}=\summ_{k=1}^n\xi_k$. Ez\'ert a bevezet\H{o}
el\H{o}ad\'asban a geometriai eloszl\'as v\'arhat\'o \'ert\'ek\'nek
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kisz\'amol\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
eredm\'eny alapj\'an  $ES_1^{(n)}=\summ_{k=1}^{n/2}\frac n{n-k+1}
=n\summ_{k=n/2+1}^n\frac1k$,
$ES_2^{(n)}=\summ_{k=1}^{n}\frac n{n-k+1}=n\summ_{k=1}^n\frac1k$,
$\Var S_1^{(n)}=\summ_{k=1}^{n/2}\frac{\frac{k-1}n}{\frac{(n-k+1)^2}{n^2}}
=n\summ_{k=1}^{n/2}\frac{k-1}{(n-k+1)^2}$, \'es
$$
\Var S_2^{(n)}=\summ_{k=1}^n\frac{\frac{k-1}n}{\frac{(n-k+1)^2}{n^2}}
=n\summ_{k=1}^n\frac{k-1}{(n-k+1)^2}.
$$


\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
$ES_1^{(n)}\sim n\int_{n/2}^n\frac1x\,dx=n\log 2$, m\'{\i}g
$ES_2^{(n)}\sim n\log n$. Hasonl\'oan,
$\Var S_1^{(n)}\sim n\int_0^{n/2}\frac x{(n-x)^2}\,dx
=n\int_0^{1/2}\frac t{(1-t)^2}\,dt=\const n$. M\'asr\'eszt
$\Var S_2^{(n)}$
nagys\'agrendje $n^2$. Val\'oban, tekintve a $\Var S_2^{(n)}$-et
defini\'al\'o \"osszegnek a $k=n$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-hez tartoz\'o
tagj\'at kapjuk, hogy $\Var S^{(n)}_2\ge n(n-1)$. Tov\'abb\'a
$\Var S_2^{(n)}= n\summ_{k=1}^n\frac{k-1}{(n-k+1)^2}
\le n\summ_{k=1}^n\frac n{(n-k+1)^2}
=n^2\summ_{k=1}^n\frac1{k^2}\le \const n^2$.

\item{7.)} Hogyan tudunk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy olyan $[A_n,B_n]$ intervallumot
defini\'alni, amelyre nagy $n$ sz\'amra
$P(S_1^{(n)}\in [A_n,B_n])\sim0.9$ a 6.~fel\-adat\-ban defini\'alt
$S^{(n)}_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval? Mutassuk
meg, hogy az $S_2^{(n)}$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
nem alkalmazhat\'o a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ L\'attuk a 6. feladat megold\'as\'aban,
\'es az azt k\"ovet\H{o} megjegyz\'esben, hogy $S_1^{(n)}$
fel\'{\i}rhat\'o $\frac n2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o  \"osszegek\'ent, \'es a v\'arhat\'o \'ert\'eke
$C_n=n\summ_{k=n/2+1}^n\frac1k$, sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$$
\align
\Var S_1^{(n)}&=n\summ_{k=1}^{n/2}\frac{k-1}{(n-k+1)^2}
=n\summ_{k=1}^{n/2}\frac{\frac{k-1}n}{(1-\frac{k+1}n)^2}n
\sim n\int_0^{1/2}\frac t{(1-t)^2}\,dt\\
&= n\(\[\frac1{1-t}\]_0^{1/2}+\[\log(1-t)\]_0^{1/2}\)=(1-\log2)n.
\endalign
$$
Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
P\(-t\le \frac{S_1^{(n)}-C_n}{\sqrt{n(1-\log 2)}}\le t\)\sim 2\Phi(t)-1.
$$
V\'alasszuk $t$-t, mint azt a sz\'amot, amelyre $\Phi(t)=0.95$.
A norm\'alis eloszl\'as t\'abl\'azata alapj\'an $t\sim1.645$.
Legyen $A_n=C_n-1.645 \sqrt{(1-\log 2) n}$,
$B_n=C_n+1.645\sqrt{ (1-\log 2)n}$, ahol
$C_n=n\summ_{k=n/2+1}^n\frac1k$.
\item{} Meg kell m\'eg indokolni, hogy a centr\'alis t\'etel
alkalmazhat\'o ebben az esetben. A sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelre van sz\"uks\'eg\"unk a
$\xi_k^{(n)}$, $n=2,4,6,\dots$, $1\le k\le n$, sz\'eriasorozatra.
Be lehet l\'atni az el\H{o}ad\'ason f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere
t\'argyalt \'ervel\'essel, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ul, ha az \"osszeadand\'ok
valamely 2-n\'el nagyobb (p\'eld\'aul negyedik) momentumai nem
t\'ul nagyok. A 42. feladat sz\'amol\'asa alapj\'an k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy $E \xi_k^4\le C_1$, ha
$1\le k\le\frac n2$ egy $C_1$ konstanssal, amely nem f\"ugg
$n$-t\H{o}l. M\'asr\'eszt $\Var \xi_k\ge C_2$ egy $n$-t\H{o}l
f\"uggetlen $C_2$ konstanssal, ha $\frac n4\le k\le\frac n2$.
Ezek a rel\'aci\'ok  elegend\H{o}ek a centr\'alis
hat\'arelosz\'ast\'etel teljes\"ul\'es\'ehez.
\item{} A 6. feladat ut\'ani megjegyz\'esben l\'attuk, hogy
$\Var \xi_n\ge \const n^2$, \'es $\Var S_2^{(n)}\le \const n^2$.
Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez sz\"uks\'eges egyenletes kicsis\'eg
felt\'etele nem teljes\"ul.

