\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\beginsection  Nagy elt\'er\'esek elm\'elete. A Sanov t\'etel.
 
Egy el\H oz\H o feladatsorban, a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete;
F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsorban annak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H
us\'eg\'et vizsg\'altuk, hogy f\"uggetlen egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'oszin\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga egy a v\'arhat\'o
\'ert\'ekn\'el nagyobb sz\'amot vesz fel. Az ottani eredm\'enyekb\H ol
k\"ovetkezik, hogy ha $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, akkor az $\dfrac{S_n}n$ \'atlag
$F_n(y|x)=P\left.\(\dfrac{S_n}n\ge y\right|\dfrac{S_n}n\ge x\)$
felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sa $y>x>E\xi_1$ eset\'en teljes\'{\i}ti a
$\limm_{n\to\infty}F_n(y|x)=0$ tulajdons\'agot. Ezt \'ugy is
interpret\'alhatjuk, hogy ha az \'atlag nagyobb mint $x$, akkor az
ezen felt\'etel mellett majdnem egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel az
$x$ pont kis k\"ornyezet\'ebe van koncentr\'alva. Teh\'at eme
felt\'etel mellett az \'atlag eloszl\'asa er\H osen lokaliz\'alt.
 
Egy enn\'el er\H osebb lokaliz\'aci\'os tulajdons\'agot k\'{\i}v\'anunk
megfogalmazni \'es be\-bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni. Ez azt a t\'enyt
fejezi ki, hogy alkalmas \'es nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett
nemcsak az \'atlag, hanem az \"osszeadand\'ok, azaz a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor egy\"uttes felt\'eteles eloszl\'asa is
er\H osen lokaliz\'alt az adott felt\'etelek mellett.
Ezt az \'all\'{\i}t\'ast akarjuk pontosan megfogalmazni, \'es annak
n\'eh\'any \'erdekes k\"ovetkezm\'eny\'et
levezetni. Ennek \'erdek\'eben bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H o fogalmat.
Ha $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok
egy v\'eges sorozata, akkor defini\'aljuk ezek $\mu_n$ empirikus
eloszl\'as\'at a k\"ovetkez\H o m\'odon: A
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
\'altal meghat\'arozott  $\mu_n=\mu_n(\oo)$ empririkus eloszl\'as
(v\'eletlen) val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen.
Tetsz\H oleges m\'erhet\H o $\A\subset R^1$ halmazra
$\mu_n(\A)=\dfrac1n\cdot\#\{j\: 1\le j\le n,\;\xi_j\in\A\}$.
 
Tekints\"uk a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek
a felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-s\'at bizonyos felt\'etelek mellett.
(P\'eld\'aul az $S_n=\summ_{k=1}^n>nx$ felt\'etel mellett.)
``Tipikus esetekben" ez a (v\'eletlen) felt\'eteles eloszl\'as
egy el\H o\'{\i}rt eloszl\'asf\"uggv\'eny
k\"ozel\'eben koncentr\'al\'odik nagy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel. Ezt
az eloszl\'ast annak az \'eszrev\'etelnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tal\'alhatjuk meg,  hogy az adott felt\'etel mellett az empirikus
eloszl\'as ennek az eloszl\'asnak a k\"ozel\'ebe esik a legnagyobb
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'eg\-gel. \'Igy azt meg lehet hat\'arozni
egy vari\'aci\'os probl\'ema megold\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Ilyen m\'odon is lehet vizsg\'alni a nagy elt\'er\'esek elm\'elet\'et,
s\H ot bizonyos probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban ez a m\'odszer
hat\'asosabb mint a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete;
F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsor m\'odszere. Viszont e m\'odszer
alkalmaz\'as\'ahoz sz\"uks\'eg van a (bizony\'{\i}tand\'o) nagy
elt\'er\'es t\'etel megfogalmaz\'as\'ara \'altal\'anosabb terekben.
A nagy elt\'er\'es t\'etelt csak olyan t\'erben tudjuk megfogalmazni,
ahol van \'ertelme k\"ozels\'egr\H ol besz\'elni. Ez\'ert
term\'eszetes lenne metrikus terekben dolgozni. De mivel fontos
esetekben ilyen m\'odon sokkal tartalmasabb ered\-m\'enyt kapunk,
ez\'ert \'erdemes a nagy elt\'er\'es
t\'etelt topol\'ogikus terekben megfogalmazni \'es vizsg\'alni.
\medskip \noindent{\bf Nagy elt\'er\'es t\'etel megfogalmaz\'asa
topol\'ogikus terekben.}  {\it
Legyen adva egy $(X,\Cal X)$ topol\'ogikus t\'er, \'es legyen $\Cal A$
a topol\'ogia \'altal defini\'alt $\sigma$-algebra. Tegy\"uk fel, hogy
az $(X,\Cal X)$ t\'er \'ugynevezett $T_3$ t\'er, azaz tetsz\H oleges
$x\in X$ pontra \'es olyan z\'art $\bold F$ halmazra, melyre
$x\notin\bold F$ l\'eteznek olyan diszjunkt ny\'{\i}lt $\bold G_1$ \'es
$\bold G_2$ halmazok, melyekre $x\in \bold G_1$ \'es $\bold F\subset
\bold G_2$. Legyen $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'ert\'ekek sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren. Azt mondjuk, hogy az
$(X,\Cal X)$ t\'eren \'ertelmezett $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata teljes\'{\i}ti a nagy
elt\'er\'es t\'etelt egy $I(x)$, $x\in X$, f\"uggv\'ennyel $I(x)\ge0$,
(\'es $I(x)$ felveheti a $\infty$ \'ert\'eket is), ha
 
\item{i.)} Az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos,
azaz minden $\e>0$-ra \'es $x\in X$-re az $\{y\:I(y)>I(x)-\e\}$ halmaz
az $x$ pont ny\'{\i}lt k\"ornyezete.
\item{ii.)} $\limsup\limits_{n\to\infty}-\dfrac1n \log \mu_n(\bold
G)\le \inff_{x\in \bold G} I(x)$ minden ny\'{\i}lt $\bold G\subset X$
halmazra.
\item{iii.)} $\liminf\limits_{n\to\infty}-\dfrac1n \log \mu_n(\bold
F)\ge \inff_{x\in \bold F} I(x)$ minden z\'art $\bold F\subset X$
halmazra.} \medskip
B\'ar a nagy elt\'er\'es t\'etelt \'altal\'anos topol\'ogikus terekben
fogalmaztuk meg, r\'esz\-le\-te\-seb\-ben csak azzal az esettel fogunk
foglalkozni, amikor a tekintett t\'er egy m\'erhet\H o t\'eren
\'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek tere al\-kal\-mas
topol\'ogi\'aval. A minket legink\'abb \'erdekl\H{o} eset az, amikor
valamilyen t\'eren (p\'eld\'aul a sz\'amegyenesen) defini\'alt
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett empirikus eloszl\'asokat
tekintj\"uk, az adott t\'eren lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekeket ell\'atjuk alkalmas topol\'ogi\'aval, \'es azt akarjuk
bel\'atni, hogy az empirikus eloszl\'asok, mint ezen t\'er
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekein \'er\-tel\-me\-zett v\'eletlen
m\'ert\'ekek, (azaz megadjuk annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy az empirikus eloszl\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
egy csal\'adj\'aba esik) teljes\'{\i}tik a fent defini\'alt nagy
elt\'er\'es t\'etelt. Ezenk\'{\i}v\"ul bizonyos feladatok arr\'ol
sz\'olnak, hogy f\"uggetlen val\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei teljes\'{\i}tik a nagy
elt\'er\'es t\'etelt az ebben a feladatsorban defini\'alt
\'er\-te\-lem\-ben is.
 
