\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers

\centerline{\bf A M\'AJUS 31.-I VIZSGA FELADATAI \'ES K\'ERD\'ESEI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'amolja ki az
$E\left.\(\frac{(\xi^4+1)(\eta^2+1)}{\eta^4+1}\right|\eta\)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\item{2.)} Legyen adva egy Markov l\'anc, amelynek k\'et \'allapota
van, az $\{1\}$ \'es $\{2\}$ \'allapot,
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit pedig a
$p(\{1\}|\{1\})=p(\{2\}|\{1\})=\frac12$ \'es
$p(\{1\}|\{2\})=1-p(\{2\}|\{2\})=\frac13$ k\'epletek adj\'ak meg.
Mi e Markov l\'anc stacion\'arius eloszl\'asa?

\item{3.)} Legyen $W(t)$ Wiener folyamat a $0\le t<\infty$
f\'elegyenesen, \'es defini\'aljuk seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
$Z(u)=\frac{W(e^u)}{e^{u/2}}$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus
folyamatot. Mutassa meg, hogy a $Z(\cdot)$ sztochasztikus folyamat
stacion\'arius, azaz minden $s$ val\'os sz\'amra a $Z(u+s)$ \'es
$Z(u)$, $-\infty<u<\infty$, sztochasztikus folyamatok eloszl\'asa
megegyezik.

\item{4.)} Ledobunk a $[-1,1]$ intervallumra 2700 pontot egyenletes
eloszl\'assal, teh\'at a le\-do\-bott pontok hely\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Adjon j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est 
egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy  a kapott pontok \'ert\'ekeinek 
az \"osszege nagyobb, mint 15, \'es a n\'egyzet\"osszege nagyobb, 
mint 880.

\item{5.)} Hogyan sz\'ol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'altal\'anos alakja sz\'eriasorozatokra?

\item{6.)} Hogyan sz\'ol a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel?

\item{7.)} Hogyan sz\'ol a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u, nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket
felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek sorozat\'ara, \'es mi a kap\-cso\-la\-ta 
ennek az eredm\'enynek
Markov l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek
aszimptotikus vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-vel?
Milyen eredm\'enyeket ismer (diszkr\'et idej\H{u}) Markov l\'ancok
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei\-nek 
aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l?

\item{8.)} Hogyan sz\'ol a Radon--Nikodym t\'etel, \'es hogyan
defini\'aljuk seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $E(\xi|\Cal F)$ 
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et felt\'eve egy $\Cal F$ 
$\sigma$-algebr\'at?






\bye

\item{4.)} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
a $[0,3]$ intervallumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a
ledobott pontok hely\'enek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye legyen
$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe fel\'{\i}rjuk a ledobott pontok n\'emileg
m\'odos\'{\i}tott \'ert\'ek\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
a pont \'ert\'eket \'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az
$[1,2]$ intervallumba esik akkor az 1 sz\'amot, ha pont a $[2,3]$
intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot \'{\i}rjuk a
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjon egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\'ert\'eket annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 6000 sz\'am \"osszege 6940 \'es 7080
k\"oz\'e esik.
