A JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI ÉS KÉRDÉSEI

1.) Legyen ξ és η két független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen a sűrűségfüggvényük f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számítsa ki a ξ − η különbség sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, Eξ = 1, Var ξ = 2. Számolja ki

az Ee^{ξ} várható értéket. 3.) Legyen W (t) Wiener folyamat a 0 ≤ t < ∞ félegyenesen, és definiáljuk segítségével

a Z(u) = \frac{W (e^{u})}{e^{u/2}}, −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamatot. Mutassuk meg, hogy a Z(·) sztochasztikus folyamat stacionárius, azaz minden s valós számra a Z(u + s) és Z(u), −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamatok eloszlása megegyezik.

4.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 16800 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Felírjuk egy jegyzőkönyvbe azon pontok helyének az értékeit, amelyek vagy a [−1, −\frac{1}{2}] vagy az [\frac{1}{2}, 1] intervallumba esnek, a többi pontot pedig figyelmen kívül hagyjuk. Jelölje S a [−1, −\frac{1}{2}] ∪ [\frac{1}{2}, 1] intervallumba esett pontok számát, azaz azt, hogy hány számot írtunk a jegyzőkönyvbe, és T a jegyzőkönyvbe írt számok összegét. Adjon jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy P (S > 8400, T > 70).

5.) Legyen ξ és η két független Poisson eloszlású valószínűségi változó λ és μ paraméterekkel, azaz legyen P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} és P (η = k) = \frac{μ^{k}}{k!} e^{−μ}, k = 0, 1, 2, . . .. Határozza meg a ξ + η valószínűségi változó eloszlását.

6.) Mikor mondjuk, hogy F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban konvergál egy F (x) eloszlásfüggvényhez?