Az els\H o feladatban megmutatjuk, hogy a nagy elt\'er\'es
t\'etelben szerepl\H o $I(x)$ f\"ugg\-v\'enyt a $\mu_n$ m\'ert\'ekek
egy\'ertelm\H uen meghat\'arozz\'ak.
\medskip
\item{1.)} Teljes\'{\i}ts\'ek a $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekek a nagy elt\'er\'es t\'etelt valamilyen $I(x)$ alulr\'ol
folytonos  f\"ugg\-v\'ennyel egy $(X,\Cal X)$  topol\'ogikus t\'erben.
Minden $x\in X$-re teljes\"ulnek a k\"ovetkez\H o rel\'aci\'ok:
$$ \allowdisplaybreaks
\align
I(x)&=\sup\Sb \bold G\: \bold G\text{ ny\'{\i}lt halmaz}\\ x\in\bold
G\endSb \limsup_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \mu_n(\bold G)\\
I(x)&=\sup\Sb \bold F\: \bold F\text{ z\'art halmaz}\\ x\in
\text{Int}\,\bold F
\endSb \liminf_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \mu_n(\bold F)\;.
\endalign
$$
\medskip
A k\"ovetkez\H o k\'et feladat, illetve az el\H ott\"uk megfogalmazott
megjegyz\'es nem kap\-cso\-l\'o\-dik szorosan a feladatsorhoz. Viszont
az elm\'elet tov\'abbi, itt nem t\'argyalt
fi\-no\-m\'\i{}\-t\'a\-s\'a\-ban nagyon hasznos.
 
A nagy elt\'er\'es t\'etel megfogalmaz\'as\'aban term\'eszetes, hogy a
z\'art halmazok eset\'eben a iii.) tulajdons\'agban $\limsup$  \'es nem
$\lim$  a ny\'\i{}lt halmazok eset\'en pedig a ii.) tulajdons\'agban
$\liminf$ \'es nem $\lim$ szerepel. Z\'art halmazok eset\'en
p\'eld\'aul az egy pontb\'ol \'all\'o halmazok \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlagainak
eloszl\'asai mutatnak p\'eld\'at arra, hogy mi\'ert csak a iii.)-ban
megfogalmazott gyeng\'ebb \'all\'\i{}t\'ast \'erdemes megk\"ovetelni.
Az, hogy a nagy elt\'er\'es t\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
ii.) tulajdons\'agban  nem mindig \'\i{}rhat\'o limesz p\'eld\'aul a
feladatsor 8. feladat\'anak eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik. A
 nagy elt\'er\'es t\'etel ii.) \'es iii.) tulajdons\'ag\'aban az\'ert
nem \'\i{}rhatunk limeszt, mert egy halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a hat\'ara er\H osen
befoly\'asolhatja a halmaz $\mu_n$ m\'ert\'ekeinek a viselked\'es\'et.
Ilyen jelleg\H u probl\'em\'ak az anal\'\i{}zis m\'as ter\"ulet\'en is
megjelennek. Ilyenkor term\'eszetes az \'all\'\i{}t\'as
\'atfogalmaz\'asa halmazok indik\'atorf\"uggv\'enyei helyett folytonos
f\"uggv\'enyek seg\'\i{}ts\'eg\'evel. Ez t\"ort\'enik a k\"ovetkez\H o,
az irodalomban Varadhan lemm\'anak nevezett \'all\'\i{}t\'asban.
Az\-ut\'an bel\'atjuk ennek az \'all\'{\i}t\'asnak egy
megford\'{\i}t\'as\'at. De ebben a megford\'{\i}t\'asban a nagy
elt\'er\'es t\'etelnek csak egy gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at l\'atjuk
be, ahol a iii.) tulajdons\'agot z\'art halmazok helyett csak kompakt
halmazokra fogalmazzuk meg. Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy konkr\'et
esetekben a nagy elt\'er\'es t\'etel iii.) tulajdons\'aga z\'art nem
kompakt halmazokra is \'erv\'enyes tov\'abbi finom \'ervel\'est
ig\'enyel. \'Igy p\'eld\'aul az ebben a feladatsorban t\'argyalt Sanov
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban ez az egyik f\H o neh\'ezs\'eg.
\medskip
\item{2.)} Teljes\'\i{}tse egy $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'eksorozat egy $(X,\Cal X)$
topol\'ogikus t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an a nagy elt\'er\'es
t\'etelt egy  $I(x)$, $x\in X$, alulr\'ol f\'elig folytonos
f\"uggv\'ennyel. Ekkor tetsz\H oleges folytonos,
korl\'atos $g(x)$ f\"uggv\'enyre
$$
\lim_{n\to\infty}\frac 1n\log\int e^{ng(x)}\mu_n(dx)=\sup_{x\in X}
\{g(x)-I(x)\}
$$
\item{3.)} Teljes\'{\i}tse egy $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi m\'ert\'eksorozat a 2. feladatban fel\'{\i}rt azonoss\'agot
valamilyen alulr\'ol folytonos $I(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel minden
folytonos \'es kor\-l\'a\-tos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre egy $(X,\Cal X)$
topol\'ogikus t\'erben. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy az $(X,\Cal X)$
t\'er \'ugynevezett $T_{\rho}$ t\'er, azaz tetsz\H oleges $x\in X$
pontra \'es $\bold F\subset X$ z\'art halmazra, melyre $x\notin\bold
F$ l\'etezik olyan folytonos, kor\-l\'a\-tos $h(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
melyre $h(x)=1$, \'es $h(u)=0$ $u\in \bold F$-re. Ekkor a $\mu_n$
m\'ert\'eksorozat teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'es t\'etel ii.) \'es
k\"ovetkez\H o iii$'$.) tulajdons\'ag\'at:
\item{iii$'$.)} $\liminf\limits_{n\to\infty}-\dfrac1n \log \mu_n(\bold
K)\ge \inff_{x\in \bold K} I(x)$ minden kompakt $\bold K\subset X$
halmazra.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} 4.--8. feladatokban megmutatjuk, hogy a
{\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsorban vizsg\'alt
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlagainak eloszl\'asai teljes\'{\i}tik a nagy
elt\'er\'es t\'etelnek azt a form\'aj\'at is, melyet ennek a
feladatsornak az elej\'en fogalmaztunk meg.
\medskip
\item{4.)} Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o,
melyre $R(t)=Ee^{t\xi}<\infty$ el\'eg kis  $t>0$-ra, \'es defini\'aljuk
az $I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$ f\"uggv\'enyt minden $x\ge E\xi$
sz\'amra. ($R(t)=\infty$, ha $e^{t\xi}$ nem integr\'alhat\'o.) Az
$I(x)$ f\"uggv\'eny monoton n\H{o}, \'es ha $E\xi<y<x$, ($E\xi=-\infty$
is megengedett). Ha $I(x)<\infty$, akkor $I(y)<I(x)$, azaz ebben
az esetben szigor\'u egyenl\H otlens\'eg is \'erv\'enyes. Tov\'abb\'a,
ha $I(x)<\infty$ \'es $E\xi<x$, akkor $\limm_{y<x,\,y\to x} I(y)=I(x)$.
Az $I(x)$ f\"uggv\'eny konvex. Ez\'ert tetsz\H oleges olyan $x$
sz\'amra, melyre $I(x+\e)<\infty$ el\'eg kis $\e>0$-ra
$\limm_{y>x,\,y\to x} I(y)=I(x)$.
\medskip{\it Megjegyz\'es:}\/ Defini\'aljuk az $L=\sup\{x\:
I(x)<\infty\}$ sz\'amot. ($L=\infty$ lehets\'eges.) Az el\H oz\H o
feladat szerint az $I(x)$ f\"uggv\'eny az $[E\xi,L)$ intervallumon,
z\'art intervallumon folytonos, konvex \'es szigor\'uan monoton n\H{o},
s\H{o}t mint az al\'abbi \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel l\'athat\'o,
ez az \'all\'it\'as \'erv\'enyes ennek az intervallumnak $[E\xi,L)$
lez\'artj\'an. Tov\'abb\'a, ha $x>L$, akkor $I(x)=\infty$. K\"onnyen
bizony\'{\i}that\'o az is, hogy $L<\infty$ akkor \'es csak akkor,
ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H
us\'eggel fel\"ulr\H
ol korl\'atos. Ha ugyanis $P(\xi>x)=A(x)>0$ minden $x>0$ sz\'amra, akkor
$$
P\(\summ_{k=1}^n \xi_k>nx\)\ge e^{n\log A(x)}\quad\text{minden $n$-re,}
$$
ahol $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlenek \'es a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okkal azonos
el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak. Innen az erre az \"osszegre kapott fels\H o
becsl\'es alapj\'an  $I(x)\le-\log A(x)<\infty$. Ha viszont a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o fel\"ulr\H ol korl\'atos, akkor
az $R(t)=Ee^{t\xi}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny v\'eges minden
$t\ge0$-ra, \'es $\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'<\infty$. Ekkor azonban
(ld.\ p\'eld\'aul a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete;
F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 12. feladat\'anak eredm\'eny\'et)
$I(x)=\infty$ el\'eg nagy $x$-re. \medskip
\item{5.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok a sz\'amegyenesen
$R(t)=Ee^{t\xi_1}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'ennyel ($R(t)=\infty$,
ha $e^{t\xi_1}$ nem integr\'alhat\'o), \'es jel\"olje $\mu_n$ a $\dfrac
{S_n}n=\dfrac{\summ_{k=1}^n \xi_k}n$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at. Az egyszer\H us\'eg kedv\'e\'ert
ebben a feladatban csak azt az esetet tekints\"uk, amikor az
$Ee^{t\xi_1}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny v\'eges az orig\'o
egy kis k\"ornyezet\'eben. A $\mu_n$ m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a
nagy elt\'er\'es t\'etelt az $I(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel, ahol
$I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$, ha $x\ge E\xi_1$, \'es
$I(x)=\supp_{t\le 0}(tx-\log R(t))$, ha $x\le E\xi_1$.
\item{6.)} L\'assuk be a nagy elt\'er\'es t\'etelnek az ebben a
feladatsorban megfogalmazott alakj\'at f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egek \'at\-la\-g\'a\-nak
eloszl\'asaira az \'altal\'anos eset\-ben. Az \'altal\'anos esetben
$I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$ ha $x\ge E\xi_1$, \'es
$I(x)=\supp_{t\le 0}(tx-\log R(t))$, ha $x\le E\xi_1$. Ha a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'onak nincs v\'arhat\'o \'ert\'eke
(azaz a pozit\'{\i}v r\'esz v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'egtelen, a
negat\'{\i}v r\'esz v\'arhat\'o \'ert\'eke minusz v\'egtelen), akkor
$I(x)=0\;(=\supp_t (R(t)-tx)=R(0))$ minden~$x$-re.
\item{7.)} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o
$R(t)=Ee^{t\xi}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'enye el\'eg kis
$t>0$-ra v\'eges, \'es $E\xi_1=-\infty$, akkor
$\limm_{x\to-\infty}I(x)=\limm_{x\to-\infty}\supp_{t\ge 0}(tx-R(t))=0$.
\item{8.)} F\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'anak az eloszl\'asa teljes\'{\i}ti a
nagy elt\'er\'es t\'etel ii) tulajdons\'ag\'anak k\"ovetkez\H o
\'elesebb form\'aj\'at is:
\itemitem{ii$'$.)} $\limm_{n\to\infty}-\dfrac1n \log
\mu_n(G)=\inff_{x\in G} I(x)$ minden ny\'{\i}lt halmazra.
\item{} Adjunk p\'eld\'at val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek
$\mu_n$ sorozat\'ara a sz\'amegyenesen, mely sorozat teljes\'{\i}ti a
nagy elt\'er\'es t\'etelt, de nem teljes\'{\i}ti a ii$'$.)
tulajdons\'agot.
 
