\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10



\beginsection Diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'ancok vizsg\'alata.

Tekints\"unk egy diszkr\'et idej\H{u} $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'ancot
$P(j,k)=P(X_{n+1}=E_k|X_n=j)$, $n=1,2,\dots$,
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amely bizonyos
$E_1,E_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel. Els\H{o}sorban a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'esekre vagyunk kiv\'ancsiak.

\medskip
\item{a)} Milyen $P(j,k)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
eset\'eben mondhatjuk azt, hogy a Markov-l\'anc az $E_j$ \'allapotb\'ol
kiindulva 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel (v\'egtelen sokszor)
visszat\'er az $E_j$ \'allapotba? (Mint l\'atni fogjuk, ha a
Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszat\'er az $E_j$
\'allapotba,
akkor az is igaz, hogy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen
sokszor visszat\'er oda.)

\medskip
\item{b)} Tekints\"uk egy $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc $E_j$
\'allapot\'at, \'es a $P(n,j,j)=P(X_{n}=E_j|X_0=E_j)$ $n$-l\'ep\'eses
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. L\'etezik-e a
$\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)$ ha\-t\'ar\-\'er\-t\'ek? Ha l\'etezik meg
tudjuk-e adni ezt a hat\'ar\'ert\'eket viszonylag egyszer\H{u}
m\'odon? L\'e\-tez\-nek-e \'es jellemezhet\H{o}ek-e a
$\limm_{n\to\infty}P(n,j,k)=\limm_{n\to\infty}P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$
ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-kek?

\medskip
\item{c)} Mondhatjuk-e, hogy amennyiben $E_j$ \'es $E_k$ k\'et
olyan \'allapot, amelyekre teljes\"ul az a tulajdons\'ag, hogy a
Markov-l\'anc pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jut el az
az $E_j$ \'allapotb\'ol az $E_k$ \'allapotba, illetve az $E_k$
\'allapotb\'ol az $E_j$ \'allapotba (alkalmas sz\'am\'u
l\'ep\'esben) akkor a Markov-l\'ancot az $E_j$ illetve $E_k$
\'allapotb\'ol elind\'{\i}tva egy\-szer\-re igaz vagy nem igaz az,
hogy a Markov-l\'anc v\'egtelen sokszor visszat\'er illetve csak
v\'eges sok alkalmommal t\'er vissza oda; egy\-szer\-re l\'eteznek
vagy nem l\'eteznek  pozit\'{\i}v $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)>0$
\'es $\limm_{n\to\infty}P(n,k,k)>0$ ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-kek?
\'Altal\'anosabban, fel tudjuk-e osztani a Markov-l\'anc
\'allapotter\'et annak alapj\'an, hogy mely \'allapotb\'ol mely
\'allapotba lehet eljutni pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel term\'eszetes m\'odon oszt\'alyokra
\'ugy, hogy az egy oszt\'alyban lev\H{o} elemeknek sok fontos
hasonl\'o tulajdons\'aga van? \medskip

E k\'erd\'esek t\'argyal\'asa el\H{o}tt \'erdemes bevezetni
n\'eh\'any fogalmat \'es mennyis\'eget.

\medskip\noindent
{\bf Markov-l\'anc rekurrens \'es tranziens \'allapot\'anak fogalma.}
{\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ egy Markov-l\'anc egy $\Cal
E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. Azt mondjuk, hogy a
Markov-l\'anc $E_j$ \'allapota\/ {\rm rekurrens}, ha a Markov-l\'ancot
az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tva, azaz ha $P(X_0=E_j)=1$, a
Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszat\'er valamikor
az $E_j$ \'allapotba. Ez azt jelenti, hogy
$$
P\(\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon X_n(\oo)=E_j\}\)=1.
$$
A Markov-l\'anc $E_j$ \'allapota\/ {\rm tranziens},
ha a Markov-l\'ancot az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tva, az
1-n\'el kisebb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'er vissza valamikor
az $E_j$ \'allapotba, azaz
$$
P\(\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon X_n(\oo)=E_j\}\)<1.
$$
} 

\medskip\noindent
{\bf Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak a peri\'odusa.} {\it
Legyen $X_0,X_1,\dots$ egy Markov-l\'anc egy $\Cal
E=\{E_1,E_2,\dots\}$, \'allapott\'eren, \'es jel\"olje
$P(n,j,k)=P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$, az $n$-l\'ep\'eses
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Vezess\"uk be az $\Cal
A(j)=\{n\colon P(n,j,j)>0\}$, halmazokat, azaz azon $n$ indexek
halmaz\'at, amelyekre a $P(n,j,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
szigor\'uan pozit\'{\i}v. Azt
mondjuk, hogy a Markov-l\'anc $E_j$ \'allapot\'anak peri\'odusa $l$,
ha az $\Cal A(j)$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb
k\"oz\"os oszt\'oja $l$. Ha ez a legnagyobb k\"oz\"os oszt\'o 1,
akkor a Markov-l\'anc $E_j$ \'allapot\'at aperi\'odikusnak
nevezz\"uk. (Ha a $\Cal  A(j)$ halmaz \"ures, azaz a Markov-l\'anc
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel soha nem t\'er vissza az $E_j$
\'allapotba, akkor nem defini\'aljuk az $E_j$ halmaz peri\'odus\'at.)}

\medskip\noindent
{\it (Egyszer\H{u}) feladat.}\/ Egy a $d$-dimenzi\'os t\'er eg\'esz
koordi\'at\'aj\'u pontjaib\'ol \'all\'o r\'acson t\"ort\'en\H{o}
bolyong\'as peri\'odusa 2.

\medskip
Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$,
\'allapott\'eren, \'es jel\"olje $P(n,j,k)=P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$,
az $n$-l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Vezess\"uk
be az al\'abbi mennyis\'egeket:
$$
f_j(n)=P(X_{n}=E_j, X_m\neq E_j,\text{ ha }1\le m<n|X_0=E_j), \quad
n=1,2,\dots, \tag1
$$
azaz $f_j(n)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $E_j$
\'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc $n$ l\'ep\'es m\'ulva
t\'er vissza el\H{o}sz\"or az $E_j$ \'allapotba. Ny\'{\i}lv\'an az
$E_j$ \'allapot akkor \'es csak akkor rekurrens, ha
$\summ_{n=1}^\infty f_j(n)=1$. Ha az $E_j$ \'allapot rekurrens, akkor
vezess\"uk be a
$$
\mu_j=\summ_{n=1}^\infty nf_j(n) \tag2
$$
mennyis\'egeket is. A $\mu_j$ mennyis\'eg  egyenl\H{o} az $E_j$
\'allapotba val\'o els\H{o} visszat\'er\'es idej\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel. Mint majd l\'atni fogjuk, a $\mu_j$
mennyis\'eg szoros kapcsolatban van a (l\'etez\H{o})
$\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)$ hat\'ar\'ert\'ekkel.

Vezess\"uk be a
$$
P_j(x)=\summ_{n=0}^\infty P(n,j,j)x^n,\quad
F_j(x)=\summ_{n=0}^\infty f_j(n)x^n \tag3
$$
hatv\'anysorokat, ahol $P(0,j,j)=1$, $f_j(0)=0$ definici\'o szerint.
Ezek a hatv\'anysorok konverg\'alnak $|x|<1$ eset\'eben. Vegy\"uk
\'eszre, hogy
$P(n,j,j)=f_j(n)P(0,j,j)+f_j(n-1)P(1,j,j)+f_j(n-2)P(2,j,j)+\cdots
+f_j(1)P(n-1,j,j)$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Innen, illetve a
$P(0,j,j)=1$ \'es $f_j(0)=0$ rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
F_j(x)P_j(x)=P_j(x)-1. \tag4
$$
A (4) azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel be fogjuk l\'atni a
k\"ovetkez\H{o} t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Markov-l\'ancok rekurrens \'es tranziens \'allapotainak
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Le\-gyen $X_0,X_1,\dots$, Markov-l\'anc,
$E_1,E_2,\dots$ \'allapotokkal, \'es jel\"olje
$P(n,j,k)=P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$ a Markov-l\'anc
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit. A Markov-l\'anc $E_j$
\'allapota rekurrens, ha
$$
\sum_{n=1}^\infty P(n,j,j)=\infty,
$$
tranziens, ha
$$
\sum_{n=1}^\infty P(n,j,j)<\infty.
$$
Ha az $E_j$ \'allapot rekurrens, akkor a Markov-l\'anc 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sokszor t\'er vissza az
$E_j$ \'allapotba. Ha az $E_j$ \'allapot tranziens, akkor a
Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sokszor t\'er
vissza az $E_j$ \'allapotba.}

\medskip
A t\'etel utols\'o \'all\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o}t mondja. Ha egy
az $E_j$ \'allapotb\'ol indul\'o Markov-l\'anc 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'er vissza az $E_j$ \'allapotba,
akkor 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sokszor t\'er vissza
az $E_j$ \'allapotba. M\'{\i}g abban az esetben, ha a visszat\'er\'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege szigor\'uan kisebb, mint egy, akkor nulla
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a Markov-l\'anc v\'egtelen
sokszor t\'er vissza az $E_j$ \'allapotba.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A (4) rel\'aci\'o, illetve annak a
t\'enynek az alapj\'an, hogy $F_j(x)$ \'es $P_j(x)$ nem-negat\'{\i}v
egy\"utthat\'os hatv\'anysorok, kapjuk, hogy minden $N\ge1$ sz\'amra
$$
\sum_{n=1}^N f_j(n)\le\lim_{x\to1}F_j(x)=1-\lim_{x\to1}\frac1{P_j(x)}
\le\sum_{n=1}^\infty f_j(n).
$$
Ha $\summ_{n=1}^\infty P(n,j,j)=K<\infty$, akkor
$\summ_{n=1}^N f_j(n)\le1-\limm_{x\to1}\frac1{P_j(x)}\le1-\frac1K$
minden $N=1,2,\dots$, sz\'amra, ez\'ert $\summ_{n=1}^\infty
f_j(n)<1$, \'es az $E_j$ \'allapot tranziens.
Ha $\summ_{n=1}^\infty P(n,j,j)=\infty$, akkor
$1\ge\summ_{n=1}^\infty f_j(n)\ge1-\limm_{x\to1}\frac1{P_j(x)}=1$,
teh\'at $\summ_{n=1}^\infty f_j(n)=1$, \'es az $E_j$  \'allapot
rekurrens.

A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez elegend\H{o}
bel\'atni, hogy mivel $F_j=\summ_{n=1}^\infty f_j(n)$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $E_j$ \'allapotb\'ol indul\'o
Markov-l\'anc legal\'abb 1-szer vissza\-t\'er az $E_j$ \'allapotba,
$F_j^k$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a Markov-l\'anc
legal\'abb $k$-szor visszat\'er az $E_j$ \'allapotba. Innen ugyanis
k\"ovetkezik, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a Markov
l\'anc v\'egtelen sokszor t\'er vissza az $E_j$ \'allapotba
$\limm_{k\to\infty}F_j^k$, \'es ez 1, ha $F_j=1$, \'es nulla ha 
$F_j<1$. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast $k$ szerinti teljes indukci\'oval 
fogjuk bel\'atni.

Az indukci\'os feltev\'es $k=1$ esetben \'erv\'enyes. Jel\"olje
$f_j^{(k)}(n)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a
Markov-l\'anc az $n$ id\H{o}pontban t\'er vissza a $k$-ik alkalommal az
$E_j$ \'allapotba. Az, hogy az indukci\'os feltev\'es \'erv\'enyes
$k$-ra azt jelenti, hogy $\summ_{n=1}^\infty f_j^{(k)}(n)=F_j^k$. Annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a Markov-l\'anc legal\'abb
$k+1$-szer visszat\'er az $E_j$ \'allapotba kifejezhet\H{o}, mint
$\summ_{n=1}^\infty\summ_{m=1}^\infty f_j^{(k)}(n)f_j(m)=
\(\summ_{n=1}^\infty f_j^{(k)}(n)\)\(\summ_{m=1}^\infty
f_j(m)\)=F_j^{k+1}$. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip
\'Erdemes megfogalmazni a fenti eredm\'eny k\"ovetkez\H{o} P\'olya
t\'etel n\'even ismert h\'{\i}res k\"ovetkezm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf P\'olya Gy\"orgy t\'etele v\'eletlen bolyong\'asok
visszat\'er\'es\'er\H{o}l.} {\it Tekints\"uk a v\'eletlen
bolyong\'ast a $d$-dimenzi\'os eg\'esz r\'acson, azaz tekints\"unk
egy olyan $X_0,X_1,\dots$, Markov-l\'ancot a $d$-dimenzi\'os t\'er
eg\'esz koordin\'at\'aj\'u pontjain, amelyre $P(X_0=(0,\dots,0))$,
az $X_{n+1}-X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P(X_{n+1}-X_n=e_j)=P(X_{n+1}-X_n=-e_j)=\frac1{2d}$,
$j=1,\dots,d$, $n=0,1,\dots$, ahol $e_j$ azt a $d$-dimenzi\'os
vektort jel\"oli, amelynek $j$-ik koordin\'at\'aja~1, \'es \"osszes
t\"obbi koordin\'at\'aja nulla. A v\'eletlen bolyong\'as $d=1$ \'es
$d=2$ dimenzi\'oban 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen
sokszor visszat\'er az orig\'oba, $d\ge3$ dimenzi\'oban 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sokszor t\'er vissza oda.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Micheal Keane amerikai matematikus a
k\"ovetkez\H{o} humoros, de a l\'enyeget j\'ol kifejez\H{o}
interpret\'aci\'oj\'at adta a P\'olya t\'etelnek: Egy r\'eszeg ember
el\H{o}bb-ut\'obb biztos, hogy hazatal\'al, de egy r\'eszeg mad\'ar
nem felt\'etlen\"ul.

\medskip\noindent
{\it A P\'olya t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az el\H{o}z\H{o} t\'etel
alapj\'an el\'eg bel\'atni azt, hogy  $\summ_{n=1}^\infty
P(n,0,0)=\infty$ egy $d$-dimenzi\'os v\'eletlen bolyong\'as \'atmenet
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeire, ha $d=1$ vagy $d=2$, \'es
$\summ_{n=1}^\infty P(n,0,0)<\infty$, ha $d\ge3$. Ezen rel\'aci\'ok
megmutat\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy $P(2n,0,0)\sim Kn^{-d/2}$
alkalmas $K=K(d)>0$ egy\"utthat\'oval minden $n=1,2,\dots$,
param\'eterre \'es $d=1,2,\dots$ dimenzi\'ora. (Jegyezz\"uk meg,
hogy $P(2n+1,0,0)=0$, azaz p\'aratlan sok l\'ep\'esben nem
t\'erhet\"unk vissza az orig\'oba). Viszont ismert az \'ugynevezett
lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, amely jelen esetben
azt fejezi ki, kiss\'e fel\"uletesen megfogalmazva, hogy a
$P(X_{n}=k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'ugy viselkednek, mint
ahogy azt a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sugallja.

