\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A J\'UNIUS 4.-I P\'OTDOLGOZAT FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=e^{-x}$,
ha $x>0$ \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsa ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.



\item{2.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $E\xi=0$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $E \xi^2=2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Sz\'amolja ki az $e^\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $Ee^\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.


\item{3.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Mutassa meg, hogy a $\xi+\sqrt2\eta+\zeta$,
$\xi-\sqrt2\eta+\zeta$ \'es $\xi-\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.


\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjon erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.



\item{5.)} Mi a Poisson folyamat definici\'oja?



\item{6.)} Az al\'abbi n\'egy \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ul melyik helyes
\'es melyik nem:
\itemitem{a.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
azaz $\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o}
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az \"osszeg\'evel, azaz
$\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.




\bye

\item{4.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. Feldobnak 3
szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha k\'et p\'aratlan \'es egy p\'aros
dob\'as k\"ovetkezett be, akkor annyi forintot vesz\'{\i}t\"unk,
amennyi a p\'aros dob\'as eredm\'enye. Minden egy\'eb esetben,
(teh\'at, ha nulla, egy vagy h\'arom p\'aratlan dob\'as t\"ort\'ent)
4 forintot nyer\"unk. Ezt a j\'at\'ekot j\'atsszuk 2500 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy nyerem\'enyunk 2300 \'es 2600
forint k\"oz\'e esik.