A k\"ovetkez\H o feladatokban az empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny
viselked\'es\'er\H ol adunk nagy elt\'er\'es tipus\'u becsl\'eseket,
\'es ezekb\H ol vezetj\"uk le a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete;
F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsorban bebizony\'{\i}tott nagy elt\'er\'es
t\'etel (nehezebben bizony\'{\i}that\'o) als\'o becsl\'es\'et
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'ok \'atlag\'ara. Annak val\'osz\'{\i}n\H us\'ag\'ere
adunk j\'o becsl\'est, hogy f\"uggetlen $F$ eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enye egy $G$, $G\neq F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
k\"ozel\'eben van, \'es ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel adunk becsl\'est
a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'anak
eloszl\'as\'ara. Ennek a m\'odszernek az az el\H onye,
hogy nem k\"ot\H odik er\H osen a sz\'amegyenes geometri\'aj\'ahoz.
Ez\'ert \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb esetekben is al\-kal\-maz\-hat\'o,
p\'eld\'aul olyankor, amikor az \"osszeadand\'ok egy  az Euklideszi
t\'ern\'el sokkal gazdagabb t\'erben veszik fel \'ert\'ekeiket.
Ezekben a vizsg\'alatokban nagyon fontos az al\'abbiakban bevezetett
$I$-divergencia fogalma.
\medskip\noindent {\bf Definici\'o:} {\it Legyen $F$ \'es $G$ k\'et
eloszl\'as a sz\'amegyenesen. (Az \'altal\'anos esetben legyen $\mu$
\'es $\nu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek ugyanazon az
$(Y,\Cal B)$ t\'eren.
 
Defini\'aljuk az $I(G\|F)$ $I$-divergenci\'at a k\"ovetkez\H o m\'odon:
$$
I(G\|F)=\int_{\left\{u\:\frac{dG}{dF}(u)>0\right\}}
\log\frac {dG}{dF}(u) \,dG(u)\;,
$$
ha az $G$ eloszl\'as \'altal induk\'alt m\'ert\'ek abszolut folytonos
az $F(x)$ \'altal induk\'alt m\'ert\'ekre, \'es $I(G\|F)=\infty$, ha
az nem abszolut folytonos.
 
(Az \'altal\'anos esetben
$$
I(\nu\|\mu)=\int \log \frac{d\nu}{d\mu}(y) \,d\nu(y)
$$
ha $\nu$ abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es
$I(\nu\|\mu)=\infty$ ha nem abszolut folytonos. A fenti integr\'al
\'ugy \'ertend\H o, hogy a $\BB=\left\{y\:
\dfrac{d\nu}{d\mu}(y)=0\right\}$ halmazon, ahol $\log
\dfrac{d\nu}{d\mu}(y)=-\infty$ \'es $\nu(\BB)=0$,
$\nu(\BB)\cdot (-\infty)=0\cdot(-\infty)=0$.}
\medskip
A k\'es\H{o}bbiekben tekinteni fogunk egy r\"ogz\'{\i}tett $\mu$
m\'ert\'eket valamilyen m\'ert\'ekt\'eren vagy egy speci\'alisan egy
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt a sz\'amegyenesen, \'es adva egy
$\xi_k(\oo)$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen $\mu$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozat
elk\'esz\'{\i}tj\"uk e sorozat \'altal meghat\'arozott
$\mu_n=\mu_n(\oo)$ empirikus m\'ert\'ekek sorozatat\'at. Be fogjuk
l\'atni, hogy (ha alkalmas topol\'ogi\'at vezet\"unk be a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek ter\'en), akkor az empirikus
m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es f\"uggv\'enyt,
$I(\cdot)=I(\cdot\|\mu)$ vari\'aci\'os f\"uggv\'ennyel.
 
