\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\nopagenumbers
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\nopagenumbers

\centerline{\bf A j\'unius 15.-i vizsga feladatai}
\medskip

\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, korl\'atos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek nem elfajul\'ok
a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben: $P(\xi_n=0)<1$ minden $n=1,2,\dots$
indexre. Legyen $\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$ a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebra, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_1\cdots\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Mutassa meg, hogy az
$(S_n,\Cal F_n)$ sorozat akkor \'es csak akkor  marting\'al, ha
$E\xi_n=0$ minden $n=2,3,\dots$ indexre.


\item{2.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 16800 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Fel\'{\i}rjuk egy jegyz\H{o}k\"onyvbe azon pontok
hely\'enek az \'ert\'ekeit, amelyek vagy a $[-1,-\frac12]$ vagy az
$[\frac12,1]$ intervallumba esnek, a t\"obbi pontot pedig figyelmen 
k\'{\i}v\"ul hagyjuk. Jel\"olje $S$ a $[-1,-\frac12]\cup[\frac12,1]$ 
intervallumba esett pontok sz\'am\'at, azaz azt, hogy  h\'any 
sz\'amot \'{\i}rtunk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, \'es $T$ a 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'amok \"osszeg\'et. Adjon j\'o 
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy 
$P(S>8400,T>70)$.  


\item{3.)} Legyen $W(t)$, $t\ge0$, egy Wiener folyamat. Mutassa meg,
hogy a $Z(u)=\frac{W(e^u)}{e^{u/2}}$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus
folyamat stacion\'arius.


\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az $\left.E\(\frac{\xi^4+1}{\eta^2+1}\right|\eta\)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.


\item{5.)} Mikor mondjuk, hogy a sz\'amegyenesen defini\'alt
$F_n(x)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata
eloszl\'asban konverg\'al egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $n\to\infty$?  Mikor mondjuk,
hogy egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'eren \'ertelmezett
$\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en
konverg\'al egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha
$n\to\infty$? Milyen kapcsolat van a k\'et konvergencia fogalom 
k\"oz\"ott?


\item{6.)} Milyen centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt ismer
sz\'eriasorozatokra?


\item{7.)} Hogy sz\'ol a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg? Mi a
kapcsolata e t\'etelnek (illetve e t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak)
a marting\'alokhoz?



\item{8.)} Mit jelent egy Markov l\'ancban az oszt\'alytulajdons\'ag?
Milyen osz\-t\'aly\-tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat ismer? Mit jelent 
az, hogy egy Markov l\'anc irreducibilis? Milyen 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-le\-ket ismer irreducibilis 
Markov l\'anc \'allapotainak a viselked\'es\'er\H{o}l, ha az id\H{o} 
tart a v\'egtelenhez?



\bye

\item{1.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$ szorzatokat. Mikor lesz az
$S_1,S_2,\dots$ sorozat marting\'al?





\item{2.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.


\item{3.)} Legyenek $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Bizony\'{\i}tsa
be, hogy a $\xi+\eta+\zeta$, $3\xi-2\eta-\zeta$ \'es
$\xi+4\eta-5\zeta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.


\item{5.)} Mi a Wiener bridge definici\'oja?


\item{6.)} Hogyan sz\'ol a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel?


\item{7.)} Mikor nevez\"unk egy Markov l\'ancot tranziens, rekurrens,
null-rekurrens illetve po\-zi\-t\'{\i}v rekurrensnek? Milyen eredm\'enyeket
ismer, amelyek seg\'{\i}tenek eld\"onteni, hogy egy Markov l\'anc
mikor tranziens, mikor null-rekurrens \'es mikor pozit\'{\i}v rekurrens?



\item{8.)} Hogyan sz\'ol a Radon--Nikodym t\'etel?

\item{9.)} Milyen konvergencia t\'eteleket ismer marting\'alokr\'ol?




\item{2.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 5600 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Fel\'{\i}rjuk egy jegyz\H{o}k\"onyvbe azon pontok
hely\'enek az \'ert\'ekeit, amelyek vagy a $[-1,-\frac12]$ vagy az
$[\frac12,1]$ intervallumba esnek, a t\"obbi pontot pedig figyelmen 
k\'{\i}v\"ul hagyjuk. Jel\"olje $S$ a $[-1,-\frac12]\cup[\frac12,1]$ 
intervallumba esett pontok sz\'am\'at, azaz azt, hogy  h\'any 
sz\'amot \'{\i}rtunk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, \'es $T$ a 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'amok \"osszeg\'et. Adjon j\'o 
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy 
$P(S>2830,T>70)$.  