Fel\'{\i}rhatjuk az $X_n=\summ_{j=1}^{n-1}(X_j-X_{j-1})$ rel\'aci\'ot,
ahol az \"osszegben f\"uggetlen \'es (ismert) egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek. Ez
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan, (val\'oj\'aban
egy\-sze\-r\H{u}b\-ben), j\'o aszimp\-to\-ti\-kus
rel\'aci\'ot \'{\i}rjunk fel annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
 hogy az $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o adott
\'ert\'eket vesz fel. Most csak a sz\'amunkra a jelen feladatban
\'erdekes formul\'at l\'atjuk be. Nevezetesen azt, hogy amennyiben
$Y_k=X_{k}-X_{k-1}$, $k=1,\dots,2n$ f\"uggetlen $d$-dimenzi\'os
t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, $P(Y_k=e_j)=P(Y_k=-e_j)=\frac1{2d}$, $j=1,\dots,d$,
$k=1,\dots,2n$, akkor
$$
\limm_{n\to\infty} n^{-d/2}P(X_{2n}=0)
=\limm_{n\to\infty}n^{-d/2}P(Y_1+\cdots+Y_{2n}=0) 
=\frac{2d^{d/2}}{(2\pi)^{d/2}}. \tag5
$$
Innen k\"ovetkezik P\'olya Gy\"orgy t\'etele.

Az (5) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'anak r\'eszleteit elhagyom,
Csak r\"ovid magyar\'azatot adok arra, honnan lehet
l\'atni, hogy egy ilyen aszimp\-to\-ti\-kus formula \'erv\'enyes,
illetve, mi a bizony\'{\i}t\'as alapgondolata. A r\'eszletek
kidolgoz\'asa szorgalmi feladat.

Az (5) k\'eplet bizonyos \'ertelemben  a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel lok\'alis alakj\'anak tekinthet\H{o}. A
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel  bizony\'{\i}t\'asa azon
m\'ulik, hogy az $X_{2n}$ v\'eletlen f\"uggetlen \"osszeg
$\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere, illetve annak
normaliz\'altj\'ara j\'o aszimptotikus becs\-l\'est tudunk
adni. Jelen esetben a karakterisztikus f\"uggv\'eny egy
$\varphi_n(t_1,\dots,t_d)=c_n(k_1,\dots,k_d)
e^{i(k_1t_1+\cdots+k_dt_d)}$ alak\'u
(t\"obb-v\'altoz\'os) Fourier sor, amely\-nek tagjai
$c_n(k_1,\dots,k_d)e^{i(k_1t_1+\cdots+k_dt_d)}$ alak\'u
f\"uggv\'enyek, ahol $k_1,\dots,k_d$ eg\'esz sz\'a\-mok, \'es
$k_1+\cdots+k_d$ p\'aros sz\'am. Tov\'abb\'a a f\"uggetlens\'eg
miatt $\varphi_n(t_1,\dots,t_d)=\bar\varphi^{2n}(t_1,\dots,t_d)$, ahol
$\bar\varphi(t_1,\dots,t_d)=\frac1{2d}\summ_{j=1}^d(e^{it_j}+e^{-it_j})$.
\'Igy a $\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny
ki\-sz\'a\-mol\-ha\-t\'o. Ez\'ert felhaszn\'alva, hogy a Fourier sor
tagjaiban szerepl\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyek ortogon\'alisak
a $K=\[-\frac\pi2,\frac\pi2\]\times[-\pi,\pi]^{d-1}$
$d$-dimenzi\'os t\'eglatesten, (mely \'all\'{\i}t\'ast k\"ul\"on
igazolni kell,) a $c_n(0,\dots,0)$ Fourier egy\"utt\-ha\-t\'ot, ami
egyenl\H{o} a  $P(X_{2n}=0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ki lehet
fejezni a Fourier sor integr\'alj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
a $K$ t\'eglatesten. Ez, mivel a Fourier sor \'ert\'ek\'ere j\'o
aszimp\-to\-ti\-kus formul\'ank van, lehet\H{o}v\'e teszi az (5)
k\'eplet igazol\'as\'at. Ennek a sz\'amol\'asnak a f\H{o} l\'ep\'ese
annak megmutat\'asa, hogy a tekintend\H{o} integr\'al l\'enyeg\'eben
az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'ebe van koncentr\'alva, ahol az
integrandusra j\'o aszimptotikus formul\'at lehet adni.

Mag\'at a v\'egeredm\'enyt el\H{o}re megsejthetj\"uk. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg egyenl\H{o} a
megfelel\H{o} kovarianci\'aj\'u, 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val
a $K$ t\'eglatesten. R\'aad\'asul, mivel a kovariancia m\'atrix
(nagy $n$ index eset\'en) nagy, ez\'ert kis hib\'at k\"ovet\"unk
el, ha a $K$ t\'eglatest helyett az eg\'esz t\'eren integr\'alunk.

\medskip
R\'at\'erek a b) k\'erd\'es t\'argyal\'as\'ara, annak
vizsg\'alat\'ara, hogy mennyivel egyenl\H{o} egy Markov-l\'anc
\'atmeneteinek $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)$ hat\'ar\'ert\'eke
(felt\'eve, hogy ez a hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik), illetve az
\'{\i}gy kapott eredm\'enyb\H{o}l milyen k\"ovetkeztet\'eseket
tudunk levonni a $P(n,j,k)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
aszimptotikus viselked\'es\'ere nagy $n$ param\'eter eset\'en. A
vizsg\'alat elej\'en csak aperi\'odikus $E_j$ \'allapotokat
vizsg\'alunk. Ha ezek viselked\'es\'et j\'ol le tudjuk \'{\i}rni,
akkor az \'altal\'anos eset vizsg\'alata viszonylag egyszer\H{u}en
visszavezethet\H{o} erre.

A vizsg\'alat kulcsl\'ep\'ese a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik \'erdekes
eredm\'eny\'enek az \'ugy\-ne\-ve\-zett fel\'uj\'{\i}t\'asi
t\'etelnek az alkalmaz\'asa. Ezt az eredm\'enyt az el\H{o}ad\'asban
nem bizony\'{\i}tom, csak elmagyar\'azom, hogy szeml\'eletesen
nagyon term\'eszetes. (A ki\-eg\'e\-sz\'{\i}\-t\'es\-ben ismertetem
ennek az eredm\'enynek egy lehets\'eges bizony\'{\i}t\'as\'at
William Feller: Bevezet\'es a
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asba c\'{\i}m\H{u}
k\"onyve XIII. fejezet\'enek 11. pontj\'aban le\-\'{\i}rt
bizony\'{\i}t\'as alapj\'an.)

\medskip\noindent
{\bf Fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel.} {\it Legyen $Y_1,Y_2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u, (szigor\'uan) pozit\'{\i}v
eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok sorozata. Jel\"olje $S_n=\summ_{j=1}^nY_j$,
$n=1,2,\dots$, a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeit, \'es $\Cal A=\{m\colon P(Y_1=m)>0\}$,
azaz azon eg\'esz sz\'amok halmaz\'at, amelyeket az $Y_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o pozit\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel vesz fel. Tegy\"uk fel, hogy
az $\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os
oszt\'oja 1. Jel\"olje tov\'abb\'a $\mu=\summ_{j=1}^\infty jP(Y_1=j)$
az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. Ekkor a k\"ovetkez\H{o} aszimptotikus formul\'at
\'erv\'enyes annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy valamelyik
$S_m$ r\'eszlet\"osszeg felvesz egy el\H{o}re r\"ogz\'{\i}tett nagy
$n$ \'ert\'eket:
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\oo\colon \bigcupp_{m=1}^\infty
S_m(\oo)=n\)=\frac1\mu.  \tag6
$$
A (6) rel\'aci\'o mind $\mu<\infty$, mind $\mu=\infty$
esetben fenn\'all. Ut\'obbi esetben ez a k\'eplet a $\frac1\infty=0$
jel\"ol\'essel \'erv\'enyes.}
\medskip
A fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel be fogjuk l\'atni
a k\"ovetkez\H{o} t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek
aszimptotikus vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen
$X_0,X_1,\dots$ olyan Markov-l\'anc $P(n,i,j)=P(X_{n}=E_j|X_0=E_i)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel,
amelyben az $E_j$ \'allapot  rekurrens \'es aperi\'odikus. Ekkor
teljes\"ul a
$$
\lim_{n\to\infty}P(n,j,j)=\frac1{\mu_j} \tag7
$$
azonoss\'ag, ahol a $\mu_j$ mennyis\'eg a (2) formul\'aban van
defini\'alva. A (7) k\'eplet speci\'alisan azt is \'all\'{\i}tja,
hogy ha $\mu_j=\infty$, akkor $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)=0$.}
\medskip

El\H{o}sz\"or elmagyar\'azom a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel
szeml\'eletes tartalm\'at, majd azt, hogy ho\-gyan lehet ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az ezt k\"ovet\H{o} t\'etelt bel\'atni.

Term\'eszetes azt v\'arni, hogy hogy a f\"uggetlen, pozit\'{\i}v
eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_1,S_2,\dots$, r\'eszlet\"osszegei k\"or\"ulbel\"ul ugyanolyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel valamilyen indexre minden
el\'eg nagy $n$ sz\'amot. (Ahhoz, hogy ez a tulajdons\'ag
teljes\"ulj\"on fel kellett tenni, hogy a t\'etelben defini\'alt
$\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os
oszt\'oja 1. Ezzel kapcsolatban l\'asd a k\"ovetkez\H{o} feladatot.)
Ez azt su\-gall\-ja, hogy ha megjel\"olj\"uk azokat a (v\'eletlen)
pontokat, amelyeket az $S_1(\oo),S_2(\oo),\dots$
r\'eszlet\"osszegek megl\'atogatnak, akkor a megjel\"olt pontok
halmaz\'anak az \"osszes pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaz\'aban
van valamilyen s\H{u}r\H{u}s\'ege, \'es a (6) k\'eplet baloldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'esnek ez a s\H{u}r\H{u}s\'eg a (l\'etez\H{o})
limesze. Viszont ezt a s\H{u}r\H{u}s\'eget k\"onnyen
ki\-sz\'a\-mol\-hat\-juk. Ugyan\-is a nagy sz\'amok t\"orv\'enye
alapj\'an $\frac{S_n}n$ \'ert\'eke tart a $\mu$ sz\'amhoz 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti, hogy
nagy $n$ indexre van egy olyan $[1,A_n]$ intervallum, (v\'eletlen
$A_n$ v\'egponttal), amelyre $A_n\sim n\mu$, \'es az $[1,A_n]$
intervallumban pontosan $n$ megjel\"olt pont van. Ez\'ert a
megjel\"olt pontok s\H{u}r\H{u}s\'ege $\frac1\mu$.

\medskip\noindent
{\it Feladat.}\/ Legyenek $Y_1,Y_2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u, pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok.
Tekints\"uk a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel
megfogalmaz\'as\'aban defini\'alt
$\Cal A=\{m\colon P(Y_1=m)>0\}$ halmazt. Mutassuk, meg hogy ha
a $\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os
oszt\'oja 1, akkor l\'etezik olyan (az $\Cal A$ halmazt\'ol
f\"ugg\H{o}) $N_0$ k\"usz\"obsz\'am, \'es olyan $a_1,\dots,a_k\in
\Cal A$ sz\'amok, hogy minden $n\ge N_0$ sz\'am fel\'{\i}rhat\'o
$n=r_1 a_1+\cdots+r_k a_k$ alakban, ahol $r_1,\dots,r_k$ szigor\'uan
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $\summ_{j=1}^M Y_j=n$ valamilyen
$M\ge1$ sz\'amra, ha $n\ge N_0$, szigor\'uan pozit\'{\i}v.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg.}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy bizonyos
sz\'amelm\'eleti  eredm\'enyek alapj\'an igaz a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'as: Ha $a_1,\dots,a_k$ eg\'esz sz\'amok legnagyobb
k\"oz\"os oszt\'oja 1, akkor az  $s_1a_1+\cdots+s_ka_k=1$ rel\'aci\'o
teljes\"ul alkalmas $s_1,\dots,s_k$ eg\'esz, de nem felt\'etlen\"ul
pozit\'{\i}v sz\'amokkal. Ha $R(a_1+\cdots+a_k)\le
n<(R+1)(a_1+\cdots+a_k)$, akkor \'{\i}rjuk fel az $n$ sz\'amot $n=
R(a_1+\cdots+a_k)+[n-R(a_1+\cdots+a_k)]$ alakban, \'es alkalmazzuk
a fenti eredm\'enyt.

\medskip
A fenti heurisztikus gondolatmenet mutatja, mi\'ert hihet\H{o},
hogy a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel igaz. M\'asr\'eszt, egy az al\'abb
megfogalmazott lemma eredm\'enye szerint ha egy valamely $E_j$ 
rekurrens \'es aperi\'odikus \'allapotb\'ol indul\'o Markov-l\'ancot 
tekint\"unk, \'es vessz\"uk azon id\H{o}pontokat, amikor ez a Markov 
l\'anc az $E_j$ pontot megl\'atogatja, akkor az egym\'ast k\"ovet\H{o} 
l\'atogat\'asi id\H{o}pontok k\"oz\"ott eltelt id\H{o}szakaszok 
hosszai olyan f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek teljes\'{\i}tik a
fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel felt\'eteleit $\mu=\mu_j$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. Ezen \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkapjuk a
(7) formula bizony\'{\i}t\'as\'at. 

\medskip
Legyen $X_0,X_1,\dots$, stacion\'aris Markov-l\'anc, $P(X_0=E_j)=1$,
\'es legyen $E_j$ a Markov-l\'anc egy rekurrens \'allapota. Legyen
$$
\tau_1=\tau_1(E_j)=\min\{k\colon k>0,\;X_k=E_j\}.  \tag8
$$
Defini\'aljuk ezut\'an a $\tau_n$, $n=1,2,\dots$, meg\'all\'asi
szab\'alyokat az $n$ sz\'am szerinti teljes indukci\'oval a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Ha $\tau_n$-et m\'ar defini\'altuk, akkor
legyen
$$
\tau_{n+1}=\tau_{n+1}(E_j)=\min\{k\colon k>\tau_n,\;X_k=E_j\}.
\tag9
$$
Szavakkal megfogalmazva, $\tau_n$ az $E_j$ \'allapotba val\'o $n$-ik
visszat\'er\'es id\H{o}pontja. Bel\'atjuk a k\"ovetkez\H{o} lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Tekints\"unk egy  $X_0,X_1,\dots$, Markov-l\'ancot. 
Ha $E_j$ a Markov-l\'anc egy rekurrens \'allapota, \'es 
$P(X_0=E_j)=1$, akkor a (8) \'es (9) formul\'akban defini\'alt 
$\tau_n$, $n=1,2,\dots$, meg\'all\'asi szab\'alyokra az $Y_1=\tau_1$, 
$Y_k=\tau_k-\tau_{k-1}$, $k=2,3,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak. Tov\'abb\'a 
$P(Y_1=N)=f_j(N)$, $N=1,2,\dots$, ahol $f_j(N)$ a (1) k\'epletben van 
defini\'alva.}

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A $P(Y_1=N)=f_j(N)$, $N=1,2,\dots$,
rel\'aci\'o ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul, \'es el\'eg megmutatni 
tetsz\H{o}leges $k\ge1$, \'es $N_j\ge1$, $1\le j\le k+1$ eg\'esz 
sz\'amokra, hogy
$$
P(Y_{k+1}=N_{k+1}|Y_1=N_1,\dots,Y_k=N_k)=f_j(N_k).
$$
Ez ugyanis azt jelenti, hogy $Y_{k+1}$ felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve
az $Y_j$, $1\le j\le k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
tetsz\H{o}leges \'ert\'ekeit mindig megegyezik $Y_1$ eloszl\'as\'aval.
Ez pedig azt jelenti, hogy  $Y_{k+1}$ f\"uggetlen az $(Y_1,\dots,Y_k)$
vektort\'ol, \'es eloszl\'asa megegyzik $Y_1$ eloszl\'as\'aval.