Tekints\"uk azt az esetet, amikor egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny van
adva a sz\'amegyenesen, \'es $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen $F$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$S_n(\oo)=\summ_{k=1}^n\xi_k(\oo)$, \'es $F_n(\oo,u)$ a
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ sorozat empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\dfrac {S_n(\oo)}n=\int u\,F_n(\oo\,du)$, teh\'at az
$$
A_n(x)=\left\{\oo\: \dfrac{S_n(\oo)}n>x\right\} \quad \text{\'es}
\quad \bar A_n(x)=\left\{\oo\: \int u\,F_n(\oo,du)>x\right\}
$$
halmazok megegyeznek. Mivel $x>E\xi_1$ esetben az $A_n(x)$ illetve
$\bar A_n(x)$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere a nagy
elt\'er\'esek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere az
$I(\cdot)=\supp_{t\ge0}(tx-R(t))$, ahol $R(t)=E^{t\xi_1}$, illetve
$\bar I(\cdot)=I(\cdot\|F)$ vari\'aci\'os f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fejezhetj\"uk ki, ez\'ert a fenti \'ervel\'es
sugallja az al\'abbi (a) formul\'aban megfogalmazott azonoss\'agot.
 
A k\"ovetkez\H{o} 9. \'es 10. feladatban ezt az azonoss\'agot l\'atjuk
be. A 9. feladatban azt az egyszer\H{u}bb esetet tekintj\"uk, amikor a
$[\log R(t)]'=x$ egyenlet megoldhat\'o. Ekkor explicit m\'odon
megadhat\'o az, hogy az azonoss\'ag k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es hol veszi fel a sz\'els\H{o}\'ert\'ek\'et. A 10.\ feladat
az \'altal\'anos esettel foglalkozik. Ekkor az $I$-divergencia
kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban hasonl\'o probl\'em\'ak \'es gondolatok
jelennek meg, mint a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'ele: F\"uggetlen
val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/
feladatsor megfelel\H{o} r\'esz\'eben.
\medskip
\item{9.)} Legyen $\mu$ \'es $\nu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'ert\'ek egy $(Y,\Cal B)$ t\'eren. Ekkor $I(\nu\|\mu)\ge0$, \'es
egyenl\H os\'eg csak $\mu=\nu$ eset\'en lehets\'eges.
\item{} Legyen adva egy $F$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, \'es
legyen $x\ge m=\int u\,dF(u)$. (Nincs ilyen $x$~sz\'am, ha $\int
u\,dF(u)=\infty$, \'es tetsz\H oleges $x$ sz\'amot tekinthet\"unk,
ha az $\int u\,dF(u)$ nem l\'etezik. Legyen $G$ egy m\'asik m\'ert\'ek
a sz\'amegyenesen. Ha az $R(t)=\int e^{tu}F(\,du)$
momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny v\'eges valamely $t>0$-ra, \'es
$\int uG(\,du)=x$, akkor $IG\|F)\ge tx-\log R(t)$. L\'assuk be ennek
az egyen\-l\H ot\-len\-s\'eg\-nek egy b\'{\i}zonyos \'ertelm\H u
megford\'{\i}t\'as\'at el\H osz\"or abban a speci\'alis esetben,
amikor a $[\log R(t)]'=x$ egyenlet megoldhat\'o, \'es a megold\'as az
$R(t)$ f\"uggv\'eny \'ertelmez\'esi tartom\'any\'anak belsej\'eben
van, ahol $R(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{tu} F(\,du)$. Azaz,
mutassuk meg, hogy e felt\'etelek mellett
$$
\inf_{G\:\int u\,dG(u)\ge x} I(G\|F)=\sup_{t\ge0}\( tx-\log R(t)\),\quad
\text{ahol } R(t)=\int e^{tu}F(\,du) \tag a
$$
Ebben az esetben az (a) formula baloldal\'an az infimum, a
jobboldal\'an pedig az az szupr\'emum felv\'etetik. A baloldalon az
infimum a $G(du)=F_t(u)=\dfrac{e^{tu}\,dF(u)}{R(t)}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekn\'el, a baloldalon a szupr\'emum
a $[\log R(t)]'=x$ megold\'as\'an\'al \'eretik el.
\item{10.)} L\'assuk be a 9. feladat (a) formul\'aj\'at tetsz\H{o}leges
$F$ eloszl\'asra \'es $x\ge m=\int u\,dF(u)$ sz\'amra. Azt a
speci\'alis esetet kiv\'eve, amikor az $R(t)$ f\"uggv\'eny minden
$t\ge0$-ra \'ertelmezve van \'es $\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'=x$,
minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan $G$ eloszl\'as, melyre $x<\int u\,
dG(u)<x+\e$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel az el\H{o}z\H{o}
rel\'aci\'o mindk\'et oldal\'an, \'es $I(G\|F)<\supp_{t\ge0}
(tx-\log R(t))+\e$ egyenl\H{o}tlens\'eggel. \medskip
Legyen $F(x)$ \'es $G(x)$ k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o
eloszl\'asf\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$
f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok, $F_n(x)=\dfrac1n\#\{k\: \xi_k<x, 1\le k\le n\}$, a
$\xi_k$, $k=1,\dots,n$ sorozathoz tartoz\'o empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny. A va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'eg\-sz\'a\-m\'\i{}\-t\'as egy
klasszikus t\'etele, a Glivenko--Cantelli t\'etel szerint az $F_n(x)$
empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
konverg\'al szupr\'emum norm\'aban az $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Be fogjuk l\'atni, hogy
annak val\'osz\'\i{}n\H us\'ege, hogy az $F_n(x)$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $G(x)$  el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
k\"ozel\'eben van, $F\neq G$, (az $n$ v\'altoz\'oban) exponenci\'alisan
kicsi. Pontosabban,
$$
\lim_{\e\to0}\limsup_{n\to\infty}-\frac 1n\log
P\(\sup_x|F_n(x)-G(x)|<\e\)=I(G\|F)\;, \tag +1
$$
\'es
$$
\lim_{\e\to0}\liminf_{n\to\infty}-\frac 1n\log
P\(\sup_x|F_n(x)-G(x)|<\e\)=I(G\|F)\;, \tag +2
$$
A k\"ovetkez\H o feladatban ezt az \'all\'{\i}t\'ast abban a
speci\'alis esetben l\'atjuk be, amikor az $F$ \'es $G$ eloszl\'asok
\'altal meghat\'arozott $\mu_F$ \'es $\mu_G$ m\'ert\'ekek v\'eges sok
pontba vannak kon\-cent\-r\'al\-va.
\item{11.)} Legyen $\mu$ \'es $\nu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'ert\'ek egy v\'eges $X=\{x_1,\dots,x_k\}$ halmazon.
Vezess\"uk be a $\mu(\{x_l\})=p_l$, $\nu(\{x_l\})=q_l$, $l=1,\dots,k$,
$\summ_{l=1}^kp_l=\summ_{l=1}^kq_l=1$ jel\"ol\'est. Tegy\"uk fel,
hogy $p_l>0$ minden $1\le l\le k$-ra. Adva egy $\{y_1,\dots,y_n\}$
sorozat, melyre az $y_s$, $1\le s\le n$ elemek mindegyike
az $(x_1,\dots,x_k)$ pontok valamelyike, defini\'aljuk a
$\chi_n(l)=\chi_n(l,y_1,\dots, y_n)=\dfrac1n\times\#\{s\: 1\le
s\le n,\; y_s=x_l\}$, $l=1,\dots,k$ halmazt. Jel\"olje $\mu^{(n)}$ a
$\mu$ m\'ert\'ek $n$-szeres direkt szorzat\'at az $\{x_1,\dots,x_k\}^n$
halmazon, azaz az $\{x_1,\dots,x_k\}$ halmaz $n$-szeres direkt
szorzat\'an \"onmag\'aval. Ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra \'es
$n>n(\e)$-ra
$$
\aligned
\exp&\left\{-n\(\sum_{l=1}^k q_l\log\frac{q_l}{p_l}+C(\e)\)\right\}\\
&\qquad\le \quad\mu^{(n)}\( |\chi_n(l)-q_l|<\e\;\text {minden } 1\le
l\le k\text{ indexre}\)\\
&\qquad\qquad\quad\le \exp\left\{-n\(\sum_{l=1}^k q_l\log\frac
{q_l}{p_l}-C(\e)\)\right\}
\endaligned \tag3
$$
alkalmas $C(\e)>0$-val, melyre $C(\e)\to0$, ha $\e\to0$.
A fenti formula \'ugy \'ertend\H{o}, hogy a benne szerepl\H{o}
$q_l\log\dfrac{q_l}{p_l}$ \"osszeadand\'o null\'aval egyenl\H o, ha
$q_l=0$. Bizony\'{\i}tsuk be ennek az egyenl\H otlens\'egnek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (+1) \'es (+2) \'all\'{\i}t\'ast abban a
speci\'alis esetben, ha az $F$ \'es $G$ eloszl\'as \'altal
meghat\'arozott m\'ert\'ekek v\'eges sok pontba vannak koncentr\'alva.
\medskip
Be akarjuk l\'atni a (+1) \'es (+2) \'all\'{\i}t\'asokat tetsz\H oleges
$F$ \'es $G$ eloszl\'asokra. Ehhez el\H osz\"or bel\'atjuk, hogy az
$F$ \'es $G$ eloszl\'asok el\'eg finom v\'eges $F'$ \'es $G'$
diszkretiz\'aci\'oj\'aval el\'erhet\H o, hogy $I(G'\|F')$ j\'ol
k\"ozel\'{\i}ti az $I(G\|F)$ $I$-divergenci\'at. Ezt az
\'all\'{\i}t\'ast is k\'et r\'eszletben fogjuk bizony\'{\i}tani.
El\H osz\"or egy speci\'alis partici\'ot tekint\"unk, azt\'an ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel bebizony\'{\i}tjuk az
\'all\'{\i}t\'ast tetsz\H oleges finom partici\'ora. Ezeket az
\'all\'{\i}t\'asokat \'altal\'anosabb m\'ert\'ekterekben fogjuk
bebizony\'{\i}tani. Azt mondjuk, hogy halmazoknak egy
$\Cal C=(\bold C_1,\dots,\bold C_k)$ rendszere, ahol $\bold C_r$ az
$Y$ halmaz m\'erhet\H o r\'eszhalmaza, $1\le r\le k$, egy $(Y,\Cal B)$
t\'er (v\'eges) partici\'oja, ha $\bold C_1,\dots,\bold C_k$ diszjunkt
halmazok, \'es $\bigcup\limits_{r=1}^k\bold C_r=Y$.
 