\item{8.)} Egy nagyv\'arosban n\'epszavaz\'ast tartanak egy
k\'erd\'esr\H{o}l. A v\'aros egy foly\'o k\'et oldal\'an fekszik,
\'es a foly\'o k\'et oldal\'an lak\'okn\'al m\'as mind a k\'erd\'es
t\'amogatotts\'aga, mind a szavaz\'asi hajland\'os\'ag. A foly\'o
baloldal\'an 85000 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'amogatj\'ak a javaslatot, \'es
$\frac45$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. A foly\'o
jobbpartj\'an 50400 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac12$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel t\'amgatj\'ak a javaslatot,
\'es $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. Az
egyes lakosok v\'elem\'enye \'es szavaz\'asi hajland\'os\'aga
f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Mi annak a (k\"ozel\'{\i}t\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a leadott igen szavazatok sz\'ama
nagyobb, mint a leadott nem szavazatok k\'etszerese plusz 1080?
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le85000$ \'es $\eta_j$, $1\le j\le 50400$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozokat. $\xi_j=1$, ha a foly\'o
$j$-ik baloldali partj\'an lak\'o szavaz\'opolg\'ar igennel szavaz,
$\xi_j=-2$, ha nemmel szavaz, \'es $\xi_j=0$, ha nem megy el
szavazni, $1\le j\le85000$. Hasonl\'oan, $\eta_j=1$, ha a foly\'o
$j$-ik jobboldali partj\'an lak\'o szavaz\'opolg\'ar igennel szavaz,
$\eta_j=-2$, ha nemmel szavaz, \'es $\eta_j=0$, ha nem megy el
szavazni, $1\le j\le50400$. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{85000}\xi_j+\summ_{j=1}^{50400}\eta_j$. Vegy\"uk
\'eszre, hogy minket a  $P(S>1080)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. (A $\xi_j$ \'es $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat hasonl\'oan defini\'altuk.
Az\'ert tett\"unk k\"oz\"ott\"uk k\"ul\"onbs\'eget, mert m\'as az
eloszl\'asuk.) Erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a f\"uggetlen, de
nem felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere vonatkoz\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk
j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est adni. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az
$S$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{} Mivel $P(\xi_j=1)=\frac35$, $P(\xi_j=-1)=\frac15$,
$P(\xi_j=0)=\frac15$, ez\'ert $E\xi_j=\frac15$, $E\xi_j^2=\frac75$,
$\Var\xi_j=\frac{34}{25}$. Hasonl\'oan, $P(\eta_j=1)=\frac13$,
$P(\eta_j=-1)=\frac13$, $P(\eta_j=0)=\frac13$, ez\'ert
$E\eta_j=-\frac13$, $E\eta_j^2=\frac53$, $\Var\xi_j=\frac{14}{9}$.
Ez\'ert $ES=85000\times\frac15-50400\times\frac13=200$,
$\Var S=85000\times\frac{34}{25}+50400\times\frac{14}9
=(20)^2(17^2+14^2)\sim 440^2$.

