A JÚNIUS 14.-I VIZSGA FELADATAI

1.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független, korlátos valószínűségi változók, amelyek nem elfajulók a következő értelemben: P (ξ_{n} = 0) < 1 minden n = 1, 2, … indexre. Legyen F_{n} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók által generált σ-algebra, és

definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{1} ⋯ ξ_{k}, n = 1, 2, …, valószínűségi változókat. Mutassa

meg, hogy az (S_{n}, F_{n}) sorozat akkor és csak akkor martingál, ha Eξ_{n} = 0 minden n = 2, 3, … indexre.

2.) Egy éven át lottózunk. Mind az 52 héten kitöltünk egy szelvényt (90 számból kell eltalálni ötöt). Mi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkalommal lesz (pontosan) hármas találatunk?

3. A következő játékot játsszuk. Két szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Ha egy dobás eredménye két fejdobás akkor 2 forintot nyerünk, ha az eredmény két írásdobás akkor 2 forintot vesztünk, ha az eredmény egy fej és egy írásdobás akkor 1 forintot nyerünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 4850 és 5300 forint között lesz.

4.) Legyen W (t), 0 ≤ t ≤ 1, egy Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy a B(t) = W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat Wiener bridge, amely független a W (1) valószínűségi változótól. (Adja meg a Wiener folyamat és Wiener bridge definicióját.)

5.) Mi a több-dimenziós normális eloszlás definiciója?

6.) Mi a Poisson folyamat definiciója?

7.) Egy A n × n méretű négyzetes mátrixhoz mikor lehet találni olyan (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektort, amelynek ő a kovariancia mátrixa?

8.) Mikor nevezünk egy Markov láncot tranziens, rekurrens, null-rekurrens illetve pozitív rekurrensnek? Milyen eredményeket ismer, amelyek segítenek eldönteni, hogy egy Markov lánc mikor tranziens, mikor null-rekurrens és mikor pozitív rekurrens?

9.) Mi a martingál és szemimartingál definiciója?