A JÚNIUS 4.-I PÓTDOLGOZAT FELADATAI ÉS KÉRDÉSEI

1.) Legyen ξ és η két független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = e^{−x}, ha x > 0 és f(x) = 0, ha x < 0. Számítsa ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, Eξ = 0 várható értékkel és Eξ^{2} =

2 szórásnégyzettel. Számolja ki az e^{ξ} valószínűségi változó Ee^{ξ} várható értékét. 3.) Legyen ξ, η és ζ három független standard normális eloszlású valószínűségi változó.

Mutassa meg, hogy a ξ + \sqrt{2}η + ζ, ξ − \sqrt{2}η + ζ és ξ − ζ valószínűségi változók függetlenek.

4.) Egy szabályos dobókockát és egy szabályos érmét feldobunk 3300 alkalommal egymástól függetlenül. (Az érme és kockadobások eredményei is függetlenek egymástól.) Ha a kockadobás eredménye páros és az érme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyerünk, amennyi a kockadobás eredménye. Ha az érme az írás oldalra esett vagy a kockadobás eredménye páratlan szám, akkor nem nyerünk, és nem is vesztünk semmit. Mi a valószínűsége annak, hogy az össznyereményünk 3190 és 3520 forint közé esik? Adjon erre jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével.

5.) Mi a Poisson folyamat definiciója? 6.) Az alábbi négy állítás közül melyik helyes és melyik nem:

a.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

b.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

c.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ+η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

d.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.