A k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy 
minden olyan $E_{j_1}$, $E_{j_2}$,\dots $E_{j_{N_1+\cdots+N_k}}$ 
sorozatra, amelyre 
$$
\align
&\{\oo\colon\;X_0(\oo)=E_j,X_1(\oo)=E_{j_1}, 
X_2(\oo)=E_{j_2},\dots X_{N_1+\cdots+N_k}(\oo)=E_{j_{N_1+\cdots+N_k}}\}\\
&\qquad \subset\{\oo\colon\; Y_1(\oo)=N_1,\dots,Y_k(\oo)=N_k\}
\endalign
$$
$$
P(Y_{k+1}=N_{k+1}|X_0=E_j,X_1=E_{j_1}, X_2=E_{j_2},\dots 
X_{N_1+\cdots+N_k}=E_{j_{N_1+\cdots+N_k}})=f_j(N_k).
$$
Viszont ebben az esetben $E_{j_{N_1+\cdots+N_k}}=E_j$, \'es a 
Markov tulajdons\'ag alapj\'an
$$
\align
&P(Y_{k+1}=N_{k+1}|X_0=E_j,X_1=E_{j_1}, X_2=E_{j_2},\dots 
X_{N_1+\cdots+N_k}=E_{j_{N_1+\cdots+N_k}})\\
&\qquad=P(Y_{k+1}=N_{k+1}|X_{N_1+\cdots+N_k}=E_j)=f_j(N_{k+1}).
\endalign
$$
Az utols\'o k\'eplet m\'asodik azonoss\'aga az\'ert igaz, mert annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'amolni, hogy az
$E_j$ pontb\'ol kiindul\'o Markov l\'anc $N_{k+1}$ id\H{o}
m\'ulva t\'er vissza el\H{o}sz\"or az $E_j$ pontba. A lemm\'at 
bebizony\'{\i}tottuk.
\medskip

A Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek
aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a fenti lemm\'anak \'es a fel\'uj\'{\i}t\'asi
t\'etelnek. Val\'oban, tekints\"uk a lemma m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $\tau_n$ meg\'all\'asi
szab\'alyokat. Ezek fel\'{\i}rhat\'oak $\tau_n=\summ_{k=1}^n Y_k$
alakban, ahol $Y_1,Y_2,\dots$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es az az esem\'eny,
hogy az $E_j$ pontb\'ol indul\'o bolyong\'as az $n$-ik id\H{o}pontban
visszat\'er az $E_j$ \'allapotba azzal az esem\'ennyel egyezik meg,
hogy az $\tau_1(\oo),\tau_2(\oo),\dots$, visszat\'er\'esi id\H{o}k
valamelyike felveszi az $n$ \'ert\'eket. Mivel ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat el\H{o}\'all\'{\i}tottuk,
mint f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u  $Y_1,Y_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit, azt
kell meggondolnunk, hogy ezekre alkalmazhat\'o a fel\'uj\'{\i}t\'asi
t\'etel, \'es az az \'altalunk megfogalmazott eredm\'enyt adja.

Val\'oban, megadtuk az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at, \'es abb\'ol l\'atszik, hogy $Y_1$
v\'arhat\'o \'ert\'eke a (2) formul\'aban defini\'alt $\mu_j$
sz\'am. M\'asr\'eszt azon pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaz\'anak,
amelyeket az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel, (azaz a $\Cal A$
halmazban szerepl\H{o} sz\'amoknak) a legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja
1 az $E_j$ \'allapot aperi\'odikus tulajdons\'aga miatt. Val\'oban,
ha ezen sz\'amok mindegyike oszthat\'o volna valamely $d\ge2$
sz\'ammal, akkor a $\tau_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'ert\'ekei 1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel oszthat\'ok lenn\'enek
$d$-vel minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es ez azt jelenten\'e, hogy
az $E_j$ \'allapot peri\'odusa oszthat\'o $d$-vel. \'Igy a
fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel megadja a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.


Az el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'aban azt
bizony\'{\i}tottuk, illetve haszn\'altuk fel, hogy (diszkr\'et 
idej\H{u}) Markov l\'ancok teljes\'{\i}tik az \'ugynevezett
er\H{o}s Markov tulajdons\'agot. Ez egyszer\H{u}, de fontos 
tulajdons\'ag, amelyet \'erdemes ismertetni. E tulajdons\'ag 
definici\'oj\'anak megad\'as\'ahoz be kell
vezetni a meg\'all\'asi szab\'aly fogalm\'at.

A meg\'all\'asi szab\'aly szeml\'eletes tartalma az, hogy ez olyan
utas\'{\i}t\'as (v\'eletlen id\H{o}\-pont\-beli) meg\'all\'asra, amely
v\'egrehajthat\'o, azaz az $n$ id\H{o}pontbeli inform\'aci\'ok
alapj\'an, de a j\"o\-v\H{o}\-be\-li fejl\H{o}d\'est nem felt\'etlen\"ul
ismerve el lehet d\"onteni, hogy az $n$-ik id\H{o}pontban
meg\'all\'{\i}tsuk-e a folyamatot vagy sem. El\H{o}sz\"or az
\'altal\'anos esetben fogalmazom meg a definici\'ot, akkor amikor az
$n$ id\H{o}pontig szerzett inform\'aci\'ok egy $\Cal F_n$
$\sigma$-algebr\'aban vannak \"osszegy\"ujtve.

\medskip\noindent
{\bf Meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oja.} {\it Legyen adva
$\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} $\Cal F_1\subset \Cal
F_2\subset \Cal F_3\subset\cdots\subset \Cal A$ sorozata egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy egy pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket (\'es esetleg
a $\infty$) \'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e
$\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve, ha $\{\oo\:\tau(\oo)=n\}
\in \Cal F_n$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.}

\medskip
Ezut\'an megadom a definici\'o v\'altozat\'at abban az esetben, ha
$\sigma$-algebr\'ak helyett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok egy sorozata van adva.

\medskip\noindent
{\bf Meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oja.} {\it Legyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$
so\-ro\-za\-ta egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Egy pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket (\'es esetleg  a
$\infty$) \'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'ara n\'ezve, ha
meg\'all\'asi szab\'aly a $\Cal F_n=\Cal B(\xi_k(\oo),1\le k\le n)$
$\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} rendszer\'ere n\'ezve.}

\medskip\noindent
{\it Feladat:} Mutassuk meg, hogy a meg\'all\'asi szab\'aly
definici\'oj\'at ekvivalens m\'odon fogalmazzuk \'at, ha az
$\{\oo\:\tau(\oo)=n\}\in \Cal F_n$ felt\'etelt az
$\{\oo\:\tau(\oo)\le n\}\in \Cal F_n$ felt\'etellel
helyettes\'{\i}tj\"uk (minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra).
\medskip

E fogalom bevezet\'ese ut\'an megfogalmazom az er\H{o}s Markov
tulajdons\'agot.

\medskip\noindent
{\bf Er\H{o}s Markov tulajdons\'ag definici\'oja diszkr\'et idej\H{u}
Markov-l\'ancokra.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ (stacion\'arius)
Markov-l\'anc. Azt mondjuk, hogy a Markov-l\'anc teljes\'{\i}ti az
er\H{o}s Markov tulajdons\'agot, ha a Markov-l\'anc tetsz\H{o}leges
olyan $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly\'ara, amelyre
$P(\tau(\oo)<\infty)=1$
$$
\align
&P(X_{\tau+1}=E_{u_1},X_{\tau+2}=E_{u_2},\dots, X_{\tau+j}=E_{u_j}|
X_0=E_{v_0},\dots, X_{\tau}=E_{v_\tau})\\
&\qquad =P(X_{1}=E_{u_1},X_{2}=E_{u_2},\dots, X_{j}=E_{u_j}|X_0=E_{v_\tau})
\endalign
$$
minden olyan $n$, $u_1,\dots,u_n$ \'es $v_1,\dots v_k$ sz\'amokra,
amelyekre a fenti k\'eplet baloldal\'an szerepl\H{o} felt\'etel nem
nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} esem\'eny.}

\medskip
A Markov tulajdons\'ag (stacion\'arius) Markov-l\'ancokra azt mondja
ki, hogy r\"ogz\'{\i}tve egy $n$ id\H{o}pontot, \'es egy
trajekt\'ori\'at a $[0,n]$ intervallumon egy Markov-folyamatnak
az $n$ id\H{o}pont ut\'ani viselked\'ese, felt\'eve, hogy a $[0,n]$
id\H{o}intervallumban az el\H{o}\'{\i}rt trajekt\'ori\'at j\'arta be
ugyanolyan, mint egy olyan Markov-folyamat\'e, amely a 0
id\H{o}pontban ennek a trajekt\'ori\'anak a v\'egpontj\'ab\'ol indul.
Az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag ezt a tulajdons\'agot fogalmazza
meg abban az \'altal\'anosabb esetben, amikor a Markov-folyamatnak
nem egy determinisztikus, hanem egy v\'eletlen meg\'all\'asi
szab\'aly \'altal defini\'alt id\H{o}pontja ut\'ani viselked\'es\'et
k\'{\i}v\'anjuk le\'{\i}rni. B\'ar ezt a fogalmat csak diszkr\'et
idej\H{u} Markov-l\'ancokra fogalmaztuk meg, az er\H{o}s Markov
tulajdons\'ag fogalm\'at lehet (s\H{o}t \'erdemes) defini\'alni
\'altal\'anos Markov-folyamatokra is. 

\medskip
Bevezetem a k\"ovetkez\H{o} definici\'okat.

\medskip\noindent
{\bf Markov-l\'anc null rekurrens \'allapot\'anak a definici\'oja.}
{\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Mar\-kov-l\'anc egy $\Cal
E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. Azt mondjuk, hogy a
Markov-l\'anc egy $E_j$ \'allapota null rekurrens \'allapot, ha az
$E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel vissza\-t\'er az $E_j$
\'allapotba, de a visszat\'er\'es idej\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke v\'egtelen.}

\medskip\noindent
{\bf Markov-l\'anc pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc egy $\Cal E=
\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. Azt mondjuk, hogy a
Markov-l\'anc egy $E_j$ \'allapota pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot,
ha az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszat\'er az $E_j$ \'allapotba,
\'es a vissza\-t\'e\-r\'es idej\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke v\'eges. Egy pozit\'{\i}v rekurrens aperi\'odikus
\'allapotot ergodikusnak nevez\"unk.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben megfogalmazott eredm\'eny r\'eszben
\"osszefoglal\'o jelleg\H{u}. Ebben felsorolom azokat a m\'ar
bizony\'{\i}tott eredm\'enyeket is, amelyek a $P(n,j,k)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel jellemzik a tranziens, null rekurrens \'es
pozit\'{\i}v rekurrens \'allapotokat. Ezenk\'{\i}v\"ul nagy $n$
id\H{o} eset\'en, aszimptotikus formul\'at is adunk a $P(n,i,j)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re,
azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy  az $E_j$
\'allapotba jutunk az (att\'ol esetleg k\"ul\"onb\"oz\H{o})
$E_i$ \'allapotb\'ol. Ahhoz, hogy ezeket az eredm\'enyeket
meg\-kap\-juk, el\H{o}sz\"or bevezetek n\'eh\'any jel\"ol\'est,
\'es megadok n\'eh\'any egyszer\H{u}, de hasznos formul\'at.

Vezess\"uk be  az
$$
f_{i,j}(n)=P(X_{n}=E_j, X_m\neq E_j,\text{ ha }1\le m<n|X_0=E_i),
\quad n=1,2,\dots, \tag10
$$
\'es
$$
F(i,j)=\summ_{n=1}^\infty f_{i,j}(n)
\quad n=1,2,\dots, \tag$10'$
$$
mennyis\'egeket. Az $f_{i,j}(n)$ sz\'am annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $E_i$ \'allapotb\'ol elindul\'o
Markov-l\'anc az $n$ id\H{o}pontban jut el\H{o}sz\"or az $E_j$
\'allapotba, \'es $F_{i,j}$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az $E_i$ \'allapotb\'ol elind\'{\i}t\'{\i}tott Markov-l\'anc
valamikor k\'es\H{o}bb eljut az $E_j$ \'allapotba.

Igaz a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag:
$$
P(n,i,j)=\sum_{l=1}^n f_{i,j}(l)P(n-l,j,j), \quad\text{ha }n\ge1, \tag11
$$
mert $f_{i,j}(l)P(n-l,j,j)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az $E_i$ \'allapotb\'ol kiindul\'o Markov-l\'anc az $l$-ik
l\'ep\'esben veszi fel el\H{o}sz\"or az $E_j$ \'ert\'eket,
$1\le l\le n$, \'es ezut\'an $n-l$ l\'ep\'esben az $E_j$
\'allapotb\'ol visszajut az $E_j$ \'allapotba. Most megfogalmazom
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egy Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Mar\-kov-l\'anc
valamely $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren
$P(n,i,j)=P(X_n=E_j|X_0=E_i)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel.

\medskip
\item{a)} Az $E_j$ \'allapot akkor \'es csak akkor tranziens,
ha
$$
\sum_{n=1}^\infty P(n,j,j)<\infty.
$$
Ebben az esetben
$$
\sum_{n=1}^\infty P(n,i,j)<\infty \quad
\text{minden $E_i$ \'allapotra}.
$$

\medskip
\item{b)} Az $E_j$ \'allapot akkor \'es csak akkor null rekurrens
\'allapot, ha
$$
\sum_{n=1}^\infty P(n,j,j)=\infty \quad\text{\'es}\quad
\lim_{n\to\infty} P(n,j,j)=0.
$$
Ebben az esetben
$$
\lim_{n\to\infty} P(n,i,j)=0 \quad \text{minden $E_i$ \'allapotra}.
$$

\medskip
\item{c)} Egy aperi\'odikus $E_j$ \'allapot akkor \'es csak akkor
ergodikus, (azaz akkor \'es csak akkor teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)=\frac1{\mu_j}>0$ rel\'aci\'o alkalmas
$\mu_j>0$ sz\'ammal, ha $\mu_j=\summ_{n=1}^\infty nf_j(n)<\infty$,
ahol az $f_j(n)$ mennyis\'eg az (1) k\'eplettel van megadva. Az itteni
\'es a (2)~k\'epletben szerepl\H{o} $\mu_j$ sz\'am megegyezik. Ha az 
$E_j$ \'allapot ergodikus, akkor
$$
\lim_{n\to\infty} P(n,i,j)=F(i,j)\frac1{\mu_j} \quad \text{minden $E_i$
\'allapotra.} \tag12
$$
Az ebben a k\'epletben szerepl\H{o} $F(i,j)$ sz\'amot a (10) \'es $(10')$
k\'epletben defini\'altuk.}

\medskip\noindent
{\it Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} Az a) r\'esz els\H{o}
\'al\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'at a Markov-l\'ancok rekurrens \'es tranziens
\'allapotainak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel tartalmazza.
Az a) r\'esz m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik az a) r\'esz
els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol \'es a (11) formul\'ab\'ol,
mert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\sum_{n=1}^\infty P(n,i,j)=\sum_{n=1}^\infty
\sum_{l=1}^n f_{i,j}(l)P(n-l,j,j)=\(\sum_{l=1}^\infty
f_{i,j}(l)\)\(\sum_{m=1}^\infty  P(m,j,j)\)<\infty.
$$

A b) r\'esz els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik a Markov-l\'ancok
rekurrens \'es tranziens \'alla\-po\-tai\-nak \'es a
Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek
aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelekb\H{o}l.
Ez ut\'obbi eredm\'eny csak aperi\'odikus (azaz 1 peri\'odus\'u)
\'allapotokr\'ol sz\'ol. Viszont, ha az $X_j$ \'allapot peri\'odusa
$d\ge2$, akkor tekinthetj\"uk az $\bar X_j=X_{dj}$, $j=0,1,\dots$,
$P(\bar X_j=0)=1$, Markov-l\'ancot. Ennek peri\'odusa 1, ez\'ert
erre alkalmazva a Markov-l\'ancok
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'enyt kapjuk, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(X_{nd}=E_j)=0$. M\'asr\'eszt
$P(X_{nd+r}=E_j)=0$, ha $0<r<d$. Ez\'ert a b) r\'esz els\H{o}
\'all\'{\i}t\'asa igaz az \'altal\'anos esetben.