\item{} Innen  $P(S>1080)
=P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{1080-ES}{\Var S}\)
=P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{880}{440}\)\sim1-\Phi(2)\sim0.0228$.

\medskip
{\it Tov\'abbi feladatok.}
\medskip

\item{9.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
L\'assuk be, hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$
para\-m\'e\-ter\-rel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvoluci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\frac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\frac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$ \allowdisplaybreaks
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert
integr\'alja a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk
sz\'amolni ezt az integr\'alt. Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\frac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}
=\frac2{\sqrt{1-(2v-1)^2}},
$$
ez\'ert $u=2v-1$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv&=
\int_{-1}^{2x-1}\frac1{2\pi\sqrt{1-u^2}}\,du  \\
&=\frac1{2\pi}\[\arcsin x\]_{-1}^{2x-1}=\frac{\arcsin
(2x-1)+\frac\pi2}{2\pi}.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a tekintett integr\'al \'ert\'eke $x=1$
eset\'en $\frac12$, mivel $\arcsin1=\frac \pi2$.

\medskip
\item{10.)} Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy az $\eta_1+\eta_2$
\"osszeg $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip
A feladat megold\'asa el\H{o}tt \'erdemes megjegyezni, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}.
$$
Ezt l\'athatjuk p\'eld\'aul az $y=\sqrt 2\frac{x-A}{\sqrt B}$
helyettes\'{\i}t\'essel, \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$\varphi(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez az \'eszrev\'etel az\'ert
hasznos, mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy amennyiben olyan
integr\'alt kell kisz\'amolni, amelyben az integrandus
exponens\'eben egy kvadratikus alak szerepel, akkor az
inegrandusban szerepl\H{o} kifejez\'est
teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tva ki tudjuk sz\'amolni az
integr\'alt. Ez a gondolata a jelen feladat megold\'as\'anak is.

\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$  \allowdisplaybreaks
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\
&\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A feladatot lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni.
El\'eg p\'eld\'aul arra az esetre koncentr\'alni a figyelm\"unket,
amikor $m_1=0$ \'es $m_2=0$. Val\'oban, vezess\"uk be az
$\bar\eta_1=\eta_1-m_1$ \'es $\bar\eta_2=\eta_2-m_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $\bar\eta_1$ \'es
$\bar\eta_2$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 0 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel,
$\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. M\'asr\'eszt
$\eta_1+\eta_2=\bar\eta_1+\bar\eta_2+m_1+m_2$, \'es ha
$\bar\eta_1+\bar\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)$,
akkor $\eta_1+\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x-m_1-m_2)$.
Mi\'ert? Ez azt jelenti, hogy el\'eg $\bar\eta_1+\bar\eta_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kisz\'amolni.


\item{11.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, \'es legyen $t$ val\'os
sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$

\item{12.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 2 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel. Sz\'amoljuk ki minden
val\'os $t$ sz\'amra az $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatot megoldhatjuk az el\H{o}z\H{o}
feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan. A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is fel tudjuk \'{\i}rni, \'es
ezut\'an az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-hoz hasonl\'o integr\'al
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel tudjuk \'{\i}rni a keresett v\'arhat\'o
\'ert\'eket, \'es azt ehhez a feladathoz hasonl\'oan ki
tudjuk sz\'amolni. De egyszer\H{u}bben is c\'elhoz \'erhet\"unk. A
feladatot k\"ozvetlen\"ul visszavezethetj\"uk erre a feladatra.
Fel\'{\i}rhatjuk ugyanis a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\xi=\sqrt3\eta+2$ alakban, ahol $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Innen k\"ovetkezik, hogy $Ee^{t\xi}=Ee^{t(\sqrt3\eta+2)}
=e^{2t}Ee^{t\sqrt3\eta}=e^{2t}Ee^{(\sqrt3t)\eta}=e^{2t+3t^2/2}$
az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an.

