\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\nopagenumbers
\parskip=4pt plus 1.5pt

\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\centerline{\bf A J\'UNIUS 14.-I VIZSGA FELADATAI}

\medskip
\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, korl\'atos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek nem elfajul\'ok
a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben: $P(\xi_n=0)<1$ minden $n=1,2,\dots$
indexre. Legyen $\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$ a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebra, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_1\cdots\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Mutassa meg, hogy az
$(S_n,\Cal F_n)$ sorozat akkor \'es csak akkor  marting\'al, ha
$E\xi_n=0$ minden $n=2,3,\dots$ indexre.


\item{2.)} Egy \'even \'at lott\'ozunk. Mind az 52 h\'eten
kit\"olt\"unk egy szelv\'enyt (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni
\"ot\"ot). Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb
k\'et alkalommal lesz (pontosan) h\'armas tal\'alatunk?


\item{3.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.


\item{4.)} Legyen $W(t)$, $0\le t\le1$, egy Wiener folyamat. Mutassa meg,
hogy a $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le 1$, sztochasztikus 
folyamat Wiener bridge, amely f\"uggetlen a $W(1)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. (Adja meg a Wiener folyamat
\'es Wiener bridge definici\'oj\'at.)


\item{5.)} Mi a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja?


\item{6.)} Mi a Poisson folyamat definici\'oja?


\item{7.)} Egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} n\'egyzetes m\'atrixhoz
mikor lehet tal\'alni olyan $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektort,
amelynek \H{o} a kovariancia m\'atrixa?


\item{8.)} Mikor nevez\"unk egy Markov l\'ancot tranziens, rekurrens,
null-rekurrens illetve po\-zi\-t\'{\i}v rekurrensnek? Milyen eredm\'enyeket
ismer, amelyek seg\'{\i}tenek eld\"onteni, hogy egy Markov l\'anc
mikor tranziens, mikor null-rekurrens \'es mikor pozit\'{\i}v rekurrens?


\item{9.)} Mi a marting\'al \'es szemimarting\'al definici\'oja?



\bye