Legyen adva egy $(Y,\Cal B)$  m\'erhet\H o t\'er, \'es annak v\'eges
$\Cal C$ partici\'oja. A $\Cal C$ partici\'ohoz v\'alasszunk egy
$(x_1,\dots,x_k)$,  $x_r\in \bold C_r$, $r=1,\dots,k$, (csak a $\Cal C$
partici\'ot\'ol f\"ugg\H o) pont\-rend\-szert. Egy az $(Y,\Cal B)$
t\'eren \'ertelmezett $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek
$\mu_{\Cal C}$ vet\"ulet\'et a $\Cal C$ partici\'ora defini\'aljuk mint
azt a $\mu_{\Cal C}$ m\'ert\'eket, mely az $x_r$, $1\le r\le k$,
pontokba van koncentr\'alva, \'es $\mu_{\Cal C}(\{x_r\})=\mu(\bold
C_r)$, $r=1,\dots,k$. \medskip
\item{12.)} Legyen adva k\'et $\mu$ \'es $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'ert\'ek egy $(Y,\Cal B)$ t\'eren, valamint az $(Y,\Cal B)$ t\'er
egy  $\Cal C$ v\'eges partici\'oja. Mutassuk meg, hogy $I\(\nu_{\Cal
C}\|\mu_{\Cal C}\)\le I(\nu\|\mu)$. Adva egy $\e>0$ konstru\'aljunk
olyan $\Cal C$ partici\'ot, melyre $I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\ge
I(\nu\|\mu)-\e$, ha $I(\nu\|\mu)<\infty$, \'es $I\(\nu_{\Cal
C}\|\mu_{\Cal C}\)\ge \e^{-1}$, ha $I(\nu\|\mu)=\infty$. \medskip
\'Erdemes megfogalmazni a 12. feladat eredm\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o}
t\"om\'or form\'aban:
$$
I(\nu\|\mu)=\supp_{\Cal C\text{ az } (Y,\Cal B) \text{ t\'er v\'eges
partici\'oja}} I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)
$$
 