\item{13.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi^k$ $k$-ik momentum\'at minden $k=0,1,2,\dots$, nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E\xi^k=\int_{-\infty}^\infty x^k\varphi(x)\,dx$
minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Mivel p\'aratlan $\bar k=2k+1$
sz\'amokra a fenti integr\'al $x^{2k+1}\varphi(x)$ magf\"uggv\'enye
p\'aratlan, innen ad\'odik, hogy $E\xi^{2k+1}=0$. P\'aros indexekre
a k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'ast v\'egezhetj\"uk el parci\'alis
integr\'al\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
$$
\align
E\xi^{2k}
&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}\varphi(x)\,dx
=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}xe^{-x^2/2}\,dx\\
&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac d{dx}\(e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\[x^{2k-1}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty+
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}e^{-x^2/2}
=(2k-1)E\xi^{2k-2}\,dx.
\endalign
$$
Mivel $E\xi^0=1$ a fenti azonoss\'agb\'ol kapjuk, hogy $E\xi^2=1$,
$E\xi^4=3E\xi^2=3$, $E\xi^6=5E\xi^4=5\cdot3$, \'es teljes
indukci\'oval $E\xi^{2k}=(2k-1)\cdot(2k-3)\cdot(2k-5)\cdots3\cdot1$.


\item{14.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $\frac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{} A megold\'as kidolgoz\'asa el\H{o}tt tegy\"unk el\H{o}sz\"or
egy \'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi$ \'es $\eta$, amelyek
(egy\"uttes) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy ismert $f(u,v)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor az $\frac\eta\xi$
h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
sz\'amolhatjuk ki: Vezess\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$ f\"uggv\'enyt,
amely a s\'{\i}kon az $\left\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\right\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\frac vu<x$, \'es
$g(u,v)=0$, ha $\frac vu\ge x$. Ekkor $P\(\frac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\:\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv$. L\'atni fogjuk,
hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al viszonylag
egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)&=P\(\frac\eta\xi <x\)=\iint_{\{(u,v)\colon\;v<xu\}}
\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi
=\frac1{\pi}\int_{-\frac{\pi}2}^{\arctan x}
\,d\varphi
=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\frac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\frac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\frac \pi2,\arctan x\)\cup \[\frac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
\medskip
\item{15.)} Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'as\-suk be, hogy a
$\frac\eta\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a
$g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(x,tx)|x|\,dx$ f\"uggv\'eny. Adjunk
ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'uj meg\-ol\-d\'ast
az el\H{o}z\H{o} feladatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(t)$ a $\frac\eta\xi$ t\"ort
$G(t)=P\(\frac\eta\xi<t\)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
G(t)=\int_{(x,y)\colon\;\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt az $(\bar x,z)=\(x,\frac yx\)$
helyettes\'{\i}t\'essel. Ekkor a $G(t)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o}
integr\'alban az \'uj integr\'al\'asi tartom\'any az
$\{(\bar x,z)\colon\;-\infty<\bar x<\infty,\,-\infty<z<t\}$,
$f(x,y)=f(\bar x,z\bar x)$, \'es az integr\'altranszform\'aci\'o
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz meg kell hat\'aroznunk a lek\'epez\'es
Jacobi transzform\'aci\'oj\'at. Ez az $\bar x=h_1(x,y)=x$,
$z=h_2(x,y)=\frac yx$ jel\"ol\'essel
$$
J(\bar x,z) =\left|\( \matrix \frac{\partial\bar x}{\partial x},
\frac{\partial\bar x)}{\partial y} \\
\frac{\partial z}{\partial x},
\frac{z}{\partial y}, \endmatrix \)\right|
=\left|\( \matrix
\frac{\partial h_1(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_1(x,y)}
{\partial y},\\
\frac{\partial h_2(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_2(x,y)}
{\partial y}, \endmatrix\right) \right|
=\left|\left( \matrix \, 1,\,\,\, 0\\ -\frac y{x^2}, \frac1x
\endmatrix\right) \right| =\left|\frac1x\right|,
$$
\'es inform\'alisan $d\bar x\,dz=J(x,z)\,dx\,dy$, ahonnan
$dx\,dy=\frac1{J(x,z)}\,d\bar x\,dz=|\bar x|\,d\bar x\,dz$,
ahonnan
$$
G(t)=\int_{(x,y)\colon\;\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy=\int
\int_{(x,z)\colon z<t} f(x,zx)|x|\,dx\,dz=\int_{-\infty}^t K(z)\,dz,
$$
ahol
$$
K(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,xz)|x|\,dx.
$$
Innen l\'athat\'o, hogy a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$g(t)=K(t)$, amint \'all\'{\i}tottuk.
\item{} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$(\xi,\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)=\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ez\'ert $\frac\eta\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
g(t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi}e^{-(x^2+t^2x^2)/2}|x|\,dx \\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi (t^2+1)}
e^{-(\sqrt{(t^2+1)}x)^2/2} \left|\(\sqrt{(t^2+1)}x\)\right|\,
d\(\sqrt{(t^2+1)}x\),
\endalign
$$
ahonnan
$$
\align
g(t)&=\frac1{2\pi (t^2+1)}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}|x|\,dx
=\frac1{\pi (t^2+1)}\int_0^\infty e^{-x^2/2}x\,dx \\
&=\frac1{\pi (t^2+1)}\[-e^{-x^2/2}\]_0^\infty
=\frac1{\pi (t^2+1)}.
\endalign
$$

