A MÁJUS 31.-I VIZSGA FELADATAI ÉS KÉRDÉSEI

1.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számolja ki az E (\frac{(ξ^{4}+1)(η^{2}+1)}{η^{4}+1} | η) feltételes várható értéket.

2.) Legyen adva egy Markov lánc, amelynek két állapota van, az {1} és {2} állapot, átmenetvalószínűségeit pedig a p(\{1\}|\{1\}) = p(\{2\}|\{1\}) = \frac{1}{2} és p(\{1\}|\{2\}) = 1 − p(\{2\}|\{2\}) = \frac{1}{3} képletek adják meg. Mi e Markov lánc stacionárius eloszlása?

3.) Legyen W (t) Wiener folyamat a 0 ≤ t < ∞ félegyenesen, és definiáljuk segítségével a Z(u) = \frac{W (e^{u})}{e^{u/2}}, −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamatot. Mutassa meg, hogy a Z(·) sztochasztikus folyamat stacionárius, azaz minden s valós számra a Z(u + s) és Z(u), −∞ < u < ∞, sztochasztikus folyamatok eloszlása megegyezik.

4.) Ledobunk a [−1, 1] intervallumra 2700 pontot egyenletes eloszlással, tehát a ledobott pontok helyének a sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Adjon jó közelítő becslést egy normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a kapott pontok értékeinek az összege nagyobb, mint 15, és a négyzetösszege nagyobb, mint 880.

5.) Hogyan szól a centrális határeloszlástétel általános alakja szériasorozatokra? 6.) Hogyan szól a funkcionális centrális határeloszlástétel? 7.) Hogyan szól a felújítási tétel független, egyforma eloszlású, nem negatív egész

értékeket felvevő valószínűségi változók részletösszegeinek sorozatára, és mi a kapcsolata ennek az eredménynek Markov láncok átmenetvalószínűségeinek aszimptotikus viselkedésével? Milyen eredményeket ismer (diszkrét idejű) Markov láncok átmenetvalószínűségeinek aszimptotikus viselkedéséről?

8.) Hogyan szól a Radon–Nikodym tétel, és hogyan definiáljuk segítségével egy ξ valószínűségi változó E(ξ|F) feltételes várható értékét feltéve egy F σ-algebrát?