Be akarjuk l\'atni, hogy az $I(\nu\|\mu)$ $I$-divergenci\'at nemcsak
egy speci\'alis hanem minden el\'eg finom partici\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'ol lehet approxim\'alni. Ehhez azonban
bizonyos megszor\'{\i}t\'ast kell tenni, nevezetesen azt, hogy a
tekintett t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aja j\'ol
k\"ozel\'{\i}thet\H o v\'eges partici\'okkal.  El\H osz\"or
bizony\'{\i}tsunk be egy technikai jelleg\H{u} m\'ert\'ekelm\'eleti
app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\-\'os lemm\'at, mely hasznos a bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'aban.\medskip
\item{13.)} Legyen $(X,\Cal A)$ egy m\'erhet\H o t\'er, legyenek azon
adva $\mu_1,\dots,\mu_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek,
\'es legyen $\Cal A_1\subset \Cal A_2\subset\cdots$ egym\'asba
skatuly\'azott $\sigma$-algebr\'ak sorozata, melyre $\Cal
A=\sigma\(\bigcup\limits_{l=1}^\infty \Cal A_l\)$, azaz $\Cal A$
az $\Cal A_l$ $\sigma$-algebr\'ak uni\'oja \'altal gener\'alt
legsz\"ukebb $\sigma$-algebra. Ekkor minden $\A\in \Cal A$  \'es
$\e>0$-ra l\'etezik olyan $n=n(\e)\ge1$, \'es $\BB=\BB(\e)\in \Cal
A_n$, melyre $\mu_j(\A\Delta\BB)\le \e$, minden $j=1,\dots,k$-ra,
ahol $\A\Delta\BB=(\A\setminus\BB)\cup(\BB\setminus\A)$.
\item{14.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er. Tegy\"uk fel,
hogy l\'eteznek olyan $\Cal C_1\subset\Cal C_2\subset\cdots$
egym\'asba skatuly\'azott partici\'ok. Az $(Y,\Cal B)$  t\'er $\Cal
C_l$ par\-ti\-ci\'oj\'at azo\-no\-s\'{\i}t\-suk azzal a (v\'eges elem\H
u) $\sigma$-algebr\'aval melynek elemei az $\Cal C_l$ partici\'o
elemeinek az uni\'oi. Teljes\"ulj\"on a $\Cal
B=\sigma\(\bigcup\limits_{l=1}^\infty\Cal C_l\)$ felt\'etel. (Teh\'at
ebben a feladatban feltessz\"uk azt is, hogy az
$(Y,\Cal B)$ t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'at lehet
megsz\'aml\'alhat\'o sok halmazzal gener\'alni.) Ekkor tetsz\H oleges
$\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekekre $\limm_{l\to\infty}I(\nu_{\Cal
C_l}\|\mu_{\Cal C_l})=I(\nu\|\mu)$.
\item{15.)} L\'assuk be  a 14. feladat eredm\'eny\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (+1) \'es (+2) \'all\'{\i}t\'asokat tet\-sz\H
o\-le\-ges $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyekre.
\medskip
Be szeretn\'enk l\'atni a 9. --- 15. feladatok eredm\'enyeinek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az e fel\-adat\-sorban megfogalmazott nagy
elt\'er\'es t\'etel fels\H o becsl\'es\'et, (azaz, a
$P\(\dfrac{S_n}n\in [a,b]\)$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egre akarunk \'eles
als\'o becsl\'est adni), \'es ez tu\-laj\-don\-k\'eppen a nagy
elt\'er\'es t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak neh\'ez fele. A gondolat a
k\"ovetkez\H o: Ha a $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enye $F_n(x)$, \"osszege
$S_n$, akkor $\dfrac{S_n}n=\int u\,dF_n(u)$. Azt v\'arjuk, hogy ez az
\'atlag k\"ozel van az $\int u\,dG(u)$ integr\'alhoz, ha az $F_n$
empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny k\"ozel van a $G$ eloszl\'ashoz,
\'es ennek esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'et j\'ol tudjuk
becs\"ulni. \'Ily m\'odon a $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny alkalmas
v\'alaszt\'as\'aval j\'o als\'o becsl\'est kapunk. E becsl\'esben
az $I(G\|F)$ $I$-divergencia jelenik meg, de a 10.~fel\-adat
eredm\'eny\'enek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel meg tudjuk adni a
$\supp_{t\ge0}(tx-\log R(t))$ kifejez\'est\H{o}l f\"ugg\H{o} als\'o
becsl\'est a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
 
Ez az \'erv alkalmazhat\'o, de csak bizonyos finom\'{\i}t\'assal. A
probl\'ema a k\"ovetkez\H o: Ha n\'eh\'any $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi v\'altoz\'o abszolut \'ert\'eke rendk\'{\i}v\"ul nagy, akkor
ezek alig m\'odos\'{\i}tj\'ak az $F_n$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, de nagyon befoly\'asolhatj\'ak az
$\dfrac{S_n}n$ \'atlag \'ert\'ek\'et. E neh\'ezs\'eg lek\"uzd\'ese
\'erdek\'eben olyan $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny kis k\"ornyezet\'enek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere adunk als\'o becsl\'est, mely egy
v\'eges intervallumba koncentr\'alt m\'ert\'eket hat\'aroz meg.
L\'atni fogjuk, hogy a $G$ eloszl\'as v\'alaszt\'as\'ara tett
megszor\'{\i}t\'as nem okoz komoly probl\'em\'at. A k\"ovetkez\H o
feladatban bebizony\'{\i}tjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast a fent
v\'azolt \'ervel\'es r\'eszletesebb kidolgoz\'as\'aval. \medskip
\item{16.)} Legyenek $\xi_1(\omega),\xi_2(\omega),\dots$ f\"uggetlen
$F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, \'es $G
\neq F$ egy m\'asik eloszl\'asf\"uggv\'eny, amelyik egy v\'eges
intervallumba van koncentr\'alva, azaz l\'etezik olyan $K>0$ sz\'am,
melyre $G(K)=1$, $G(-K)=0$. L\'assuk be, hogy tetsz\H oleges
$\e>0$-ra l\'etezik olyan $L=L(\e)>0$ sz\'am, melyre $L(\e)\to\infty$,
ha $\e\to0$, \'es a $\bar F(x)=\bar F_{L(\e)}(x)=P(\xi_1<x||\xi_1|\le
L)$ felt\'eteles el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny teljes\'{\i}ti a
$\supp_x|F(x)-\bar F(x)|\le \e$ \'es $|IG\|F)-I(G\|\bar F)|\le\e$
tulajdons\'agokat. Tov\'abb\'a van olyan $C(\eta,\e)$ f\"uggv\'eny,
melyre $C(\eta,\e)\to0$, ha $\eta\to0$ minden $\e>0$-ra, \'es
$$   \allowdisplaybreaks
\align
P\(\left.\omega\:\sup_x |F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta,\right|
|\xi_k(\omega)|\le L,\;1\le k\le n\)&\ge e^{-nI(G\|\bar F)
-nC(\eta,\e)}\\
\ge &e^{-n(I(G\|F)+C(\eta,\e)+\e)},
\endalign
$$
ha $I(G\|F)<\infty$. L\'assuk be e t\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
nagy elt\'er\'es t\'etel fels\H o becsl\'es\'et, azaz azt az
\'all\'{\i}t\'ast, hogy $E\xi_1\le a<b$ eset\'en
$\limsupp_{n\to\infty}-\dfrac1n\log P\(\dfrac{S_n}n\in[a,b]\)\le
\supp_{t\ge0}(ta-\log R(t))$. (Ha $E\xi_1$ nem l\'etezik, akkor
b\'armilyen $a<b$ sz\'amp\'art te\-kint\-he\-t\"unk.)
\medskip
Meg k\'{\i}v\'anjuk fogalmazni \'es be akarjuk bizony\'{\i}tani a
feladatsor elej\'en megfogalmazott nagy elt\'er\'es t\'etelt f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere. Az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
ter\'eben fogunk dolgozni. A nagy elt\'er\'es t\'etel
megfogalmaz\'as\'ahoz be kell vezetni egy topol\'ogi\'at az
eloszl\'asok ter\'eben. Igyeksz\"unk a nagy elt\'er\'es t\'etelt min\'el
gazdagabb  topol\'ogi\'aval ell\'atott t\'erben bebizony\'{\i}tani, mert
\'{\i}gy t\"obb esetben tudunk als\'o vagy fels\H o becsl\'est adni az
empirikus m\'ert\'eknek egy el\H o\'{\i}rt halmazba es\'e\-s\'e\-nek a
val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'ere. B\'ar minket els\H osorban val\'os
\'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'erdekelnek, nem
jelent neh\'ezs\'eget, s\H ot egyszer\H ubb terminol\'ogi\'at tesz
lehet\H ov\'e, ha \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb m\'erhet\H o t\'erbeli
\'ert\'eket felvev\H o val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk. Az al\'ab\-bi\-ak\-ban defini\'alt, \'ugynevezett $\tau$
topol\'ogi\'at fogjuk tekinteni.
 
