\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ 
param\'eterrel, azaz legyen a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk
$f(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.


\item{2.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $E\xi=1$, $\Var \xi=2$. Sz\'amolja ki az $Ee^\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{3.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen
standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Mutassa
meg, hogy a $\frac{\xi-\eta}{\xi-\zeta}$ \'es $(\xi+\eta+\zeta)^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.



\item{4.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 16800 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Fel\'{\i}rjuk egy jegyz\H{o}k\"onyvbe azon pontok
hely\'enek az \'ert\'ekeit, amelyek vagy a $[-1,-\frac12]$ vagy az
$[\frac12,1]$ intervallumba esnek, a t\"obbi pontot pedig figyelmen 
k\'{\i}v\"ul hagyjuk. Jel\"olje $S$ a $[-1,-\frac12]\cup[\frac12,1]$ 
intervallumba esett pontok sz\'am\'at, azaz azt, hogy  h\'any 
sz\'amot \'{\i}rtunk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, \'es $T$ a 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'amok \"osszeg\'et. Adjon j\'o 
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy 
$P(S>8400,T>70)$.  


\item{5.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at sz\'azszor 
egym\'asut\'an. Tekints\"uk azokat a dob\'asokat, amelyekre mind
ennek a dob\'asnak mind az \H{o}t k\"ovet\H{o} dob\'asnak 
hatos az eredm\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az ilyen dob\'asok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.


\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy $F_n(x)$, $n=1,2,\dots$, 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?





\bye