\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf AZ \'APRILIS 26.-I DOLGOZAT FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$,
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$ \'es
$\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$ cs\'ucspontok
\'altal meghat\'arozott der\'eksz\"og\H{u} h\'aromsz\"ogben, azaz
legyen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x,y)=1$ az
$x\ge0$, $y\ge0$, $x+2y\le2$ egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$(x,y)$ pontokban, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amolja
ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{3.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Mutassa meg, hogy a $\xi+\eta+\zeta$ \'es a
$\frac{\xi+\eta-2\zeta}{\xi-2\eta+\zeta}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.

\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_{10000}$ f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac14$, $P(\xi_1=0)=\frac12$, \'es
defini\'aljuk az $S=\summ_{j=1}^{10000}\xi_j$
\'es $T=\summ_{j=1}^{10000}\xi_j^2$ v\'eletlen \"osszegeket.
Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny t\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} \'ert\'eket a 
$P(S>100,T>5100)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.

\item{5.)} Mi a Wiener folyamat \'es a Wiener bridge definici\'oja? 

\item{6.)} Hogy sz\'ol a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel? Milyen eredm\'enyeket tanultunk, amelyek
sz\"uks\'egesek annak indokl\'as\'ahoz, hogy ez a t\'etel egy j\'ol
megfogalmazott  \'all\'{\i}t\'as?


\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}

\medskip
\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$

\item{2.)} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
$E\xi\eta=\int xy f(x,y) \,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y) \,dx\,dy$
\'es $E\eta=\int y f(x,y) \,dx\,dy$.
$$
\align
E\xi\eta&=\int_{-\infty}^\infty\int_{\-\infty}^\infty xy f(x,y)\,dx\,dy
=\int_0^2 x\(\int_0^1f(x,y)y\,dy\)\,dx\\
&=\int_0^2 x\(\int_0^{1-\frac x2}y\,dy\)\,dx
=\int_0^2 x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx
=\int_0^2 x\frac{\(1-\frac x2\)^2}2\,dx\\
&=\int_0^2\(\frac{x^2}8-\frac{x^2}2+\frac x2\)\,dx
=\frac12-\frac86+2=\frac16
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} x\,dy\)\,dx
=\int_0^2\(x-\frac{x^2}2\)\,dx=2-\frac86=\frac23,
$$
$$
\align
E\eta&=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} y\,dy\)\,dx
=\int_0^2\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx\\
&=\int_0^2\frac{1-x+\frac{x^2}4}2\,dx=\frac13-1+1=\frac13.
\endalign
$$
Innen, $\Cov(\xi,\eta)=\frac16-\frac23\cdot\frac13=-\frac1{18}$.

\item{3.)} El\'eg azt megmutatni, hogy a $\xi+\eta+\zeta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es a
$(\xi+\eta-2\zeta,\xi-2\eta+\zeta)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlen
egym\'ast\'ol. Ez viszont az\'ert igaz, mert $(\xi+\eta+\zeta,
\xi+\eta-2\zeta,\xi-2\eta+\zeta)$ h\'aromdimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
koordin\'at\'akkal, tov\'abb\'a
$E(\xi+\eta+\zeta)(\xi+\eta-2\zeta)=E\xi^2+E\eta^2-2E\zeta^2=0$, \'es
hasonl\'oan $E(\xi+\eta+\zeta)(\xi-2\eta+\zeta)=0$.