\medskip\noindent{\bf Definici\'o.} {\it Legyen adva egy $(Y,\Cal B)$
m\'erhet\H o t\'er, \'es jel\"olje $X$ az ezen a t\'eren \'ertelmezett
(el\H ojeles) m\'ert\'ekek halmaz\'at. A $\tau$ topol\'ogi\'at az $X$
t\'eren defini\'aljuk. A $\tau$ topol\'ogi\'aban a ny\'{\i}lt
halmazokat az $\{\mu\: \mu\in X,\mu(\BB_1)\in \bold
G_1,\dots,\mu_k(\BB_k)\in \bold G_k\}$ alak\'u halmazok gener\'alj\'ak,
ahol $k$ tetsz\H oleges term\'eszetes sz\'am, $\BB_1,\dots,\BB_k$ az
$(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o halmazai, \'es  $\bold G_1,\dots,\bold
G_k$ a sz\'amegyenes ny\'{\i}lt r\'eszhalmazai.}
 
\medskip\noindent{\bf Nagy elt\'er\'es t\'etel empirikus
m\'ert\'ekekre.}\/ {\it  Legyen adva egy $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o
t\'er, \'es legyen $\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, egy
$(\Omega, \Cal D, P)$ mez\H{o}n defini\'alt f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u $(Y,\Cal B)$ \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H
u\-s\'egi v\'altoz\'ok sorozata $\mu$ eloszl\'assal, azaz legyen
$P(\xi_1\in \BB)=\mu(\BB)$ minden $\BB\in \Cal B$ halmazra.
Jel\"olje $(X,\Cal X)$ a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi
m\'ert\'ekek ter\'et az $(Y,\Cal B)$ t\'eren a $\tau$
topol\'ogi\'aval. (Pontosabban annak
meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-val, ha az el\H ojeles m\'ert\'ekek
ter\'et megszor\'{\i}tjuk a val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek
ter\'ere.) Jel\"olje $\Cal A$ az $\Cal X$ topol\'ogia \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'at az $X$ t\'eren. A
($\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
(v\'eletlen) $\mu_n(\oo)$ em\-pi\-ri\-kus eloszl\'as\'at a k\"ovetkez\H
ok\'epp defini\'aljuk:
$$
\mu_n(\oo)(\BB)=\dfrac1n\#\{k\: 1\le k\le n,\;
\xi_k(\oo)\in\BB\}\quad\text{minden } \BB\in \Cal B\text{-re}\;.
$$
Ekkor $\mu_n(\oo)$, $\oo\in\Omega$, tekinthet\H{o} \'ugy, mint egy
$(X,\Cal X)$ t\'erbeli \'ert\'eket felvev\H o val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'o. Jel\"olje $\mu^{(n)}$ a $\mu_n(\oo)$ el\-osz\-l\'a\-s\'at,
azaz legyen $\mu^{(n)}(\A)=P(\mu_n(\oo)\in \A)$, ahol $\A$ m\'erhet\H o
halmaz az $(X,\Cal X)$ t\'erben. A $\mu^{(n)}$ m\'ert\'ekek
teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es t\'etelt, ahol az $I(\cdot)$
f\"uggv\'enyt az $I(\cdot)=I(\cdot\|\mu)$ $I$-divergencia
defini\'alja.} \medskip
Be fogjuk tov\'abb\'a l\'atni a nagy elt\'er\'es t\'etel i.), ii.)
\'es iii.) tulajdons\'ag\'at \'es ezenk\'{\i}v\"ul azt, hogy az el\H obb
defini\'alt $\tau$ topol\'ogia teljes\'{\i}ti a $T_3$ tulajdons\'agot,
melynek fogalm\'at felid\'ezt\"uk a nagy elt\'er\'es t\'etel
definici\'oj\'aban. \medskip
Az el\H obb kimondott t\'etelnek, melyet az irodalomban Sanov
t\'etelnek h\'{\i}vnak, a megfogalmaz\'asa kiss\'e pontatlan. Nem
teljes\"ul ugyanis felt\'etlen\"ul az a tulajdons\'ag, hogy a $\mu_n$
empirikus m\'er\-t\'ek val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o, azaz
m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. S\H ot, a $\tau$ topol\'ogia el\'eg gazdag
ahhoz, hogy a legterm\'eszetesebb esetekben is, p\'eld\'aul amikor
sz\'amegyenesen defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, nem lehet az $(X,\Cal X)$ t\'er tetsz\H oleges ny\'{\i}lt
vagy z\'art halmaza eset\'en annak val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'er\H ol
besz\'elni, hogy az empirikus m\'ert\'ek ebbe a halmazba esik. Erre a
26. feladatban p\'eld\'at is fogunk l\'atni. Viszont a Sanov t\'etel
\'erv\'enyben marad, ha a nagy elt\'er\'es ii.) tulajdons\'ag\'aban
(annak val\'osz\'{\i}n\H us\'ege, hogy az empirikus m\'ert\'ek
ny\'{\i}lt halmazba esik) bels\H o m\'ert\'ekr\H ol a iii.)
tulajdons\'ag\'aban pedig (annak val\'osz\'{\i}n\H us\'ege, hogy az
empirikus m\'ert\'ek z\'art halmazba esik) k\"uls\H o m\'ert\'ekr\H ol
besz\'el\"unk. \'Igy a 19. feladatban $\mu^{(n)}$ bels\H o
m\'ert\'eket, a 22., 23. \'es 24. feladatban pedig k\"uls\H o
m\'ert\'eket jel\"ol. Egy halmaz bels\H o m\'ert\'eke az \'altala
tartalmazott m\'erhet\H o halmazok m\'ert\'ek\'enek a szupr\'emuma,
k\"uls\H o m\'ert\'eke pedig az \H ot tartalmaz\'o halmazok
m\'ert\'ek\'enek az infimuma. \medskip
\item{17.)} Legyen $(X,\Cal X)$ egy $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'eren
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek tere a $\tau$
topol\'ogi\'aval. Bizony\'{\i}tsuk be, hogy ez a topol\'ogikus t\'er
$T_3$ t\'er, azaz tetsz\H oleges $\mu\in X$ pontra \'es z\'art $\bold
F\subset X$ halmazra, melyre $\mu\notin \bold F$, l\'etezik k\'et
diszjunkt $\bold G_1$ \'es $\bold G_2$ ny\'{\i}lt halmaz, melyekre
$\mu\in \bold G_1$ \'es $\bold F\subset\bold G_2$. Tov\'abb\'a az
($X,\Cal X)$ t\'er teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H o $T_1$ tulajdons\'agot
is: Minden egy elem\H u, $\{\mu\}$, $\mu\in X$ halmaz z\'art.
\item{18.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, $(X,\Cal X)$
pedig az $(Y,\Cal B)$ t\'eren defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'er\-t\'e\-kek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval ell\'atva.
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\mu\in X$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'ert\'eket. Ekkor az  $I(\nu\|\mu)$ $I$-divergencia  mint a $\nu\in
X$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye alulr\'ol f\'elig foly\-to\-nos.
\item{19.)} Legyen adva egy $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, \'es
legyen $(X,\Cal A)$ az $(Y,\Cal B)$ t\'eren defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek tere a $\tau$
topo\-l\'o\-gi\'a\-val illetve az \'altala defini\'alt
$\sigma$-algebr\'aval. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\mu\in X$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'eket, \'es legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u $(Y,\Cal
B)$ \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok  $\mu$
eloszl\'assal. Jel\"olje $\mu^{(n)}$, $n=1,2,\dots$, a
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
empirikus eloszl\'as\'anak (mint $(X,\Cal A)$ \'ert\'ek\H u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi v\'altoz\'onak) az
eloszl\'as\'at az $(X,\Cal A)$ t\'eren. Ekkor a $\mu^{(n)}$ m\'ert\'ekek
teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es t\'etel ii.) tulajdons\'ag\'at is
az $I(\cdot\|\mu)$ $I$-di\-ver\-gen\-ci\'a\-val, azaz tetsz\H oleges