A b) r\'esz m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik annak
els\H{o} fel\'eb\H{o}l \'es a (11) formul\'ab\'ol, mert
$$
P(n,i,j)\le \sup_{m\ge \frac n2} P(m,j,j)\sum_{l=1}^{n/2}
f_{i,j}(l)+\sum_{l=n/2}^\infty f_{i,j}(l),
$$
\'es a b) eset felt\'etelei mellett mind a k\'et \"osszeg nagyon
kicsi nagy $n$ indexre.

A c) r\'esznek is csak a m\'asodik, a (12) formul\'aban 
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asa \'uj. Az els\H{o}t tartalmazza a 
Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek aszimptotikus
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel. A hi\'anyz\'o 
r\'eszt az els\H{o} r\'esz \'es a (11) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
l\'athatjuk be hasonl\'oan a b) r\'esz indokl\'as\'ahoz. Val\'oban
$$
P(n,i,j)=\sum_{l=1}^{n/2} f_{i,j}(l)P(n-l,j,j)+
\sum_{l=n/2+1}^nf_{i,j}(l)P(n-l,j,j)=\Sigma_1(n)+\Sigma_2(n).
$$
Viszont
$$
\lim_{n\to \infty}\Sigma_1(n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{l=1}^{ n/2}
\frac{f_{i,j}(l)}{\mu_j}=\frac{F(i,j)}{\mu_j},
$$
\'es
$$
0\le\limsup_{n\to\infty} \Sigma_2(n)\le\lim_{n\to\infty}
\sum_{l= n/2}^\infty f_{i,j}(l)=0,
$$
ahonnan k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Tekints\"unk egy az orig\'ob\'ol indul\'o
bolyong\'ast a sz\'amegyenesen. Mutassuk meg, hogy a bolyong\'as
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut az 1 pontba, viszont az 1
pontba jut\'as idej\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'egtelen.
\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Alkalmazzuk az el\H{o}z\H{o} t\'etel
eredm\'eny\'et.

\medskip
Megadom egy Markov-l\'anc
hat\'ar\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek egy m\'as tipus\'u
jel\-lem\-z\'e\-s\'et is. Ennek alapgondolata a k\"ovetkez\H{o}.
Ha megadjuk a Markov-l\'anc egy olyan kezdeti (\'ugynevezett
stacion\'arius) eloszl\'as\'at, amely az id\H{o} sor\'an nem
v\'altozik, akkor bizhatunk abban, hogy ennek eloszl\'asai
megegyeznek az el\H{o}z\H{o} t\'etelben megadott
hat\'ar\'ert\'ekekkel. \'Ily m\'odon ki tudjuk sz\'amolni az
$\frac1{\mu_j}$ hat\'ar\'ert\'ekeket  an\'elk\"ul, hogy a
k\"ozvetlen\"ul nehezen kisz\'am\'{\i}that\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket kellene meghat\'aroznunk. Ehelyett egy (esetleg
v\'egtelen) line\'aris egyenletrendszert kell megoldanunk.
E m\'odszer t\'argyal\'as\'aban sz\"uks\'eg\"unk
van az al\'abbi definici\'ora.

\medskip\noindent
{\bf Markov-l\'anc stacion\'arius eloszl\'as\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$, Mar\-kov-l\'anc
valamely $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(i,j)
=P(X_1=E_j|X_0=E_i)$ egy l\'ep\'eses
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Azt mondjuk, hogy egy
$u_1\ge0,u_2\ge0,\dots$, nem-negat\'{\i}v sz\'amokb\'ol \'all\'o
sorozat a Markov-l\'anc stacion\'arius eloszl\'as\'at adja meg, ha
ez a sorozat teljes\'{\i}ti a
$$
\sum_{j\colon E_j\in\Cal E} u_j=1 \tag13
$$
$$
u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i P(i,j) \quad \text{minden
$j=1,2,\dots$ sz\'amra}. \tag14
$$
egyenleteket.}

\medskip
A (13) \'es (14) formul\'aknak term\'eszetes szeml\'eletes
tartalma van. Ha olyan Markov-l\'ancot tekint\"unk, amelynek 0
id\H{o}pontbeli eloszl\'asa $P(X_0=E_j)=u_j$ minden $j=1,2,\dots$
sz\'amra, akkor a (13) k\'eplet alapj\'an a Markov-l\'anc 1
id\H{o}pontbeli eloszl\'asa $P(X_1=E_j)=\summ_{i\colon E_i\in\Cal E}
P(X_0=E_i)P(X_1=E_j|X_0=E_i)
=\summ_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i P(i,j)=u_j$ minden
$j=1,2,\dots$
sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy a Markov-l\'ancnak ugyanaz a
$P(X_1=E_j)=u_j$, $j=1,2,\dots$, az eloszl\'asa az $n=1$
id\H{o}pontban. De ekkor indukci\'oval kapjuk, hogy ugyanez a
Markov-l\'anc eloszl\'asa minden $n=1,2,\dots$ id\H{o}pontban.

A kor\'abbi eredm\'enyek alapj\'an term\'eszetes azt v\'arni,
hogy bizonyos nem t\'ul meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'o felt\'etelek
teljes\"ul\'ese eset\'en a Markov-l\'ancnak egyetlen stacion\'arius
eloszl\'asa van, amelyet az $u_j=\frac1{\mu_j}$ k\'eplettel adhatunk
meg. Azt v\'arjuk, hogy ez a sz\'amsorozat kiel\'eg\'{\i}ti a (13)
\'es (14) k\'epleteket, valamint a Markov-l\'anc tetsz\H{o}leges
kezdeti eloszl\'as eset\'en tart a stacion\'arius eloszl\'ashoz,
ha az id\H{o} tart a v\'egtelenhez. Ilyen tipus\'u eredm\'enyt
fogunk bizony\'{\i}tani.

Csak abban az esetben v\'arhatjuk, hogy egy Markov-l\'ancnak
l\'etezik az el\H{o}bb le\'{\i}rt stacion\'arius eloszl\'asa,
ha annak \'allapotai pozit\'{\i}v rekurrens, aperi\'odikus
\'allapotok. Ez a felt\'etel biztos\'{\i}tja, hogy az
$u_j=\frac1{\mu_j}$ sz\'amok pozit\'{\i}vak. Annak \'erdek\'eben,
hogy l\'assuk azt, hogy a k\'es\H{o}bb megfogalmazott eredm\'eny
j\'ol haszn\'alhat\'o, el\H{o}sz\"or \'attekintj\"uk egy
Markov-l\'anc \'allapotter\'enek szerkezet\'et. Megmutatjuk, hogy az
\'allapotteret ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon fel lehet bontani
alkalmas oszt\'alyok uni\'ojak\'ent \'ugy, hogy az egy oszt\'alyban
lev\H{o} \'allapotok egyszerre tranziens, null vagy pozit\'{\i}v
rekurrens \'allapotok, \'es mindegyik\"uknek ugyanannyi a
peri\'odusa. Az \'allapott\'er alkalmas felbont\'as\'anak
meg\-ta\-l\'a\-l\'a\-s\'a\-ban a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny
j\'atszik kulcsfontoss\'ag\'u szerepet.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Markov-l\'anc \'allapotainak tulajdons\'agair\'ol.}
{\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc valamely
$\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(n,i,j)=P(X_n=j|X_0=i)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Legyen
$E_j$ rekurrens \'allapota a Markov-l\'ancnak, \'es defini\'aljuk az
\'allapott\'er k\"ovetkez\H{o} az $E_j$ \'allapott\'ol f\"ugg\H{o}
$\Cal C(j)\subset \Cal E$ r\'eszhalmaz\'at. $E_k\in \Cal C(j)$ akkor
\'es csak akkor, ha l\'etezik olyan $r$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
hogy $P(r,j,k)>0$, azaz az $E_j$ \'allapotb\'ol pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el lehet jutni az $E_k$ \'allapotba.

A $\Cal C(j)$ halmaz minden eleme rekurrens \'allapot. Ha $E_k\in
\Cal C(j)$, $E_l\in \Cal C(j)$ akkor $F(k,l)=1$ a ($10'$) k\'epletben
defini\'alt $F(\cdot,\cdot)$ mennyis\'eggel, azaz az $E_k$
\'allapotb\'ol kiindul\'o Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
el\'eri az $E_l$ \'allapotot. A $\Cal C(j)$ halmazban lev\H{o}
\'allapotok mindegyike egyszerre null vagy pozit\'{\i}v rekurrens
\'allapot, \'es mindegyik\"uk peri\'odusa meg\-egye\-zik. Tov\'abb\'a
minden $E_k\in\Cal C(j)$ (rekurrens) \'allapotra az $E_k$
\'allapott\'ol f\"ugg\H{o} $\Cal C(k)\subset \Cal E$ halmazra
$\Cal C(k)=\Cal C(j)$.}

\medskip\noindent
{\it A Markov-l\'anc \'allapotainak tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\H{o}sz\"or azt mutatom
meg, hogy ha $P(n,j,k)>0$ valamely $n\ge1$ sz\'amra, azaz a 
(rekurrens) $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc 
pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut az $E_k$ \'allapotba,
akkor $F(k,j)=1$, azaz az $E_k$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott
Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut az $E_j$ \'allapotba.
Val\'oban, ha ez nem lenne igaz, akkor az $1-F(k,j)>0$ \'es
$P(n,j,k)>0$ rel\'aci\'ok miatt pozit\'{\i}v lenne annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $E_j$ \'allapotb\'ol indul\'o
Markov-l\'anc az $n$ id\H{o}pont ut\'an nem t\'er vissza az
$E_j$ \'allapotba, mert az $n$ id\H{o}pontban az $E_k$ \'allapotba
jut, \'es onnan nem l\'ep soha az $E_j$ \'allapotba. Ez viszont
ellentmond annak a t\'enynek, hogy az $E_j$ \'allapot rekurrens,
ez\'ert a Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'egtelen sokszor visszat\'er az $E_j$ \'allapotba.

Ha  $k\in C(j)$, akkor l\'eteznek olyan $r$ \'es $\bar r$
sz\'amok, amelyekre $P(r,j,k)>0$ \'es $P(\bar r,k,j)>0$. Tov\'abb\'a
$P(r+\bar r+n,k,k)\ge P(\bar r,k,j)P(n,j,j)P(r,j,k)$. Ebb\H{o}l az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l, illetve abb\'ol a
t\'enyb\H{o}l, hogy a $E_j$ \'allapot rekurrens tulajdons\'aga
ekvivalens azzal, hogy $\summ_{n=1}^\infty P(n,j,j)=\infty$
k\"ovetkezik, hogy $\summ_{n=1}^\infty P(n,k,k)=\infty$, \'es az
$E_k$ \'allapot szint\'en rekurrens. Tov\'abb\'a, ha az $E_j$
\'allapot vagy $E_k$ \'allapot egyik\'eb\H{o}l egy $E_l$
pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'erhet\H{o}, akkor ez
az $E_l$ \'allapot a $E_j$ \'es $E_k$ \'allapotok m\'asik\'ab\'ol
is pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'erhet\H{o},
(esetleg el\H{o}sz\"or azt az \'allapotot l\'atogatva meg, ahonnan
tudjuk, hogy az $E_l$ halmaz megl\'atogathat\'o. Ez azt jelenti,
hogy $\Cal C(j)=\Cal C(k)$, ha $E_k\in \Cal C(j)$. Ez speci\'alisan
azt a k\"ovetkezm\'enyt is maga ut\'an vonja, hogy $E_k,E_l\in\Cal
C(j)$ eset\'en  $F(k,l)=1$. Val\'oban (a param\'eterek m\'as
szereposzt\'as\'aban) l\'attuk, hogy ez a rel\'aci\'o k\"ovetkezik
abb\'ol, hogy $E_k\in \Cal C(l)$.

Megmutatom, hogy abban az esetben, ha l\'etezik egy olyan
$E_k\in \Cal C(j)$, amelyik null rekurrens \'allapot, akkor $E_j$
is null rekurrens  \'allapot. Innen k\"ovetkezik, hogy $\Cal C(j)$
oszt\'alyban lev\H{o} \'allapotok egyidej\H{u}leg null vagy
pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot. Az eml\'{\i}tett tulajdons\'ag
az\'ert \'erv\'enyes, mert $P(r+\bar r+n,k,k)\ge P(\bar r,k,j)
P(n,j,j)P(r,j,k)$ al\-kal\-mas $P(\bar r,k,j)>0$ \'es $P(r,j,k)>0$
sz\'amokkal, ez\'ert a $\limm_{n\to\infty}P(n,k,k)=0$
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)=0$.

A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez elegend\H{o}
azt megmutatni, hogy ha $E_k, E_l\in \Cal C(j)$, \'es az $\Cal
A(k)=\{n\:P(n,k,k)>0\}$ halmaz elemei oszthat\'ok egy $d$
sz\'ammal, akkor az $A(l)=\{n\:P(n,l,l)>0\}$ halmaz elemei szint\'en
oszthat\'ok ezzel a $d$ sz\'ammal. Innen k\"ovetkezik, hogy a
$\Cal C(j)$ halmaz elemei ugyanolyan peri\'odus\'u \'allapotok.
A fent megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as igazol\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy l\'eteznek olyan $r_1>0$ \'es $r_2>0$,
amelyekre $P(r_1,k,l)>0$ \'es $P(r_2,l,k)>0$. Tov\'abb\'a
$r_1+r_2\in\Cal A(k)$, mert a Markov-l\'anc pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszajuthat $r_1+r_2$ l\'ep\'esben
az $E_k$ \'allapotb\'ol az $E_k$ \'allapotba, $r_1$ l\'ep\'esben az
$E_l$ majd tov\'abbi $r_2$ l\'ep\'esben az $E_k$ \'allapotba jutva.
Ez\'ert $r_1+r_2$ oszthat\'o a $d$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a,  ha
$n\in\Cal A(l)$, azaz $P(n,l,l)>0$ valamely $n$ sz\'amra, akkor
$P(n+r_1+r_2,k,k)\ge P(r_1,k,l)P(n,l,l)P(r_2,l,k)>0$, ez\'ert
$n+r_1+r_2$ oszthat\'o a $d$ sz\'ammal. A fentiekb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $n$ oszthat\'o $d$-vel, \'es ezt kellett
bel\'atnunk.