\item{4.)} Tekints\"uk a $(\xi_j,\xi_j^2)$, $1\le j\le10000$, 
v\'eletlen vektorokat. Ekkor $E\xi_j=0$, $\Var\xi_j=E\xi_j^2=\frac12$,
$E\xi_j^2=\frac12$, 
$\Var\xi_j^2=E\xi_j^4-(E\xi_j^2)^2=\frac12-\frac14=\frac14$,
$\Cov(\xi_j,\xi_j^2)=E\xi_j^3-E\xi_jE\xi_j^2=0$. Ez\'ert a t\"obbv\'altoz\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'as t\'etel alapj\'an a $\frac1{100}(S,T-5000)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg egy olyan
$(\zeta_1,\zeta_2)$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval egyenl\H{o}, amelyre $E\zeta_1=E\zeta_2=0$,
$\Var\zeta_1=\frac12$, $\Var\zeta_2=\frac14$, \'es $\Cov(\zeta_1\zeta_2)=0$.
Az utols\'o rel\'aci\'o miatt $\zeta_1$ \'es $\zeta_2$ f\"uggetlen, 
norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Innen
$$
\align
P(S>100,T>5100)&=P\(\frac1{100}S>1,\frac1{100}(T-5000)>1\)\\
&\sim P(\zeta_1>1,\zeta_2>1)=P(\zeta_1>1)P(\zeta_2>1)\\
&=P(\sqrt2\zeta_1>\sqrt2)P(2\zeta_2>2)=(1-\Phi(\sqrt2))(1-\Phi(2)).
\endalign
$$


\item{5.)} Egy $W(t)$, $0\le t\le a$ Wiener folyamat a $[0,a]$ 
intervallumon, (ahol $0<a\le\infty$ olyan Gauss folyamat, amelyre 
$EW(t)=0$ minden $0\le t\le a$, \'es $EW(s)W(t)=\min(s,t)$ minden 
$0<s,t\le a$ sz\'amokra, \'es a $W(\cdot,\oo)$ sztochasztikus folyamat 
trajekt\'ori\'ai folytonosak.
\item{} Egy $B(t)$ Wiener bridge olyan folytonos trajekt\'ori\'aj\'u 
Gauss folyamat a $0\le t\le 1$ intervallumon, amelyre $EB(t)=0$, 
$0\le t\le1$, \'es  $EB(s)B(t)=s(1-t)$, ha $0\le s\le t\le 1$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Egy $X(t)$ sztochasztikus folyamat 
Gauss folyamat,  ha v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai norm\'alisak. Ez\'ert  
t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asanak a megad\'as\'ahoz elegend\H{o} az 
$EX(t)$ v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es az $Ex(s)X(t)-EX(s)EX(t)$ 
kovarianci\'at megadni minden $t$ sz\'amra illetve $(s,t)$ sz\'amp\'arra.

\item{6.)} Legyenek $(\xi_j(1),\dots,\xi_j(d))$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok, amelyek
mindegyik koordin\'at\'aj\'anak van v\'eges m\'asodik momentuma,
azaz $E\xi_k(1)^2<\infty$ minden $1\le k\le d$ indexre.
Defini\'aljuk az 
$$
S_n=(S_n(1),\dots,S_n(d_k))
=\(\summ_{j=1}^n(\xi_j(1)-E\xi_j(1)),\dots,
\summ_{j=1}^n(\xi_j(d)-E\xi_j(d))\)
$$ 
v\'eletlen vektorokat. A
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel azt
mondja ki, hogy az $\frac1{\sqrt n}S_n$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz, 
amelynek kovariancia m\'atrixa megegyezik a
$(\xi_j(1),\dots,\xi_j(d))$ v\'eletlen vektorok kovariancia
m\'atrix\'aval, ha $n\to\infty$.

\item{} Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy ez \'ertelmes \'all\'{\i}t\'as
tudnunk kell egyr\'eszt, hogy l\'etezik a k\'{\i}v\'ant kovariancia
m\'atrix-szal rendelkez\H{o} nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ez az\'ert igaz,
mert minden v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa szim\-met\-ri\-kus
\'es pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix, \'es minden pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'at\-rix\-hoz l\'etezik ilyen kovariancia m\'atrix\'u
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
(nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}) v\'eletlen vektor. M\'asr\'eszt
tudnunk kell, hogy a hat\'areloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'aroztuk. Ez abb\'ol az eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik,
amely szerint egy norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa.

\bye