\item{16.)} Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe dobjunk be
v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$ Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei
egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy
minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o $p_j\ge0$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$, val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$
param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast:

\medskip
\item{17.)} Legyen adva egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel.
Dobjunk le egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul v\'eletlen\"ul egyenletesen $\xi$
darab pontot az egys\'egintervallumra, azaz tegy\"uk fel, hogy minden
pont $b-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik valamely $[a,b]\subset
[0,1]$ intervallumba. Ekkor a $[0,1]$ intervallum tetsz\H{o}leges
felbont\'as\'ara $[s_0,s_1]$, $[s_1,s_2]$,\dots, $[s_{k-1},s_k]$
diszjunkt intervallumokra, $0=s_0<s_1<\cdots<s_k=1$ igaz az, hogy 
az egyes intervallumokba es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol 
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} urnamodellt.
Vesz\"unk $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, teh\'at annyit, ah\'any
ledobott pontot vett\"unk az el\H{o}z\H{o} feladatban. Tegy\"uk az
$l$-ik goly\'ot a $j$-ik urn\'aba, ha a $l$-ik pont az $[s_{j-1},s_j]$
intervallumba esett, $1\le j\le k$. Akkor az el\H{o}z\H{o}  feladat
eredm\'enye alapj\'an az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.