\medskip
Bevezetem a k\"ovetkez\H{o} k\'et definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Z\'art oszt\'alyok definici\'oja egy Markov-l\'anc
\'allapotter\'eben.} {\it Legyen adva egy $X_0,X_1,\dots$
Markov-l\'anc valamely $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapotter\'en 
$P(j,k)$ 1 l\'ep\'eses 
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Azt mondjuk,
hogy  egy $\Cal C\subset \Cal E$ halmaz az \'allapott\'er egy z\'art
oszt\'aly\'at alkotja, ha minden $E_j\in\Cal C$ \'allapotra
$\summ_{E_k\in \Cal C}P(j,k)=1$, azaz, ha a Markov-l\'anc egy
$\Cal C$ halmazbeli \'allapotb\'ol indul, akkor egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben is egy
ilyen \'allapotban marad.}

\medskip\noindent
{\bf Irreducibilis, z\'art oszt\'alyok definici\'oja egy
Markov-l\'anc \'allapotter\'eben.} {\it Azt mondjuk, hogy egy
Markov-l\'anc \'allapotter\'enek egy z\'art oszt\'alya irreducibilis, ha
\"on\-ma\-g\'an \'es az \"ures halmazon k\'{\i}v\"ul nincs m\'as
olyan r\'eszhalmaza, amely z\'art oszt\'aly. Egy Markov-l\'ancot
 irreducibilisnak h\'{\i}vunk, ha a teljes \'allapott\'er
irreducibilis (z\'art) oszt\'aly.}

\medskip
 Az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyb\H{o}l kiolvashat\'o, hogy ha $E_j$
egy rekurrens \'allapot, akkor az $E_j$ \'allapot az \"osszes olyan
\'allapottal egy\"utt, amelyek az $E_j$
\'allapotb\'ol indul\'o Markov-l\'ancban pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'erhet\H{o}ek z\'art oszt\'alyt
alkotnak. S\H{o}t, ez egy irreducibilis z\'art oszt\'aly. Ugyanis, ha
$P(n,j,k)>0$ valamely $n\ge1$ sz\'amra, akkor l\'etezik \'allapotoknak
olyan $E_{j_0},E_{j_1},\dots,E{j_n}$, $j_0=j$, $j_n=k$ sorozata, amelyre
$P(1,j_{l-1},j_l)>0$ minden $1\le l\le n$ sz\'amra. Ez\'ert mindegyik 
$E_{j_l}$, $1\le l\le n$, \'allapot, \'{\i}gy speci\'alisan az $E_k$
\'allapot is, benne van minden az $E_j$ \'allapotot
tartalmaz\'o z\'art oszt\'alyban.

A  tranziens \'allapotok oszt\'alyoz\'asa nem ilyen
egyszer\H{u}en \'attekinthet\H{o}. Az egyik
lehet\H{o}s\'egre a k\"ovetkez\H{o} feladat mutat p\'eld\'at.

\medskip\noindent
{\bf Feladat.} {\it Legyen $X_1,X_2,\dots$ bolyong\'as a
$d$-dimenzi\'os t\'eren. Ez irreducibilis Markov-l\'anc (azaz
egyetlen irreducibilis oszt\'alyb\'ol \'all), melynek elemei 2
peri\'odikusak. Ha $d=1$ vagy $d=2$ akkor ennek az oszt\'alynak
az elemei null rekurrens \'allapotok, ha $d\ge3$ akkor
tranziens \'allapotok.}

\medskip
L\'atni fogunk p\'eld\'at olyan Markov-l\'ancokra is, amelynek
tranziens \'allapotai nem tartoznak egyetlen z\'art oszt\'alyba sem.

Bebizony\'{\i}tom az el\H{o}z\H{o} t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
irreduciblis z\'art oszt\'alyok n\'eh\'any tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'at.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel Markov-l\'anc irreducibilis z\'art oszt\'alyainak
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen $\Cal C$ egy  $X_0,X_1,\dots$,
$P(n,j,k)=P(X_n=E_k|X_0=E_j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel
rendelkez\H{o} Markov-l\'anc $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$
\'allapotter\'enek irreducibilis, z\'art oszt\'alya. Ekkor minden
$E_k\in\Cal C$ \'es $E_l\in \Cal C$, \'allapotp\'arra az $E_l$
\'allapot el\'erhet\H{o} az $E_k$ \'allapotb\'ol, azaz l\'etezik
olyan $r$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, amelyre $P(r,k,l)>0$. Egy
irreducibilis oszt\'aly minden elem\'enek ugyanaz a peri\'odusa,
\'es egy irreducibilis oszt\'aly minden eleme egyidej\H{u}leg,
tranziens, null-rekurrens vagy pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot. Ha
$E_j$ a Markov-l\'anc rekurrens \'allapota, akkor az el\H{o}z\H{o}
t\'etelben defini\'alt $\,\Cal C(j)$ halmaz, amely azokb\'ol az
\'allapotokb\'ol \'all, amelyeket az $E_j$ \'allapotb\'ol pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el lehet \'erni, irreducibilis, z\'art
oszt\'aly. Minden olyan z\'art, irreducibilis oszt\'aly, amely
tartalmaz egy $E_j$ rekurrens \'allapotot megegyezik egy ilyen $\Cal
C(j)$ oszt\'allyal.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Adva egy $\Cal C$ z\'art
oszt\'aly \'es egy $E_k\in \Cal C$ \'allapot defini\'aljuk azt a
$\Cal C^{(k)}\subset  \Cal C$ halmazt, amely azokb\'ol az $E_p\in
\Cal C$ \'allapotokb\'ol \'all, amelyekre $P(n,k,p)>0$ valamely $n$
sz\'amra. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $\Cal C^{(k)}$ is z\'art
oszt\'aly. Innen k\"ovetkezik a T\'etel els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa,
mert ha a $\Cal C$ halmaznak van olyan \'allapota, amely nem 
\'erhet\H{o} el az $E_k$ \'allapotb\'ol, azaz ha l\'etezik olyan 
$E_l\in\Cal C$  \'allapot, amelyre $P(n,k,l)=0$ minden pozit\'{\i}v 
eg\'esz $n$ sz\'amra, akkor $\Cal C^{(k)}$ a $\Cal C$ halmaz olyan 
nem \"ures, val\'odi r\'eszhalmaza, (mert $\Cal C^{(k)}$ nem \"ures 
halmaz, az $E_l$ \'allapotot viszont nem tartalmazza),
amely z\'art oszt\'aly. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben 
$\Cal C$ nem irreducibilis.

Vil\'agos, hogy $\summ_{l\colon E_l\in\Cal C^{(k)}}P(n,k,l)=1$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra, mert $\Cal E\setminus \Cal C^{(k)}$ csak
olyan $E_l$ \'allapotokat tartalmaz, amelyekre $P(n,k,l)=0$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra. Azt \'all\'{\i}tom, hogy ha $E_l\in\Cal
C^{(k)}$, akkor a $\summ_{p\colon E_p\in\Cal C^{(k)}}P(n,l,p)=1$
rel\'aci\'onak is teljes\"ulnie kell minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra,
amib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\Cal C^{(k)}$ z\'art oszt\'aly. A
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as igaz, mert ellenkez\H{o}
esetben lenne olyan $n\ge1$ sz\'am, amely\-re $\summ_{p\colon E_p\in
\Cal C^{(k)}} P(n,l,p)<1$. Ekkor l\'etezik olyan $r$ sz\'am, amelyre
$P(r,k,l)>0$, \'es $\summ_{\bar l\colon E_{\bar l}\in\Cal C^{(k)}}
\!\! P(n+r,k,\bar l)\le\summ_{\bar l\colon E_{\bar l}\in\Cal
E\setminus\{E_l\}}\!\!\!\! P(r,k,\bar l)
+P(r,k,l)\!\!\!\summ_{p\colon E_p\in\Cal C^{(k)}}\!\!\!
P(n,l,p)=1-P(r,k,l)+
P(r,k,l) \!\!\!\summ_{p\colon E_p\in\Cal C^{(k)}} \!\!\! P(n,l,p)<1$,
\'es ez ellentmond\'as.

Az irreducibilis oszt\'alyok m\'ar bizony\'{\i}tott
tulajdons\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik az el\H{o}z\H{o} t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez hasonl\'oan, hogy egy
ilyen oszt\'aly minden elem\'enek ugyan\-annyi a peri\'odusa. Az
el\H{o}z\H{o} t\'etelben l\'attuk, hogy egy rekkurrens $E_j$
\'allapotra a $\Cal C(j)$ halmaz az \'allapott\'er egy z\'art
oszt\'alya. Tov\'abb\'a, ha $\bar {\Cal C}\subset \Cal C(j)$ nem
\"ures z\'art oszt\'aly, akkor l\'etezik egy $E_k\in\bar{\Cal C}$
elem, \'es ez\'ert $\Cal C(j)=\Cal C(k)\subset \bar{\Cal C}$.
Ez\'ert $\Cal C(j)$ irreducibilis z\'art oszt\'aly. Tov\'abb\'a, ha
egy irreducibilis z\'art oszt\'aly tartalmaz egy rekurrens $E_j$
\'allapotot, akkor tartalmazza a z\'art $\Cal C(j)$ oszt\'alyt is,
ez\'ert megegyezik vele. Innen k\"ovetkezik, hogy egy irreducibilis
z\'art oszt\'alynak vagy mindegyike eleme tranziens \'allapot vagy
meg\-egye\-zik valamelyik $\Cal C(j)$ halmazzal, ahol $E_j$ rekurrens
\'allapot. Egy ilyen oszt\'aly minden eleme null rekurrens vagy
pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
befejezt\"uk.

\medskip
Megfogalmazom a fenti eredm\'enyek al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc
$P(n,j,k)=P(X_n=E_k|X_0=E_j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel
egy $\Cal E=\{E_1,E_2\dots\}$ \'allapott\'eren. Bontsuk fel az
$\Cal E$ \'allapotteret az $\Cal E=\Cal R\cup \Cal T$ k\'eplettel az
$\Cal R$ rekurrens \'es $\Cal T$ tranziens \'allapotokb\'ol \'all\'o
halmazok uni\'ojak\'ent. A $\Cal R$ halmaz felbonthat\'o $\Cal C(j)$
diszjunkt, irreducibilis, z\'art oszt\'alyok uni\'ojak\'ent. Ha
$E_k,E_l\in\Cal C(j)$ az $\Cal R$ halmaz egy irreducibilis, z\'art
$\Cal C(j)$ oszt\'aly\'ara, akkor $F(k,l)=1$ a $(10')$
k\'epletben defini\'alt $F(\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ A megfogalmazott eredm\'enyek
k\"ovetkeznek a Markov-l\'anc irreducibilis z\'art oszt\'alyainak
\'es egy Markov-l\'anc \'allapotainak tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o
t\'etelek ered\-m\'e\-nyei\-b\H{o}l. Azt kell m\'eg megmutatnunk,
hogy ha k\'et az ut\'obbi t\'etel megfogalmaz\'as\'aban defini\'alt
$\Cal C(j)$ \'es $\Cal C(k)$ halmaz nem diszjunkt, akkor
$\Cal C(j)=\Cal C(k)$. De ebben az esetben l\'etezik egy
$E_l\in\Cal C(j)\cap\Cal C(k)$ \'allapot, \'es $\Cal C(j)=\Cal
C(l)=\Cal C(k)$.

\medskip
A fent megfogalmazott k\"ovetezm\'enyben egy Markov-l\'anc rekurrens
\'allapotainak halmaz\'at felbontottuk irreducibilis, z\'art halmazok
uni\'ojak\'ent. A tranziens \'allapotok halmaz\'anak nincs ilyen
egy\'ertelm\H{u} le\'{\i}r\'asa. Ennek megmutat\'asa \'erdek\'eben
a bo\-lyon\-g\'a\-sok \'allapotter\'enek le\'{\i}r\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
feladatot kieg\'esz\'{\i}tem a k\"ovetkez\H{o}
p\'eld\'aval.

\medskip\noindent
{\bf P\'elda.} {\it Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} Markov-l\'ancot a
k\'et-dimenzi\'os t\'er eg\'esz koordin\'at\'aj\'u
r\'acs\-pont\-ja\-in: Ha a Markov-l\'anc valamely $(j,k)$, $j\neq0$
pontban van, akkor a k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esban egyforma $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'ep a $(j-1,k)$, $(j+1,k)$, $(j,k+1)$,
$(j,k-1)$ szomsz\'ed pontok valamelyik\'ebe. Ha a Markov-l\'anc
valamely $(0,k)$ alak\'u pontban van, akkor a k\"ovetkez\H{o}
l\'ep\'esben $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'ep a $(0,k+1)$
vagy a $(0,k-1)$ pontba. Ennek a Markov-l\'ancnak a $(0,k)$,
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$ alak\'u pontok a rekurrens \'allapotai, amelyek
irreducibilis z\'art oszt\'alyt alkotnak. Ennek elemei null-rekurrens,
2 peri\'odus\'u \'allapotok. A $(j,k)$, $j\neq0$ alak\'u pontok
tranziensek. Egy ilyen \'allapotb\'ol kiindul\'o Markov-l\'anc 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut a rekurrens \'allapotokb\'ol
\'all\'o halmazba, ez\'ert nincs olyan irreducibilis z\'art oszt\'aly,
amely ezeket tartalmazza.}

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Bizony\'{\i}tsuk be a fenti p\'elda
\'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip
Egy irreducibilis Markov-l\'ancokr\'ol sz\'ol\'o
\'all\'{\i}t\'ast fogjuk bebizony\'{\i}tani, azaz olyan
Markov-l\'ancot fogunk tekinteni, amelynek \'allapottere egyetlen, z\'art
oszt\'aly. Az ismertetett t\'etel felt\'etelt ad arra, hogy mikor
van egy ilyen Markov-l\'ancnak stacion\'arius eloszl\'asa.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel irreducibilis Markov-l\'ancok stacion\'arius
eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ irreducibilis,
aperi\'odikus Markov-l\'anc $P(n,j,k)=P(X_n=E_k|X_0=E_j)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel egy
$\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren.

\medskip
\item{a)} Ha a Markov-l\'anc \'allapotai pozit\'{\i}v rekurrensek,
akkor az $u_j=\limm_{n\to\infty}P(n,i,j)>0$ hat\'ar\'ert\'ekek
l\'eteznek, $u_j=\frac1{\mu_j}$, ahol a $\mu_j$ sz\'amok a (2)
formul\'aban vannak defini\'alva. Az $u_j$ sz\'amok, $E_j\in\Cal E$,
a Markov-l\'anc stacion\'arius eloszl\'as\'at defini\'alj\'ak,
azaz teljes\'{\i}tik a (13) \'es (14) formul\'akat.

