\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf AZ \'APRILIS 24.-I DOLGOZAT FELADATAI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$,
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$ \'es
$\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$ cs\'ucspontok
\'altal meghat\'arozott der\'eksz\"og\H{u} h\'aromsz\"ogben, azaz
legyen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x,y)=1$ az
$x\ge0$, $y\ge0$, $x+2y\le2$ egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$(x,y)$ pontokban, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amolja
ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{3.)} Legyen adva $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Defini\'aljuk az $S=\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j$ 
\'es $T=\summ_{j=1}^n(\xi_j-S)^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Mutassa meg, hogy $S$ \'es $T$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.



\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_{10000}$ f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac14$, $P(\xi_1=0)=\frac12$, \'es
defini\'aljuk az $S=\summ_{j=1}^{10000}\xi_j$
\'es $T=\summ_{j=1}^{10000}\xi_j^2$ v\'eletlen \"osszegeket.
Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny t\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} \'ert\'eket a 
$P(S>100,T>5100)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.




%\item{4.)} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
%a $[0,3]$ intervallumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a
%ledobott pontok hely\'enek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye legyen
%$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
%jegyz\H{o}k\"onyvbe fel\'{\i}rjuk a ledobott pontok n\'emileg
%m\'odos\'{\i}tott \'ert\'ek\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
%Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
%a pont \'ert\'eket \'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az
%$[1,2]$ intervallumba esik akkor az 1 sz\'amot, ha pont a $[2,3]$
%intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot \'{\i}rjuk a
%jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
%t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
%\'ert\'eket annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
%jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 6000 sz\'am \"osszege 6940 \'es 7080
%k\"oz\'e esik.

%\item{5.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
%v\'altoz\'o, $E\xi=1$, $\Var \xi=2$. Sz\'amolja ki az $Ee^\xi$
%v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{5.)} Adott k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 20 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Mind a k\'et urn\'ab\'ol kih\'uzunk 10 alkalommal
egym\'as ut\'an egy-egy goly\'ot, az els\H{o} urn\'ab\'ol 
visszatev\'essel, a m\'asodik urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul. 
Mi azon h\'uz\'asp\'arok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete, 
amelyekben a k\'et urn\'ab\'ol azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uztunk?








\item{6.)} Mi a Wiener folyamat definici\'oja? Mikor mondjuk,
hogy egy sztochasztikus folyamat Gauss folyamat?



\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}

\medskip
\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$

\item{2.)} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
$E\xi\eta=\int xy f(x,y) \,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y) \,dx\,dy$
\'es $E\eta=\int y f(x,y) \,dx\,dy$.
$$
\align
E\xi\eta&=\int_{-\infty}^\infty\int_{\-\infty}^\infty xy f(x,y)\,dx\,dy
=\int_0^2 x\(\int_0^1f(x,y)y\,dy\)\,dx\\
&=\int_0^2 x\(\int_0^{1-\frac x2}y\,dy\)\,dx
=\int_0^2 x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx
=\int_0^2 x\frac{\(1-\frac x2\)^2}2\,dx\\
&=\int_0^2\(\frac{x^2}8-\frac{x^2}2+\frac x2\)\,dx
=\frac12-\frac86+2=\frac16,
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} x\,dy\)\,dx
=\int_0^2\(x-\frac{x^2}2\)\,dx=2-\frac86=\frac23,
$$
$$
\align
E\eta&=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} y\,dy\)\,dx
=\int_0^2\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx\\
&=\int_0^2\frac{1-x+\frac{x^2}4}2\,dx=\frac13-1+1=\frac13.
\endalign
$$
Innen, $\Cov(\xi,\eta)=\frac16-\frac23\cdot\frac13=-\frac1{18}$.

\item{3.)} Vegy\"uk \'eszre, hogy az $(S,\xi_1-S,\dots,\xi_n-S)$
v\'eletlen vektor ($n+1$-dimenzi\'os) norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor. Ezenk\'{\i}v\"ul  az els\H{o} koordin\'at\'aja, $S$
korrel\'alatlan a t\"obbi koordin\'at\'at\'ol, (a $\xi_j-S$, 
$j=1,\dots,n$ koordin\'at\'akt\'ol.) Ez\'ert az $S$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen a
$(\xi_1-S,\dots,\xi_n-S)$ v\'eletlen vektort\'ol, \'{\i}gy
annak $\summ_{j=1}^n(\xi_j-S)^4$ f\"uggv\'eny\'et\H{o}l is.

