\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\nopagenumbers

\centerline{\bf A j\'ulius 2.-i vizsga feladatai}
\medskip


\item{1.)} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?


\item{2.)} Egy nagyv\'arosban n\'epszavaz\'ast tartanak egy
k\'erd\'esr\H{o}l. A v\'aros egy foly\'o k\'et oldal\'an fekszik,
\'es a foly\'o k\'et oldal\'an lak\'okn\'al m\'as mind a k\'erd\'es
t\'amogatotts\'aga, mind a szavaz\'asi hajland\'os\'ag. A foly\'o
baloldal\'an 85000 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'amogatj\'ak a javaslatot, \'es
$\frac45$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. A foly\'o
jobbpartj\'an 50400 szavaz\'opolg\'ar lakik, az ottlak\'ok $\frac12$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel t\'amogatj\'ak a javaslatot,
\'es $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel mennek el szavazni. Az
egyes lakosok v\'elem\'enye \'es szavaz\'asi hajland\'os\'aga
f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Mi annak a (k\"ozel\'{\i}t\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a leadott igen szavazatok sz\'ama
nagyobb, mint a leadott nem szavazatok k\'etszerese plusz 1080?




\item{3.)} Legyenek $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Bizony\'{\i}tsa
be, hogy a $\xi+\eta+\zeta$, $3\xi-2\eta-\zeta$ \'es
$\xi+4\eta-5\zeta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.



\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az $\left.E\(\frac{\xi^2+1}{\eta^2+1}\right|\eta\)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.




\item{5.)} Mikor mondjuk, hogy a sz\'amegyenesen defini\'alt
$F_n(x)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata
eloszl\'asban konverg\'al egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $n\to\infty$? Ha t\"obb ekvivalens
definici\'ot ismer, akkor adja meg mindegyiket.



\item{6.)} Mi a Poisson folyamat definici\'oja?




\item{7.)} Egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} n\'egyzetes m\'atrixhoz
mikor lehet tal\'alni olyan $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektort,
amelynek \H{o} a kovariancia m\'atrixa?





\item{8.)} Mikor nevez\"unk egy Markov l\'ancot tranziens, rekurrens,
null-rekurrens illetve po\-zi\-t\'{\i}v rekurrensnek? Milyen eredm\'enyeket
ismer, amelyek seg\'{\i}tenek eld\"onteni, hogy egy Markov l\'anc
mikor tranziens, mikor null-rekurrens \'es mikor pozit\'{\i}v rekurrens?




\bye

\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$ szorzatokat. Mikor lesz az
$S_1,S_2,\dots$ sorozat marting\'al?





\item{2.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.




\item{6.)} Legyen $W(t)$, $t\ge0$, egy Wiener folyamat. Mutassa meg,
hogy a $Z(u)=\frac{W(e^u)}{e^{u/2}}$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus 
folyamat stacion\'arius.

\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$ a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt 
$\sigma$-algebra, \'es defini\'aljuk az 
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. 
Mutassa meg, hogy az $(e^{S_n-n/2},\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, 
sorozat marting\'al.


\item{8.)} Hogyan sz\'ol a Radon--Nikodym t\'etel?

\item{7.)} Mi a marting\'al \'es szemimarting\'al definici\'oja?