\medskip
\item{b)} Megford\'{\i}tva, ha a Markov-l\'ancnak van $u_j$,
$E_j\in\Cal E$, stacion\'arius eloszl\'asa, akkor a Markov-l\'anc
ergodikus, azaz pozit\'{\i}v rekurrens \'allapotokkal rendelkezik,
(\'es aperi\'odikus). A Markov-l\'anc (egyetlen) stacion\'arius
eloszl\'asa teljes\'{\i}ti az $u_j=\frac1{\mu_j}$, $E_j\in \Cal E_j$,
azo\-nos\-s\'a\-got.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt
az esetet, amikor az a) r\'esz felt\'etelei teljes\"ulnek. Az egy
Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelben bizony\'{\i}tott (12) formul\'ab\'ol \'es a Markov-l\'anc
\'allapotainak tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $\limm_{n\to\infty}P(n,i,j)=F(i,j)\frac1{\mu_j}
=\frac1{\mu_j}$. Azt kell m\'eg bel\'atnunk, hogy az
$u_j=\frac1{\mu_j}$, $E_j\in\Cal E$, sz\'amok teljes\'{\i}tik a
(13) \'es (14) azonoss\'agot. El\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy
$$
u_j=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k P(m,k,j)\quad\text{minden }
m=1,2,\dots, \text{ sz\'amra.}  \tag15
$$
Ennek \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$$
P(n+m,i,j)=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}P(n,i,k)P(m,k,j)
$$
\'es pr\'ob\'aljunk $n\to\infty$ limeszt venni az azonoss\'ag mind a
k\'et oldal\'an, felhaszn\'alva azt, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(n+m,i,j)=u_j$ \'es
$\limm_{n\to\infty}P(n,i,k)=u_k$. Mivel a jobb oldalon szerepl\H{o}
$P(m,k,j)$ egy\"utthat\'ok \"osszege (r\"ogz\'{\i}tett $j$-re \'es a
$k$ v\'altoz\'o szerint \"osszegezve) lehet divergens is, egyel\H{o}re
csak az al\'abbi a k\'{\i}v\'antn\'al gyeng\'ebb \"osszef\"ugg\'est
tudjuk fel\'{\i}rni (felhaszn\'alva, hogy a jobb-oldalon
sze\-rep\-l\H{o} sz\'amok mind nem-negat\'{\i}vak):
$$
u_j\ge\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k P(m,k,j) \tag15a
$$
Hasonl\'oan a $\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}P(n,i,k)=1$
azonoss\'agb\'ol kapjuk $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel, hogy
$$
s=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E} u_k\le1. \tag16
$$
Ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget felhaszn\'alva, \'es \"osszegezve a 
(15a)~egyenl\H{o}tlens\'egeket a $j$ v\'altoz\'o szerint, azt kapjuk, 
hogy
$$
\align
s&=\sum_{j\colon E_j\in \Cal E} u_j\ge
\sum_{j\colon E_j\in \Cal E}\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k P(m,k,j)\\
&=\sum_{k\colon\;E_k\in\Cal E}u_k
\(\sum_{j\colon E_j\in \Cal E}P(m,k,j)\)
=\sum_{k\colon\;E_k\in\Cal E}u_k=s,
\endalign
$$
mert $\summ_{j\colon E_j\in \Cal E}P(m,k,j)=1$ minden $k$ indexre.
Mivel az utols\'o  egyenl\H{o}tlens\'egsor bal \'es jobb oldala
egyenl\H{o} (\'es v\'eges), a felhaszn\'alt (15a)
egyenl\H{o}tlens\'egekben minden\"utt azonoss\'agnak
kell \'allni, teh\'at a (15) formula \'erv\'enyes.

Ha a (15) formul\'at $m=1$ v\'alaszt\'assal tekintj\"uk, megkapjuk
a (14) k\'epletet. Tekints\"uk \'ujb\'ol a (15) formul\'at
tetsz\H{o}leges $j$ sz\'ammal, \'es tartsunk v\'egtelenhez az $m$
param\'eterrel. Ekkor felhaszn\'alva a (16) formul\'at
(pontosabban csak azt, hogy az ott tekintett \"osszeg v\'eges)
azt kapjuk, hogy
$$
u_j=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k u_j
=u_j\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k.
$$
Mivel $u_j=\frac1{\mu_j}>0$, innen k\"ovetkezik a (13) rel\'aci\'o.

R\'at\'erek a b) r\'esz b\'{\i}zony\'{\i}t\'as\'ara. Megmutatom $n$
szerinti teljes indukci\'oval a Chap\-man--Kol\-mo\-go\-rov egyenlet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a b) esetben teljes\"ul a (14) k\'eplet
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa is.
$$
u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i P(n,i,j) \quad \text{minden
$j=1,2,\dots$ \'es $n=1,2,\dots$ sz\'amra}. \tag$14'$
$$
Val\'oban, ha a ($14'$) formula igaz az $n$ sz\'amra, akkor
$$
\align
\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i P(n+1,i,j)
&=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i\sum_{k\colon E_k\in\Cal E}
P(n,i,k)P(k,j) \\
&=\sum_{k\colon E_k\in\Cal E} P(k,j)\sum_{i\colon E_i\in\Cal E}
u_iP(n,i,k)
=\sum_{k\colon E_k\in\Cal E} P(k,j)u_k=u_j,
\endalign
$$
teh\'at a $(14')$ azonoss\'ag igaz $n+1$-re is.

Alkalmazzunk $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet a ($14'$) k\'epletben.
Azt \'all\'{\i}tom, hogy a Markov-l\'anc ergodikus, minden $i$ \'es
$j$ indexre l\'etezik a $\limm_{n\to\infty} P(n,i,j)=\frac1{\mu_j}>0$
(2)~k\'epletben defini\'alt hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$$
u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i \frac1{\mu_j} \quad \text{minden
$j=1,2,\dots$ sz\'amra}. \tag17
$$

Val\'oban, mivel irreducibilis Markov-l\'ancot tekint\"unk, a
Markov-l\'anc minden \'alla\-po\-ta egyszerre tranziens, null-rekurrens
vagy pozit\'{\i}v rekurrens. Viszont az els\H{o} k\'et esetben
$\limm_{n\to\infty}P(n,i,j)=0$, ez\'ert a ($14'$) formul\'aban
elv\'egzett hat\'ar\'atmenet azt adn\'a, hogy $u_j=0$ minden $j$
indexre. Ez viszont ellentmond a (13) rel\'aci\'onak. Ez\'ert a
Markov-l\'anc \'alla\-po\-tai pozit\'{\i}v rekurensek. Mivel
feltett\"uk, hogy a Markov-l\'anc aperi\'odikus, ez\'ert ergodikus,
az \'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeknek az el\H{o}z\H{o}
bekezd\'esben fel\'{\i}rt hat\'ar\'ert\'ekeik vannak, \'es teljes\"ul
a (17) formula. A (17) \'es (13) formul\'ak alapj\'an viszont
$$
u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i \frac1{\mu_j}
=\frac1{\mu_j}\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i= \frac1{\mu_j}
\quad \text{minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra}.
$$
Ez azt jelenti, hogy egy ergodikus Markov-l\'ancnak
$u_j=\frac1{\mu_j}$, $E_j\in \Cal E_j$, az egyetlen stacion\'arius
eloszl\'asa.

\medskip\noindent
{\it Feladat:} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'enek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $X_0,X_1,\dots$, irreducibilis,
ergodikus Markov-l\'anc eloszl\'asa tetsz\H{o}leges kezdeti
eloszl\'as eset\'en konverg\'al a Markov-l\'anc stacion\'arius
eloszl\'as\'ahoz, ha $n\to\infty$, azaz
$\limm_{n\to\infty}P(X_n=E_j)=u_j$ minden $u_j$ \'allapotra.

\medskip
A kor\'abbi eredm\'enyekben feltettem, hogy a tekintett Markov-l\'anc
aperi\'odikus. Ezt els\H{o}sorban k\'enyelmi szempontok miatt
tettem. Peri\'odikus Markov-l\'ancok vizsg\'alata hasonl\'oan
t\"ort\'enhet, \'es az eredm\'enyek is hasonl\'oak, csak a
jel\"ol\'es v\'alik kiss\'e bo\-nyo\-lul\-tab\-b\'a. Ezenk\'{\i}v\"ul
peri\'odikus  Markov-l\'ancok vizsg\'alata visszavezethet\H{o} az
aperi\-\'o\-di\-kus Markov-l\'ancok eset\'ere. Itt csak r\"oviden
\'attekintem azt, hogy milyen eredm\'enyek \'erv\'enyesek, \'es
milyen \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel kaphatjuk meg azokat.

Legyen $X_0,X_1,\dots$ irreducibilis Markov-l\'anc egy $\Cal E
=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(n,j,k)$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Tegy\"uk fel, hogy a
Markov-l\'anc \'allapotai pozit\'{\i}v rekurrensek, \'es peri\'odusaik
egyenl\H{o}ek valamilyen $d\ge1$ sz\'ammal. (Tudjuk, hogy egy 
irreducibilis Markov-l\'anc
minden \'allapota egyszerre, tranziens, null vagy pozit\'{\i}v
rekurrens, \'es minden \'al\-la\-pot\-nak ugyanaz a peri\'odusa.)
Tekints\"uk az $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc mellett az $\bar
X_n=X_{dn}$, $n=0,1,2,\dots$ Markov-l\'ancot is, amelynek
\'allapottere megegyezik az eredeti Markov-l\'anc $\Cal E$
\'allapotter\'evel, \'es \'ert\'eke az $n$ id\H{o}pontban
egyenl\H{o} az eredeti Markov-l\'anc \'ert\'ek\'evel az $nd$
id\H{o}pontban. Ez ut\'obbi Markov-l\'anc aperi\'odikus, $\bar
P(j,k)=P(d,j,k)$ egy l\'ep\'eses
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel, minden \'allapota
pozit\'{\i}v rekurrens, de \'allapottere nem felt\'etlen\"ul
irreducibilis. Viszont al\'abb megadom e Markov-l\'anc 
\'al\-la\-pot\-te\-r\'e\-nek a felbont\'as\'at $d$ darab 
$\Cal C_0,\dots,\Cal C_{d-1}$ irreducibilis oszt\'aly uni\'ojara.

R\"ogz\'{\i}ts\"uk mondjuk az $E_1\in\Cal E$ \'allapotot, \'es
tekints\"uk minden $E_k\in\Cal E$ \'allapotra az $\Cal N_k=
\{n\colon\; P(n,1,k)>0\}$ halmazt, azaz azon id\H{o}pontok halmaz\'at,
amely id\H{o}pontok alatt az $E_1$ \'allapotb\'ol pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jutunk az $E_k$ \'allapotba. Nem
neh\'ez bel\'atni, hogy az $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc $d$
peri\'odusa miatt l\'etezik olyan $0\le p\le d-1$ sz\'am, hogy
$n=p$~mod~$d$ minden $n\in\Cal N_k$ sz\'amra. Nevezz\"uk ezt a
$p$ sz\'amot az $E_k$ \'allapot $r(k)$ rangj\'anak.
Defini\'aljuk a $\Cal C_p\subset\Cal E$, $1\le p\le d$, halmazokat
\'ugy, hogy $E_k\in\Cal C_p$ akkor \'es csak akkor, ha $r(k)=p$.
N\'emi munk\'aval be lehet l\'atni, hogy a $\bar X_0,\bar X_1,\dots$
Markov-l\'anc $\Cal E$ \'allapotter\'enek felbont\'asa irreducibilis
z\'art oszt\'alyokra a $\Cal C_p$, $0\le p\le d-1$, halmazokb\'ol
\'all. Tov\'abb\'a, ha $E_k\in\Cal C_p$, $E_l\in\Cal C_q$ valamely
$p$ \'es $q$ sz\'amokkal, akkor $P(n,k,l)>0$ csak akkor lehets\'eges,
ha $n=q-p$~mod~$d$. Ezenk\'{\i}v\"ul, ha $E_k\in \Cal C_p$, \'es
$P(n,k,l)>0$ valamely $n$ id\H{o}pontra, akkor $E_l\in\Cal C_q$ azzal
a $q$ sz\'ammal, amelyre $n=q-p$~mod~$d$.

A fenti \"osszef\"ugg\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es haszn\'alva
a m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyeket az $\bar X_0,\bar X_1,\dots$
Markov-l\'anc $\Cal C_p$, $1\le p\le d-1$, irreducibilis, z\'art 
oszt\'alyaira kapjuk, hogy a
$$
du_j=\lim_{n\to\infty} P(dn+q-p,i,j)=\frac d{\mu_j}\quad
\text{ha }E_i\in\Cal C_p \quad\text{ \'es } E_j\in\Cal C_q
$$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik. Itt a $\mu_j$ sz\'am a (2) k\'epletben 
van defini\'alva, \'es $P(dn+r,i,j)=0$, ha $r\neq q-p$~mod~$p$.
Tov\'abb\'a az is igaz, hogy az $u_j=\frac1{\mu_j}$ sz\'amok
alkotj\'ak a Markov-l\'anc (egyetlen) stacion\'arius eloszl\'as\'at.
A r\'eszletek bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
\medskip

R\'at\'erek v\'eges \'allapotter\H{u}, azaz v\'eges sok
k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket felvev\H{o} Markov-l\'ancok
r\"ovid t\'argyal\'as\'ara. V\'eges \'allapotter\H{u}
Markov-l\'ancok rendelkeznek n\'eh\'any extra tulajdons\'aggal,
amelyeket a k\"ovetkez\H{o} t\'etelben fogalmazok meg.
Ezenk\'{\i}v\"ul a sztochaszikus m\'atrixok n\'eh\'any
line\'aris algebrai tulajdons\'aga seg\'{\i}t v\'eges
\'allapotter\H{u} Markov-l\'ancok vizsg\'alat\'aban.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'eges \'allapotter\H{u} Markov-l\'ancok
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Egy v\'eges \'allapotter\H{u}
Markov-l\'ancnak mindig van pozit\'{\i}v rekurrens \'allapota, viszont
nincs null rekurrens \'allapota. Egy tranziens \'allapotb\'ol
elind\'{\i}tott Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
beker\"ul a Markov-l\'anc rekurrens \'allapotaib\'ol \'all\'o
halmazba.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel egy v\'eges Markov-l\'anc
$n$ l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit is
egy sztochasztikus m\'atrix adja meg, amelynek m\'erete nem f\"ugg
az $n$ sz\'amt\'ol, \'es egy sztochasztikus m\'atrix sor\"osszege 1,
ez\'ert, r\"ogz\'{\i}tve a sztochasztikus m\'atrix $i$-edik sor\'at
valamely $i$ sz\'ammal, l\'etezik olyan $j$ index \'es pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'amok $n_k$ sorozata, amelyekre
$\limsupp_{n_k\to\infty}P(n_k,i,j)>0$. Vi\-szont egy ilyen $j$ indexhez
tartoz\'o $E_j$ \'allapot pozit\'{\i}v rekurrens, mert sem
tranziens, sem null rekurrens nem lehet. Mivel a Markov-l\'anc
rekurrens \'al\-la\-po\-tai\-b\'ol \'all\'o halmaz fel\-bont\-ha\-t\'o
diszjunkt irreducibilis z\'art oszt\'alyok uni\'oj\'ara, \'es egy
irreducibilis z\'art oszt\'aly elemei egyidej\H{u}leg pozit\'{\i}v
vagy null rekurrens \'allapotok, ez\'ert tekintve a Markov-l\'anc
megszor\'{\i}t\'as\'at egy irreducibilis z\'art oszt\'alyra az
el\H{o}z\H{o} \'ervel\'es alapj\'an kapjuk, hogy a Markov-l\'ancnak
nincs null rekurrens \'allapota. V\'eg\"ul, ha egy tranziens $E_i$
\'allapotb\'ol elind\'{\i}tott Markov-l\'anc pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elker\"uln\'e a Markov-l\'anc
rekurrens \'al\-la\-po\-tai\-b\'ol \'all\'o halmazt, akkor
(\'ujb\'ol a Markov-l\'anc v\'eges \'allapottere miatt) l\'etezne
a Markov-l\'ancnak olyan $E_j$ tranziens \'allapota, amelyre
$\limsupp_{n_k\to\infty}P(n_k,i,j)>0$ alkalmas $n_k$ sz\'amorozattal, 
\'es ez ellentmond\'as.
\medskip