\item{4.)} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont \'ert\'ek\'et,
$1\le j\le 6000$, \'es
legyen $\eta_j=f(\xi_j)$, ahol az $f(x)$, $0\le x\le3$, f\"uggv\'enyt
az $f(x)=x$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=1$, ha $1\le x\le2$, \'es
$f(x)=2$, ha $2\le x\le3$ k\'epletekkel defini\'aljuk. Ekkor $\eta_j$
a $j$-ik jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'am \'ert\'eke, \'es minket
a $P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tjuk ki el\H{o}sz\"or
az $E\eta_j$ \'es $\Var\eta_j$ mennyis\'egeket.
$E\eta_j=\int_0^3\frac13f(x)\,dx=\int_0^1\frac13x\,dx+\frac13(1+2)
=\frac16+1=\frac76$,
$E\eta^2_j=\int_0^3\frac13f^2(x)\,dx
=\int_0^1\frac13x^2\,dx+\frac13(1^2+2^2)=\frac19+\frac53=\frac{16}9$,
\'es $\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac{16}9-\frac{49}{36}
=\frac{15}{36}=\frac5{12}$. Innen az $S=\summ_{j=1}^{6000}\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora $ES=7000$, \'es
$\Var S=2500=50^2$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint
$$
\align
P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)&=
P\(\frac{6940-7000}{50}\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}
\le\frac{7080-7000}{50}\)\\
&=P\(-1.2\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le1.6\)
\sim \Phi(1.6)-\Phi(-1.2)\\
&=\Phi(1.6)+\Phi(1.2)-1\sim(0.9452+0.8849-1)\sim0.83.
\endalign
$$

\item{5.)} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 10$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
h\'uz\'asp\'ar eredm\'enye PP vagy FF, $1\le j\le10$. Akkor az 
$S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell kisz\'amolnunk.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j=E\xi_1$, $\Var\xi_j=\Var\xi_1$, 
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\Cov(\xi_1,\xi_2)=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2$, ha
$j\neq k$.
M\'asr\'eszt $E\xi_1=(\frac25)^2+(\frac35)^2=\frac{13}{25}$, 
$E\xi_1^2=E\xi_1$, 
$\Var\xi_1=\frac{13}{25}-(\frac{13}{25})^2=\frac{156}{(25)^2}$,
$E\xi_1\xi_2=(\frac25)^3\frac{19}{49}+(\frac35)^3\frac{29}{49}
+2(\frac25)^2\frac35\frac{30}{49}=\frac{1665}{125\cdot49}$.
(A (PP, PP), (FF, FF), (PP, FF) \'es (FF, PP) h\'uz\'assorozatok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'amolni \'es \"osszeadni.)
Ez\'ert $ES=10E\xi_1=\frac{26}5$, 
$\Var S=10\Var\xi_1+90\Cov(\xi_1,\xi_2)=\frac{312}{125}
+9(\frac{1665}{25\cdot49}-\frac{156}{125})$.

\item{6.)} Egy $W(t)$, $0\le t\le T$, sztochasztikus folyamat
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
Wiener folyamat, ha Gauss folyamat, $EW(t)=0$, $EW(s)W(t)=\min(s,t)$ 
minden $0\le s,t\le T$ koordin\'at\'akra, \'es a $W(\cdot,\oo)$
trajekt\'oria folytonos f\"uggv\'eny a $[0,T]$ intervallumban
minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.

\item{} Egy $X(t)$, $t\in T$, sztochasztikus folyamat akkor 
Gauss folyamat, ha a $T$ halmaz minden $\{t_1,\dots,t_k\}$ 
v\'eges r\'eszhalmaz\'ara a $(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_k})$ 
v\'eletlen vektor norm\'alis eloszl\'as\'u.

\bye
