június 1.-i vizsga feladatok

1.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók által generált σ-algebra, és

definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, n = 1, 2, …, részletösszegeket. Mutassa meg, hogy az

(e^{S_{n}−n/2}, F_{n}), n = 1, 2, …, sorozat martingál.

2.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 2700 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Adjon jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a kapott pontok értékeinek az összege nagyobb, mint 15, és a négyzetösszege nagyobb, mint 880.

3.) Mutassa meg, hogy ha W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat, akkor

B(t) = W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1,

Wiener bridge, amely független a W (1) valószínűségi változótól.

4.) Egy A n × n méretű négyzetes mátrixhoz mikor lehet találni olyan (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektort, amelynek ő a kovariancia mátrixa?

5.) Mi a Poisson folyamat definiciója? Milyen eredmények biztosítják, hogy létezik Poisson folyamat?

6.) Hogyan szól a funkcionális centrális határeloszlástétel?

7.) Mikor nevezünk egy Markov láncot tranziens, rekurrens, null-rekurrens illetve pozitív rekurrensnek? Milyen eredményeket ismer, amelyek segítenek eldönteni, hogy egy Markov lánc mikor tranziens, mikor null-rekurrens és mikor pozitív rekurrens?

8.) Hogyan szól a Radon–Nikodym tétel?