\item{18.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyek egy\"uttes eloszl\'as\'anak (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u,v)=\frac23u+2uv^2+\frac23v$
alak\'u, ha $0\le u,v\le1$, \'es $f(u,v)=0$ egy\'ebk\'ent.
L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy $f(u,v)$ val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, majd sz\'a\-mol\-juk ki a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{\it
Megold\'as:}\/ Annak \'erdek\'eben, hogy ellen\H{o}rizz\"uk, hogy
$f(u,v)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatni, hogy
$f(u,v)\ge0$ (majdnem) minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra, \'es
$$
\int\int f(u,v)\,du\,dv=1.
$$
Az nyilv\'anval\'o, hogy $f(u,v)\ge0$ minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra.
M\'asr\'eszt mivel
$$
\int_0^1\int_0^1 u v^2\,du\,dv=
\int_0^1 u\,du\int_0^1 v^2\,dv=\frac12\cdot\frac13=\frac16,
$$
$\int_0^1\int_0^1 u\,du\,dv=\frac12$ \'es
$\int_0^1\int_0^1 v\,du\,dv=\frac12$, ez\'ert
$\int\int f(u,v)\,du\,dv=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az
$$
G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatuk ki, hasonl\'oan
$1-G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{x-u}^{\infty} f(u,v)\,dv\)\,du$.
M\'asr\'eszt, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $g(x)=\frac {dG(x)}{dx}$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'am\'{\i}that\'o. Ez a mi
eset\"unkben a k\"ovetkez\H{o}t jelenti, $g(x)=0$, ha
$x\le0$, $g(x)=1$, ha $x\ge2$, mert $G(x)=0$, ha $x\le0$, $G(x)=1$,
ha $x\ge2$. M\'asr\'eszt
$$
g(x)=\frac{d}{dx}\(\int_0^1\int_0^{x-u}
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv,
$$
ha $0\le x\le1$, $g(x)=-\frac{d}{dx}\(\int_0^1\int_{x-u}^1
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv$, ha $1\le x\le2$. Az\'ert
volt \'erdemes a $0\le x\le1$ \'es $1\le x\le2$ eseteket
sz\'etv\'alasztani, mert a konkr\'et feladatban a $G(x)$
f\"uggv\'enyt tudjuk k\'enyelmesen kisz\'am\'{\i}tani $0\le x\le1$
\'es az $1-G(x)$ f\"uggv\'enyt az $1\le x\le2$ intervallumban. Ez
a sz\'etbont\'as azonban nem k\"otelez\H{o}.
\item{} A fent v\'azolt m\'odon ki lehet sz\'amolni a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt, de val\'oj\'aban ezt a sz\'amol\'ast
lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Ez hasonl\'o ahhoz, ahogy
a konvoluci\'o formul\'at vezetik le f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere. Val\'o\-ban, a $v$ v\'altoz\'o
$z=u+v$ helyettes\'{\i}t\'es\'evel  fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
G(x)&=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du=
\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x} f(u,z-u)\,dz\)\,du\\
&=\int_{-\infty}^x\(\int_{-\infty}^{\infty} f(u,z-u)\,du\)\,dz,
\endalign
$$
ahonnan deriv\'al\'assal
$$
g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du.
$$
E k\'eplettel a sz\'amol\'asokat lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Azt
kapjuk, hogy jelen esetben  $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$, (ebben az
esetben a $g(x)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o} integr\'alban
szerepl\H{o} integrandus azonosan nulla. Ugyanis $x<0$ eset\'eben
vagy $u<0$ vagy $x-u<0$, \'es $x>2$ esetben vagy $u>1$ vagy $x-u>1$.
Ha $0\le x\le 1$, akkor
$$
g(x)=\int_0^{1-x}\(\frac23u+2u(x-u)^2+\frac23(x-u)\) \,du,
$$
ha $1\le x\le 2$, akkor
$$
g(x)=\int_{x-1}^1\(\frac23u+2u(x-u)^2+\frac23(x-u) \) \,du.
$$
\item{18a.)} Mutassuk meg, hogy a fenti feladat megold\'as\'aban
kapott r\'eszeredm\'enyek tartalmazz\'ak speci\'alisan azt az
eredm\'enyt is, hogy k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet kisz\'amolni.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ L\'attuk, hogy amennyiben egy
$(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)$, akkor a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du$. Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$h_1(x)$ \'es $h_2(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennnyel.
Ekkor a $(\xi,\eta)$ vektornak is van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$f(x,y)=h_1(x)h_2(y)$ f\"uggv\'eny. \'Igy a $\xi+\eta$ \"osszegnek
is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az id\'ezett
eredm\'eny szerint
$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-u)\,du=\int_{-\infty}^\infty
h_1(u)h_2(x-u)\,du$.
\item{19.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ vektor egyenletes eloszl\'as\'u
a $(0,0)$, $(1,0)$ \'es $(0,1)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"og\"on, azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 2
azon a h\'aromsz\"og\"on, amelynek ezek a pontok a cs\'ucspontjai,
\'es legyen nulla ezen a h\'aromsz\"og\"on k\'{\i}v\"ul.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok kovarianci\'aj\'at.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
\'es $E\xi\eta=\int xy f(x,y)\,dx\,dy$,
\hfill\break
$E\xi=\int x f(x,y)\,dx\,dy$,
$E\eta=\int y f(x,y)\,dx\,dy$, ahol $f(x,y)$ a $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ez\'ert
$$
\align
E\xi\eta&=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2xy\,dy\)\,dx
=\int_0^1 2x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-x}\,dx
=\int_0^1 x(1-x)^2\,dx\\
&=\[\frac{x^2}2-\frac{2x^3}3
+\frac{x^4}4\]_0^1=\frac1{12},
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x\,dy\)\,dx=\int_0^1 2x(1-x)\,dx=\frac13,
$$
\'es
$$
E\eta=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2y\,dy\)\,dx=\int_0^1 (1-x)^2\,dx=\frac13,
$$
(Szimmetria meggondol\'asok alapj\'an is bel\'athat\'o, hogy
$E\eta=E\xi$.) Innen \hfill\break
$\Cov(\xi,\eta)=\frac1{12}-\frac1{9}=-\frac1{36}$.



\bye