Egy Markov-l\'anc viselked\'es\'er\H{o}l nagyon hasznos
inform\'aci\'ot ad az a Markov-l\'anc
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit megad\'o sztochasztikus
m\'atrix spektrum\'anak, azaz sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-kei\-nek \'es
saj\'atvektorainak az ismerete. Vegy\"uk \'eszre, hogy egy
sztochasztikus m\'atrixnak, ha jobbr\'ol szorozzuk meg
oszlopvektorokkal, akkor a csupa 1 koordin\'at\'ab\'ol \'all\'o
vektor saj\'atvektor 1 saj\'at\'ert\'ekkel. Tov\'abb\'a 1-n\'el
nagyobb saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} (oszlop) saj\'atvektor
nem lehets\'eges. Azt is tudjuk a line\'aris algebr\'ab\'ol, hogy
egy m\'atrixot ak\'ar balr\'ol szorozzuk meg egy sorvektorral,
ak\'ar jobbr\'ol egy oszlopvektorral, ugyanazok lesznek a
saj\'at\'ert\'ekei. (A saj\'atvektorai l\'enyegesen
k\"ul\"onb\"ozhetnek.)

\medskip\noindent
{\it Feladat.}\/ L\'assuk be, hogy egy sztochasztikus m\'atrixnak
nem lehet 1-n\'el nagyobb sa\-j\'at\-\'er\-t\'ek\-kel rendelkez\H{o}
(oszlop) saj\'atvektora. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Mutassuk meg, hogy az eredeti vektor
legnagyobb abszolut \'ert\'ek\H{u} koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-nak
az abszolut \'ert\'eke nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint a k\'epvektor
b\'armely koordin\'at\'aj\'anak az abszolut \'ert\'eke.
\medskip

Tudjuk teh\'at, hogy egy sztochasztikus m\'atrixnak l\'etezik egy 1
saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} (sor) saj\'atvektora. Enyhe
plusz feltev\'esek mellett azt is lehet tudni, hogy ennek \"osszes
koordin\'at\'aja pozit\'{\i}v, \'es sz\'ep esetekben az is igaz,
hogy a sztochasztikus m\'atrix \"osszes t\"obbi saj\'at\'ert\'eke
szigor\'uan kisebb, mint 1. Ilyen esetben a sztochasztikus m\'atrix
$n$-ik hatv\'any\'anak viselked\'es\'er\H{o}l nagyon \'ert\'ekes
inform\'aci\'ot nyerhet\"unk. Ugyanis fel\'{\i}rva a m\'atrix
\'altal meghat\'arozott line\'aris transzform\'aci\'ot olyan
koordin\'atarendszerben, ahol annak a lehet\H{o} legegyszer\H{u}bb
az alakja (ez a Jordan f\'ele norm\'alalak haszn\'alat\'at
jelenti) be lehet l\'atni, hogy a k\"ovetkez\H{o} aszimptotikus
rel\'aci\'o \'erv\'enyes. Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges nem
negat\'{\i}v \'ert\'ek\H{u} koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o
sorvektort, amelyben a koordin\'at\'ak \"osszege 1. Ha alkalmazzuk
erre a vektorra az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'altal
meghat\'arozott sztochasztikus m\'atrix $n$-ik hatv\'any\'at, akkor
olyan vektort kapunk, amely e m\'atrix 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u}
saj\'atvektor\'at\'ol az ($n$ v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'eben)
exponenci\'alisan kis k\"ul\"onbs\'eggel t\'er el. Ez azt jelenti,
hogy a m\'atrix saj\'atvektora adja meg a Markov-l\'anc
stacion\'arius eloszl\'as\'at, \'es ha a Markov-l\'ancot
tetsz\H{o}leges kezdeti eloszl\'assal ind\'{\i}tjuk el, akkor a
Markov-l\'anc eloszl\'asa az $n$ id\H{o} f\"uggv\'eny\'eben
exponenci\'alis sebess\'eggel konverg\'al a
stacion\'arius eloszl\'ashoz.

Az el\H{o}bb v\'azolt gondolatmenet azt mutatja, hogy hasznos olyan
eredm\'enyeket bizony\'{\i}tani, amelyek megmondj\'ak, hogy egy
sztochasztikus m\'atrixnak mikor van egyetlen 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u}
saj\'atvektora. A Markov-l\'ancok elm\'elet\'eben Perron egy
t\'etele, illetve annak Frobenius \'altal bizony\'{\i}tott
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa hasznos. Ezek az eredm\'enyek olyan
m\'atrixokkal foglalkoznak, amelyeknek \"osszes egy\"utthat\'oja nem
negat\'{\i}v. Perron t\'etel\'et fogom kimondani, \'es r\"oviden
jelzem, hogy milyen \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at adta
ennek az ered\-m\'eny\-nek Frobenius.

\medskip\noindent
{\bf Perron t\'etele.} {\it Legyen egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u}
n\'egyzetes m\'atrix minden eleme {\rm szigor\'uan} pozit\'{\i}v
sz\'am. Az $A$ m\'atrix $\det(A-\lambda I)$ karakterisztikus
polinomj\'anak, (ahol $I$ az $n\times n$-es diagon\'alis
egys\'egm\'atrix) legnagyobb abszolut \'ert\'ek\H{u} gy\"oke
szigor\'uan pozit\'{\i}v, egyszeres gy\"ok, \'es a karakterisztikus
polinom \"osszes t\"obbi gy\"ok\'enek az abszolut \'ert\'eke
szigor\'uan kisebb, mint ez a saj\'at\'ert\'ek. Az $A$ m\'atrixnak
a karakterisztikus polinom legnagyobb saj\'at\'ert\'ek\'ehez
tartoz\'o egyszeres saj\'atvektor\'anak mindegyik koordin\'at\'aja
szigor\'uan po\-zi\-t\'{\i}v sz\'am. Ha az $A$ m\'atrix
sztochasztikus m\'atrix, azaz minden sor\"osszege 1-gyel egyenl\H{o},
akkor karakterisztikus polinomj\'anak a legnagyobb gy\"oke 1.}

\medskip
Perron t\'etele alkalmazhat\'o olyan v\'eges \'allapotter\H{u}
Markov-l\'anc vizsg\'alat\'aban, amelynek \"osszes egy-l\'ep\'eses
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei szigor\'uan pozit\'{\i}vak.
Sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'erdekes.

\medskip\noindent
{\bf A Perron t\'etel egy k\"ovetkezm\'enye Markov l\'ancok
viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Teljes\'{\i}tse egy $E_1,\dots,E_m$
\'allapotokat tartalmaz\'o Markov l\'anc $\Pi$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg m\'atrixa a Perron t\'etel
felt\'eteleit. Ekkor a Markov l\'anc irreducibilis, \'es
$q_j=P(X_0=E_j)$, $1\le j\le m$, stacion\'arius eloszl\'asa
megegyezik a $\Pi$ m\'atrix azon 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u}
$q=(q_1,\dots,q_m)$ saj\'atvektor\'aval, amelyre $\summ_{k=1}^m q_k=1$.
A Markov l\'anc tetsz\H{o}leges 0 id\H{o}pontbeli eloszl\'asa
eset\'en a Markov l\'anc $n$ id\H{o}pontbeli eloszl\'asa (az $n$
v\'altoz\'o szerint) exponenci\'alis se\-bes\-s\'eg\-gel tart a $q$
eloszl\'ashoz, amikor $n\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel a tekintett Markov
l\'anc b\'armely \'allapot\'ab\'ol a Markov l\'anc b\'armely m\'as
\'allapot\'aba pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el lehet
jutni (1 l\'ep\'esben), a Markov l\'anc irreducibilis. A Markov
l\'anc stacion\'arius eloszl\'asa megegyezik a Perron t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa szerint l\'etez\H{o} $q$ vektorral. A
k\"ovetkezm\'eny \'all\'{\i}t\'as\'anak igazol\'as\'ahoz azt kell
m\'eg megmutatni, hogy tetsz\H{o}leges $p=(p_1,\dots,p_m)$,
$p_j\ge0$, $1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^mp_j=1$ alak\'u vektorra
$\limm_{n\to\infty}p\Pi^n=q$, \'es a konvergencia exponenci\'alis
sebess\'eg\H{u} ebben a rel\'aci\'oban.

Tekints\"uk a $\Pi$ m\'atrix $J$ Jordan-f\'ele norm\'alalakj\'at,
\'es azt az $e^{(1)},\dots,e^{(m)}$ b\'azist, amelyben a $\Pi$
m\'atrix ezt a Jordan f\'ele norm\'alakot veszi fel. Ekkor
$e^{(1)}=q$, a m\'atrix 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora, egy
$1\times1$ m\'eret\H{u} Jordan kalick\'aban van, \'es a Jordan-f\'ele
norm\'alalakban szerepl\H{o} \"osszes t\"obbi saj\'at\'ert\'ek
szigor\'uan kisebb, mint 1. Ez\'ert, ha a Markov l\'anc
$p=(p_1,\dots,p_m)$ eloszl\'asvektor\'at fel\'{\i}rjuk
$p=c_1q+\summ_{j=2}^m c_je^{(j)}$ alakban, akkor a Markov l\'anc $n$
id\H{o}pontbeli $p^{(n)}=(p_1^{(n)},\dots,p_m^{(n)})=p\Pi^n$
eloszl\'as\'ara a $p^{(n)}=c_1q+\summ_{j=2}^m c(j,n)e^{(j)}$
rel\'aci\'o teljes\"ul alkalmas exponenci\'alisan kicsi $c(j,n)$
egy\"utthat\'okkal, azaz l\'etezik olyan $0<\lambda<1$ sz\'am,
amelyre \'erv\'enyes a $\limm_{n\to\infty}c(j,n)\lambda^{-n}=0$
rel\'aci\'o minden $2\le j\le m$ sz\'amra. Azt kell m\'eg
\'eszrevenni, hogy a $p=c_1q+\summ_{j=2}^m c_je^{(j)}$ rel\'aci\'oban
$c_1=1$, mert $1=\limm_{n\to\infty}\summ_{j=1}^m p^{(n)}_j
=\limm_{n\to\infty}\(c_1\summ_{j=1}^n q_j+\summ_{j=2}^m  c(j,n)
\summ_{s=1}^m e_s^{(j)}\)=c_1$, ahol
$e^{(j)}=(e^{(j)}_1,\dots,e^{(j)}_m)$, $2\le j\le m$.

\medskip
A Perron t\'etelben tekintett m\'atrixok irreducibilis \'es 1
peri\'odus\'u Markov-l\'ancok vizsg\'alat\'aban haszn\'alhat\'oak.
Algebrai m\'odon jellemezhet\H{o}ek az irreducibilis Markov-l\'ancok
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei \'altal meghat\'arozott
sztochasztikus m\'atrixok \'altal\'anosan is. Be lehet
vezetni a nem-negat\'{\i}v elem\H{u}, \'ugynevezett irreducibilis
m\'atrixok fogalm\'at az \'al\-ta\-l\'a\-nos esetben, amely az
irreducibilis Markov-l\'ancok \'altal meghat\'arozott
szto\-chasz\-ti\-kus m\'atrixok term\'eszetes 
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. A Perron t\'etel Frobenius \'altal 
bizony\'{\i}tott \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa irreducibilis, 
nem-negat\'{\i}v elem\H{u}  m\'atrixok legnagyobb abszolut
\'ert\'ek\H{u} sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-kei\-nek \'es a hozz\'ajuk
tartoz\'o saj\'atvektorok jellemz\'es\'et adja meg. Ennek
megfogalmaz\'asa, amelyet ebben az ismertet\'esben elhagyok,
bonyolultabb, mint az eredeti Perron t\'etel\'e. Ez a bonyolults\'ag
azzal f\"ugg \"ossze, hogy Frobenius eredm\'enye nemcsak az
aperi\'odikus, hanem az irreducibils, peri\'odikus Markov-l\'ancok
viselked\'es\'et is le\'{\i}rja.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es.

{\bf A fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}

\medskip\noindent
Legyenek $Y_1,Y_2\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, $S_n=\summ_{k=1}^nY_k$, $n=1,2,\dots$, \'es
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} mennyis\'egeket:
$f_k=P(Y_1=k)$, $k=1,2,\dots$, $\mu=EY_1=\summ_{k=1}^\infty kf_k$,
$B(\oo)=\{S_1(\oo),S_2(\oo)\dots\}$, 
$u_n=P(\{\oo\colon\;n\in B(\oo)\})$,
$n=1,2,\dots$, \'es $u_0=1$. Vegy\"uk \'eszre, hogy teljes\"ulnek a
$$
\sum_{k=1}^\infty f_k=1, \quad\text{\'es} \quad f_k\ge0\quad \text{ minden }
k=1,2,\dots \text{ sz\'amra,} \tag A1
$$
valamint az
$$
u_n=f_1 u_{n-1}+f_2u_{n-2}+\cdots f_nu_0,\quad n=1,2,\dots \tag A2
$$
rel\'aci\'ok. Az (A1) formula azt fejezi ki, hogy az $Y_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am.
Az (A2) formula az\'ert igaz, mert $f_ju_{n-j}$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $Y_1=j$, \'es
$Y_2+\cdots Y_l=n-j$ valamilyen $l\ge 2$ sz\'amra, ha $1\le j<n$,
\'es $f_nu_0$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $Y_1=n$.
(Vegy\"uk \'eszre, hogy mivel az $Y_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es azonos eloszl\'as\'uak, ez\'ert
$u_m=P(\{\oo\colon Y_2(\oo)+\cdots Y_l(\oo)=m \text{ valamely }
l=2,3,\dots, \text{ sz\'amra}\}$.) Tov\'abb\'a a fel\'uj\'{\i}t\'asi
t\'etel felt\'etelei sze\-rint az $\Cal A=\{j\:f_j>0\}$ halmazban
szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1.
Ez\'ert a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel k\"ovetkezik az al\'abb
megfogalmazott \'es k\'es\H{o}bb bebizony\'{\i}tand\'o
eredm\'enyb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyenek $f_1,f_2,\dots$ pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'amok, amelyek teljes\'{\i}ti az (A1) rel\'aci\'ot, \'es amelyekre
az $\Cal A=\{j\:f_j>0\}$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb
k\"oz\"os oszt\'oja 1. Legyen $u_0=1$, \'es defini\'aljuk az $u_n$,
$n=1,2,\dots$, sz\'amokat rekurz\'{\i}ve az (A2) formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty} u_n=\frac1\mu, \quad \text{ahol }
\mu=\sum_{k=1}^\infty f_k.
\tag A3
$$
A $\mu=\infty$ esetben az (A3) formula a
$\limm_{n\to\infty} u_n=0$ azonoss\'agot adja.}
\medskip
A T\'etel A \'all\'{\i}t\'as\'at a k\"ovetkez\H{o} Propozici\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk bebizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\bf Propozici\'o.} {\it Teljes\"uljenek a T\'etel A felt\'etelei.
Vezess\"uk be a T\'etel~A jel\"ol\'eseit hasz\-n\'al\-va az
$\eta=\limsupp_{n\to\infty} u_n$ mennyis\'eget. Ekkor l\'etezik
olyan $n_1<n_2<\dots$ sz\'amsorozat, amelyre igaz, hogy
$$
\lim_{j\to\infty} u_{n_j+k}=\eta=\limsupp_{n\to\infty}u_n \quad
\text{minden } k=0,\pm1,\pm2,\dots \text{ sz\'amra}. \tag A4
$$
}\medskip

El\H{o}sz\"or megmutatom, hogy hogyan k\"ovetkezik a T\'etel~A a
Propozici\'o \'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol.

