\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ 
param\'eterrel, azaz legyen a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk
$f(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi-\eta$ k\"ul\"onbs\'eg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $E\xi=1$, $\Var \xi=2$. Sz\'amolja ki az $Ee^\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{3.)} Legyen $W(t)$ Wiener folyamat a $0\le t<\infty$ 
f\'elegyenesen, \'es defini\'aljuk seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 
$Z(u)=\frac{W(e^u)}{e^{u/2}}$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus 
folyamatot. Mutassuk meg, hogy a $Z(\cdot)$ sztochasztikus folyamat 
stacion\'arius, azaz minden $s$ val\'os sz\'amra a $Z(u+s)$ \'es 
$Z(u)$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus folyamatok eloszl\'asa 
megegyezik.

\item{4.)} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
a $[0,3]$ intervallumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a
ledobott pontok hely\'enek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye legyen
$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe fel\'{\i}rjuk a ledobott pontok n\'emileg
m\'odos\'{\i}tott \'ert\'ek\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
a pont \'ert\'eket \'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az
$[1,2]$ intervallumba esik akkor az 1 sz\'amot, ha pont a $[2,3]$
intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot \'{\i}rjuk a
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\'ert\'eket annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 6000 sz\'am \"osszege 6940 \'es 7080
k\"oz\'e esik.

\item{5.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ \'es
$\mu$ pa\-ra\-m\'e\-te\-rek\-kel, azaz legyen
$P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ \'es
$P(\eta=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$, $k=0,1,2,\dots$.
Hat\'arozza meg a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at.

\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy $F_n(x)$, $n=1,2,\dots$, 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy egy
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?





\bye