A JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI ÉS KÉRDÉSEI

1.) Legyen ξ és η két független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen a sűrűségfüggvényük f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számítsa ki a ξ − η különbség sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, Eξ = 1, Var ξ = 2. Számolja ki

az Ee^{ξ} várható értéket. 3.) Legyen W (t) Wiener folyamat a 0 ≤ t < ∞ félegyenesen, és definiáljuk segítségével

a Z(u) = \frac{W (e^{u})}{e^{u/2}}, −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamatot. Mutassuk meg, hogy a Z(·) sztochasztikus folyamat stacionárius, azaz minden s valós számra a Z(u + s) és Z(u), −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamatok eloszlása megegyezik.

4.) Ledobunk 6000 pontot egymástól függetlenül a [0, 3] intervallumra egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok helyének sűrűségfüggvénye legyen f(x) = \frac{1}{3}, ha 0 ≤ x ≤ 3, és f(x) = 0 egyébként. Egy jegyzőkönyvbe felírjuk a ledobott pontok némileg módosított értékét a következő módon. Ha a ledobott pont értéke a [0, 1] intervallumba esik, akkor a pont értéket írjuk a jegyzőkönyvbe, ha a pont az [1, 2] intervallumba esik akkor az 1 számot, ha pont a [2, 3] intervallumba esik, akkor a 2 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Adjunk egy normális eloszlásfüggvény táblázat segítségével jó közelítő értéket annak valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt 6000 szám összege 6940 és 7080 közé esik.

5.) Legyen ξ és η két független Poisson eloszlású valószínűségi változó λ és μ paraméterekkel, azaz legyen P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} és P (η = k) = \frac{μ^{k}}{k!} e^{−μ}, k = 0, 1, 2, . . .. Határozza meg a ξ + η valószínűségi változó eloszlását.

6.) Mikor mondjuk, hogy F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban konvergál egy egy F (x) eloszlásfüggvényhez?