Vezess\"uk be a $\rho_k=f_{k+1}+f_{k+2}+\cdots$, $k=0,1,2,\dots$,
mennyis\'egeket. Ekkor az (A1) k\'eplet szerint $\rho_0=1$, \'es
a $\mu$ mennyis\'eget $\mu=\summ_{k=0}^\infty\rho_k$ alakban
\'{\i}rhatjuk. Val\'oban,
$$
\mu=\sum_{k=1}^\infty kf_k=\sum_{k=1}^\infty k(\rho_{k-1}-\rho_k)=
\sum_{k=0}^\infty \rho_k.
$$
Tov\'abb\'a az (A2) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik az al\'abbi
azonoss\'ag.
$$
\rho_0u_N+\rho_1 u_{N-1}+\cdots+\rho_Nu_0=1 \quad
\text{minden $N=0,1,2,\dots$ sz\'amra.} \tag A5
$$
Val\'oban az (A2) formul\'at \"osszegezve $1\le n\le N$-re kapjuk,
hogy
$$
\align
u_1+\cdots+u_N&=u_{N-1}f_1+u_{N-2}(f_1+f_2)
+\cdots+u_0(f_1+\cdots+f_N)\\
&=u_{N-1}(\rho_0-\rho_1)+u_{N-2}(\rho_0-\rho_2)
+\cdots+u_0(\rho_0-\rho_N)\\
&=\rho_0(u_{N-1}+\cdots+u_0)-(\rho_1u_{N-1}
+\rho_2u_{N-2}+\cdots+\rho_Nu_0).
\endalign
$$
Innen, mivel $\rho_0=1$ \'es $u_0=1$
$$
\align
u_N&=u_0-(\rho_1u_{N-1}+\rho_2u_{N-2}+\cdots+\rho_Nu_0)\\
&=u_N+1-(\rho_0u_N+\rho_1u_{N-1}+\rho_2u_{N-2}+\cdots+\rho_Nu_0),
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik az (A5) azonoss\'ag.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} 
Defini\'aljuk $P(Y_j=k)=f_k$, $j=1,2,\dots$, 
eloszl\'as\'u f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $Y_1,Y_2,\dots$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_p=\summ_{j=1}^pY_j$, $p=1,2,\dots$ r\'eszlet\"osszegeinek 
a sorozat\'at. Ekkor az $u_n$ sz\'am annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy e r\'eszlet\"osszeg sorozat 
valamelyik tagja felveszi az $n$ \'ert\'eket. Az (A5) azonoss\'ag 
azt a t\'enyt fejezi ki, hogy e r\'esz\-let\-\"osszeg sorozat 
minden $N=0,1,2,\dots$ sz\'amra 1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel felvesz 
egy az $N$ sz\'amn\'al nagyobb \'ert\'eket. Ugyanis az $u_k\rho_{N-k}$,
$0\le k\le N$, sz\'am annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 
$S_0,S_1,\dots$ sorozat megl\'atogatja a $k$-pontot, majd ezut\'an egy az 
$N$ sz\'amn\'al nagyobb \'ert\'eket vesz fel.

\medskip
Bizony\'{\i}tsuk be a T\'etel A \'all\'{\i}t\'as\'at (a Propozici\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) el\H{o}sz\"or a
$\mu=\infty$ esetben. Alkalmazzuk az (A5) formul\'at olyan $N=n_j$
indexekre, amelyek teljes\'{\i}tik a Propozici\'o \'all\'{\i}t\'as\'at,
azaz $\limm_{j\to\infty}u_{n_j-k}=\eta=\limsupp_{n\to\infty}u_n$
minden $k>0$ sz\'amra, \'es hajtsuk v\'egre a $j\to\infty$
hat\'ar\'atmenetet. Ekkor az (A5) formul\'ab\'ol, illetve a
$\mu=\summ_{k=0}^\infty\rho_k=\infty$ azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik,
hogy $\eta=\limsupp_{n\to\infty}u_n=0$. Viszont mivel $u_n\ge0$ minden
$n\ge0$ indexre, innen ad\'odik a $\limm_{n\to\infty}u_n=0$ rel\'aci\'o
ebben az esetben.

A $\mu<\infty$ esetben mutassuk meg el\H{o}sz\"or azt, hogy
$\eta=\frac1\mu$. Az (A2) formul\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy
$0\le u_n\le1$ minden $n$ indexre. Alkalmazzuk az (A5) formul\'at
az $N=n_j$ sz\'amokkal, ahol az $n_j$ sz\'amok a Propozici\'oban
szerepl\H{o} indexeket jel\"olik, \'es
tartsunk a $j$ index-szel v\'egtelenhez. Nem neh\'ez bel\'atni,
felhaszn\'alva a $\limm_{j\to\infty}u_{n_j-k}\rho_k=\rho_k\eta$
rel\'aci\'ot minden fix $k$ indexre, hogy
a $\mu=\summ_{k=0}^\infty \rho_k<\infty$
esetben a $j\to\infty$ hat\'ar\'atmenet az (A5) formul\'aban az
$$
\eta(\rho_0+\rho_1+\cdots)=1
$$
azonoss\'aghoz vezet, ahonnan $\eta=\frac1\mu$.

A T\'etel~A bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez el\'eg azt
megmutatni, hogy ak\'arhogy r\"og\-z\'{\i}\-t\"unk egy $\e>0$ sz\'amot
nem lehet a pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok olyan $n_j$
r\'eszsorozat\'at tal\'alni, amelyre $\limm_{j\to\infty}u_{n_j}=\eta_0$
valamely $0\le \eta_0\le \eta-\e$ sz\'ammal. Val\'oban, ha lenne
ilyen sorozat, akkor felhaszn\'alva azt, hogy
$0\le u_n\le \eta+\frac\e{2\mu}$ $n\ge n_0$ eset\'eben alkalmas $n_0$
k\"usz\"obindex-szel,
\'es $0\le u_n\le1$ minden $n$-re az (A5) formula baloldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'est a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
becs\"ulhetn\'enk fel\"ulr\H{o}l $N=n_j$ indexre el\'eg
nagy $j$ sz\'amra.
$$
\align
&\rho_0u_N+\rho_1 u_{N-1}+\cdots+\rho_Nu_0  \\
&\qquad\le\(\eta_0+\frac\e{2\mu}\)\rho_0+(\rho_1+\dots+\rho_K)
\(\eta+\frac\e{2\mu}\)+\sum_{j=K+1}^\infty\rho_j \\
&\qquad \le (\eta_0-\eta)+\eta\sum_{l=0}^K\rho_l
+\frac\e{2\mu}\sum_{l=0}^K\rho_l+\frac\e4
\le -\e+1+\frac\e2+\frac\e4\le 1-\frac\e4,
\endalign
$$
ha el\H{o}sz\"or a $K$, majd att\'ol f\"ugg\H{o}en a $j$ indexet
v\'alasztjuk el\'eg nagyra. A sz\'amol\'asban kihaszn\'aljuk az
$\eta\mu=1$ \'es $\mu=\summ_{l=0}^\infty \rho_l$ azonoss\'agokat.
A kapott egyenl\H{o}tlens\'eg ellentmond az
(A5) rel\'aci\'onak. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $\eta_0$
nem l\'etezik, hanem teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}
u_n=\eta=\frac1\mu$ azonoss\'ag.

A bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'ehez be kell m\'eg bizony\'{\i}tani
a Propozici\'ot. Ennek \'erdek\'eben v\'alasszuk ki a pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'amok egy olyan $n_j$ r\'eszsorozat\'at, amelyre l\'etezik
minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra a $\limm_{j\to\infty}
u_{n_j+k}=w_k$ hat\'ar\'ert\'ek, tov\'abb\'a
$w_0=\eta=\limsupp_{n\to\infty} u_n$.

Ilyen r\'eszsorozat l\'etezik. Val\'oban, mivel az $u_n$ sorozat
korl\'atos, ez\'ert ki lehet v\'alasztani
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok egy olyan $n_1^{(0)},n^{(0)}_2,\dots$
r\'eszsorozat\'at, amelyre teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}
u_{n_j^{(0)}}=\limsupp_{n\to\infty}u_n=\eta$ rel\'aci\'o. Ezut\'an
szukcessz\'{\i}ve ki lehet v\'alasztani a term\'eszetes sz\'amok egym\'asba
skatuly\'azott $n_1^{(l)},n^{(l)}_2,\dots$, r\'esz\-so\-ro\-za\-ta\-it
minden  $l=1,2,\dots$ sz\'amra \'ugy, hogy teljes\"ulj\"on a
$\limm_{n\to\infty} u_{n_j^{(l)+k}}=w_k$ rel\'aci\'o minden
$|k|\le l$ eg\'esz sz\'amra valamely $w_k$ hat\'ar\'ert\'ekkel.
Ezut\'an a szok\'asos \'atl\'os elj\'ar\'assal megkaphatjuk a
k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $u_{n_j}$ sorozatot. Azt
\'all\'{\i}tom,
hogy az \'{\i}gy kapott sorozat teljes\'{\i}ti a Propozici\'oban
el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agokat. Azt kell bel\'atni, hogy a
Pro\-po\-zi\-ci\'o felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$w_k=\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra.

Az eddig bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asokb\'ol csak az k\"ovetkezik, 
hogy $0\le w_k\le\eta$ minden
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra, \'es $w_0=\eta$. Ahhoz, hogy a m\'eg
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'ast igazoljuk, el\H{o}sz\"or
megmutatom, hogy teljes\"ul a
$$
w_k=\summ_{l=1}^\infty f_lw_{k-l} \tag A6
$$
azonoss\'ag minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra. Val\'oban,
defini\'aljuk a
$$
V^{(j)}_k=\left\{ \aligned
&u_{n_j+k},\quad \text{ha } n_j+k\ge0\\
&0,\quad \text{ha } n_j+k<0
\endaligned \right.
$$
sz\'amokat minden $j=1,2,\dots$ \'es $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre.
Ekkor az (A2) formula alapj\'an
$$
V^{(j)}_k=\summ_{l=1}^\infty f_l V^{(j)}_{k-l},
$$
\'es innen $j\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (A6)
formul\'at.

Megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} Lemmm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $w_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'os
sz\'amok olyan sorozata, amely teljes\'{\i}ti az (A6) rel\'aci\'ot
valamely az (A1) formul\'at kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $f_k$ sorozattal.
Legyen tov\'abb\'a $0\le w_k\le\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$
indexre, $w_0=\eta$, \'es legyen az $\Cal A=\{j\:f_j>0\}$ halmazban
szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1. Ekkor
$w_k=\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre.}

\medskip
A Propozici\'o az (A6) rel\'aci\'o \'es a Lemma k\"ovetkezm\'enye.
Ez\'ert elegend\H{o} a Lemm\'at bel\'atni.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel az $f_k$ sorozat
teljes\'{\i}ti az (A1) rel\'aci\'ot, \'es $0\le w_k\le w_0=\eta$
minden $k$ indexre, az (A6) formula adja $k=0$ v\'alaszt\'assal, hogy
$w_{-k}=\eta$ minden $k\in \Cal A$ indexre. Ezut\'an az (A6) rel\'aci\'ot
$k$, $-k\in\Cal A$, alak\'u sz\'amokra alkalmazva kapjuk, hogy
$w_{-(k_1+k_2)}=\eta$, ha $k_1,k_2\in \Cal A$. Folytatva ezt az
elj\'ar\'ast azt kapjuk, hogy minden
$k=\alpha_1 k_1+\dots+\alpha_s k_s$ alak\'u line\'aris
kombin\'aci\'ora, ahol $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'amok, \'es $k_1,\dots,k_s\in\Cal A$ igaz a $w_{-k}=\eta$
rel\'aci\'o.

M\'asr\'eszt azt \'all\'{\i}tom, hogy mivel a $\Cal A$ halmazban
lev\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1,
l\'etezik olyan $k_0$ k\"usz\"obindex, hogy minden $k\ge k_0$
sz\'am fel\'{\i}rhat\'o a fenti alak\'u
$k=\alpha_1 k_1+\cdots+\alpha_s k_s$ line\'aris kombin\'aci\'ok\'ent.
Val\'oban, alapvet\H{o} sz\'amelm\'eleti eredm\'enyek alapj\'an
l\'eteznek olyan $a_1,\dots,a_j\in\Cal A$ sz\'amok, \'es
$\beta_1,\dots,\beta_j$ eg\'esz, (nem felt\'etlen\"ul
pozit\'{\i}v) egy\"utthat\'ok, amelyekre teljes\"ul a
$\summ_{s=1}^j\beta_s a_s=1$ rel\'aci\'o. Legyen $A=a_1+\cdots+a_j$,
\'es \'{\i}rjunk minden $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot $k=tA+p$,
$0\le p<A$, alakban. Ekkor a $k=t(a_1+\cdots+a_j)+p
\summ_{s=1}^j\beta_s a_s$ azonoss\'ag megadja minden el\'eg nagy
sz\'am k\'{\i}v\'ant alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at.

A fentiekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy l\'etezik olyan $k_0$
k\"usz\"obindex, hogy $w_k=\eta$, ha $k\le -k_0$. Viszont ha
$w_l=\eta$ minden $l\le k$ sz\'amra valamely $k$ sz\'amra, akkor
az (A1) \'es (A6) formula (a $k+1$ indexre alkalmazva) azt adja, hogy
$w_{k+1}=\eta$. Ezen \'eszrev\'etel alapj\'an teljes indukci\'oval
kapjuk, hogy $w_k=\eta$ minden $k$ indexre. A lemm\'at
bebizony\'{\i}tottuk.


\bye


