\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\nopagenumbers
\parskip=4pt plus 1.5pt

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\centerline{\bf A December 7.-i dolgozat feladatai.}

\bigskip 
\item{1.)} Egy \'even \'at lott\'ozunk. Mind az 52 h\'eten
kit\"olt\"unk egy szelv\'enyt (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni
\"ot\"ot). Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb
k\'et alkalommal lesz (pontosan) h\'armas tal\'alatunk?

\item{2.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $E\xi=2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\Var \xi=3$
sz\'or\'asn\'egyzettel. Sz\'amolja ki az $E\xi^3$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{3.)} Van h\'arom urna, mind  a h\'aromban 10 piros \'es 20
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk mind a h\'arom urn\'ab\'ol
10 goly\'ot, az els\H{o} kett\H{o}b\H{o}l visszatev\'essel, a harmadikb\'ol
visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi az els\H{o} k\'et urn\'ab\'ol kih\'uzott
piros minusz  a harmadik urn\'ab\'ol kih\'uzott feh\'er goly\'ok 
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete?

\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"ossze\-ad\-juk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'es egy norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az
\"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.

\item{5.)} Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelynek vagy l\'etezik egy $f(x)$ 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye vagy
diszkr\'et eloszl\'as\'u $P(\xi=x_k)=p_k$, $k=1,2,\dots$, 
$\summ_{k=1}^\infty p_k=1$, eloszl\'assal. Legyen $h(x)$ egy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekk\'eszlet\'en defini\'alt
f\"uggv\'eny. Hogyan lehet kisz\'amolni az $Eh(\xi)$ v\'arhat\'o
\'ert\'eket?

\item{6.)} Legyen $A$, $B$ \'es $C$ h\'arom esem\'eny
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
mez\H{o}ben. Mikor mondjuk, hogy ez a h\'arom esem\'eny
f\"ug\-get\-len?





\bye
