Vizsga feladatok

1.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független, korlátos valószínűségi változók, amelyek nem elfajulók a következő értelemben: P (ξ_{n} = 0) < 1 minden n = 1, 2, … indexre. Legyen F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók által generált σ-algebra, és

definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{1} ⋯ ξ_{k}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat. Mutassa

meg, hogy az (S_{n}, F_{n}) sorozat akkor és csak akkor martingál, ha Eξ_{n} = 0 minden n = 2, 3, … indexre.

2.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 5600 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Felírjuk egy jegyzőkönyvbe azon pontok helyének az értékeit, amelyek vagy a [−1, −\frac{1}{2}] vagy az [\frac{1}{2}, 1] intervallumba esnek, a többi pontot pedig figyelmen kívül hagyjuk. Jelölje S a [−1, −\frac{1}{2}] ∪ [\frac{1}{2}, 1] intervallumba esett pontok számát, azaz azt, hogy hány számot írtunk a jegyzőkönyvbe, és T a jegyzőkönyvbe írt számok összegét. Adjon jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy P (S > 2830, T > 70).

3.) Legyen W (t), t ≥ 0, egy Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy a Z(u) = \frac{W (e^{u})}{e^{u/2}}, −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamat stacionárius.

4.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számolja ki az E (\frac{ξ^{4}+1}{η^{2}+1} | η) feltételes várható értéket.

5.) Mikor mondjuk, hogy a számegyenesen definiált F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban konvergál egy F (x) eloszlásfüggvényhez, ha n → ∞? Ha több ekvivalens definiciót ismer, akkor adja meg mindegyiket.

6.) Mi a Poisson folyamat definiciója?

7.) Milyen konvergencia tételeket ismer martingálokról?

8.) Mit jelent egy Markov láncban az osztálytulajdonság? Milyen osztálytulajdonságokat ismer? Mit jelent az, hogy egy Markov lánc irreducibilis? Milyen határeloszlástételeket ismer irreducibilis Markov lánc állapotainak a viselkedéséről, ha az idő tart a végtelenhez?