ny\'{\i}lt $\bold G\subset X$ halmazra
$$
\limsup\limits_{n\to\infty}-\dfrac1n \log \mu^{(n)}(\bold
G)\le \inff_{\nu\in \bold G} I(\nu\|\mu)\;.
$$
\medskip
A nagy elt\'er\'es utols\'o felt\'etel\'enek a bizony\'{\i}t\'asa, ---
z\'art halmazok val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'enek a fels\H o becsl\'ese,
--- finomabb \'ervel\'est ig\'enyel. A probl\'em\'at az okozza,
hogy hi\'aba tudunk a ,,nagyon nem tipikus" pontok kis
k\"ornyezeteinek a val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'ere j\'o becsl\'est adni,
ezek uni\'oj\'anak a val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'ere az ilyen becsl\'esek
\"onmagukban nem elegend\H oek. Term\'eszetes gondolat valamilyen j\'o
approxim\'aci\'oval \'es v\'eges fed\'essel megpr\'ob\'alni ezt a
probl\'em\'at megoldani. Ez a m\'odszer akkor m\H uk\"odik, ha a
becs\"ulend\H o halmaz nemcsak z\'art, hanem kompakt is. A 20.
feladatban el\'egs\'eges felt\'etelt adunk arra, hogy egy z\'art
halmaz kompakt legyen. Ezut\'an bebizony\'{\i}tjuk a nagy elt\'er\'es
t\'etel iii.) tulajdons\'ag\'at kompakt halmazokra, illetve
megmutatjuk, hogy  \'altal\'anos z\'art halmazok val\'osz\'{\i}n\H
us\'eg\'enek a becsl\'ese visszavezethet\H o egy minimax t\'etelre.
V\'eg\"ul ezt a minimax t\'etelt bizony\'{\i}tjuk be.
\item{20.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, $(X,\Cal X)$ az
$(Y,\Cal B)$ t\'eren defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek
tere  a $\tau$ topol\'ogi\'aval. Legyen $\mu\in X$ tetsz\H oleges
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek, $R>0$ pozit\'{\i}v val\'os
sz\'am. Ekkor a $\{\nu\:\nu\in X,\,I(\nu\|\mu)\le R\}$ halmaz kompakt.
\item{21.)} Az $(X,\Cal X)$ t\'er a $\tau$ topol\'ogi\'aval $T_{\rho}$
t\'er. (E fogalom definici\'oj\'at  felid\'ezt\"uk a 3. feladat
definici\'oj\'aban. E feladat \'all\'{\i}t\'as\'ara nem lesz a
tov\'abbiakban sz\"uks\'eg\"unk. C\'elja megmutatni, hogy eset\"unkben
is alkalmazhat\'o a 3. feladat eredm\'enye. A bizony\'{\i}t\'as
n\'eh\'any alapvet\H o topol\'ogiai eredm\'enyb\H ol \'es egy az el\H
oz\H o feladatban is alkalmazott konstrukci\'ob\'ol k\"ovetkezik.)
\item{22.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ egy m\'erhet\H o t\'er, $(X, \Cal X)$
az $(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'ert\'ekek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval, $\Cal A$ az $\Cal X$
topol\'ogia \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra az $X$ t\'eren. Legyen
$\bold Q_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek egy
sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren, \'es $I(\cdot)$ alulr\'ol folytonos
f\"uggv\'eny  $(X,\Cal X)$-en. Tegy\"uk fel, hogy minden $\nu\in X$-re
\'es $\e>0$-ra l\'etezik a $\nu$ pontnak olyan  $\bold G(\nu,\e)$
ny\'{\i}lt k\"ornyezete, melyre $\liminff_{n\to\infty}-\dfrac1n\log
\bold Q_n(\bold G(\nu,\e))>I(\nu)-\e$, ha $I(\nu)<\infty$ \'es
$\liminff_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \bold Q_n(\bold
G(\nu,\e))>\dfrac1\e$, ha $I(\nu)=\infty$. Ekkor a $\bold Q_n$
m\'ert\'eksorozat \'es az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
nagy elt\'er\'es t\'etel iii.) tulajdons\'ag\'anak k\"ovetkez\H o
gyeng\'{\i}tett alakj\'at:
\itemitem{iii$'$.)} $\liminf\limits_{n\to\infty}-\dfrac1n \log \bold Q
_n(\bold K)\ge \inff_{\nu\in \bold K} I(\nu)$ minden kompakt $\bold
K\subset X$ halmazra.
\item{} Legyen $\bold Q_n$ $n$ f\"uggetlen $\mu$ eloszl\'as\'u
val\'oszin\H us\'egi v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett
$\mu_n=\mu_n(\oo)$ empirikus m\'er\-t\'ek eloszl\'asa az $(X,\Cal A)$
t\'eren, \'es $I(\cdot)=I(\cdot\|\mu)$. Ezzel a v\'alaszt\'assal
teljes\"ulnek a fel\-adat els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'anak a
felt\'etelei. \medskip
A nagy elt\'er\'es t\'etel bizony\'{\i}t\'asa z\'art, de
nem kompakt halmazokra nehezebb. Ez a probl\'ema a nagy elt\'er\'es
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak egyik legnehezebb pontja az
\'altal\'anos (nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen minta empirikus
eloszl\'as\'at vizsg\'al\'o) esetben is. A k\"ovetkez\H o k\'et
feladat c\'elja ennek a probl\'em\'anak a megold\'asa. Az els\H{o}
feladat egy viszonylag egyszer\H{u}, term\'eszetes m\'odon
bizony\'{\i}that\'o becsl\'est ad a minket \'erdekl\H{o} kifejez\'esre
al\-kal\-mas ``diszkretiz\'aci\'o" seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
K\"ozvetlen\"ul nem annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'aljuk,
hogy a tekintett empirikus eloszl\'as beleesik-e egy (esetleg bonyolult)
z\'art halmazba. Ehelyett az empirikus m\'ert\'ek vet\"uleteit
tekintj\"uk v\'eges partici\'okra, \'es azt becs\"ulj\"uk, hogy ezek
a vet\"uletek milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek bizonyos a
feladat jelleg\'eb\H{o}l kifoly\'olag term\'eszetes m\'odon defini\'alt
halmazokba. Ez l\'enyegesen egyszer\H{u}bb fel\-adat, (val\'oj\'aban a
12. fel\-adat eredm\'eny\'et kell alkalmaznunk), \'es ez az elj\'ar\'as
vezet a 23. fel\-adat\-ban megadott becsl\'eshez. Annak megmutat\'asa,
hogy az \'{\i}gy kapott becsl\'es lehet\H{o}v\'e teszi a nagy
elt\'er\'es t\'etelben  szerepl\H{o} iii.) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'as\'at l\'enyegesen nehezebb probl\'ema. Ez egy minimax
jelleg\H{u} eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik, amelyiket a 24. feladat
megold\'as\'aban bizony\'{\i}tunk be. \medskip
\item{23.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, $(X,\Cal X)$ az
$(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'er\-t\'e\-kek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval, $\Cal A$ az ezen
topol\'ogia \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra az $X$ t\'eren.
Legyen $\mu\in X$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek, $\mu^{(n)}$ e
m\'ert\'ek $n$-szeres direkt szorzata \"on\-ma\-g\'a\-val,
$\mu_n=\mu_n(\oo)\in X$, $n=1,2,\dots$, $n$ darab f\"uggetlen $\mu$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'o empirikus
eloszl\'asa, $\bold F\subset X$ az $(X,\Cal A)$ t\'er z\'art
r\'eszhalmaza. Ekkor
$$
\liminf_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \mu^{(n)}(\mu_n\in \bold F)\ge
\sup_{\Cal C\in\Cal C^*}\inf_{\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal
C}\]}I\(\nu_{\Cal C} \|\mu_{\Cal C}\)\;,
$$
ahol $\Cal C^*$ jel\"oli az $(Y,\Cal B)$ t\'er \"osszes $\Cal
C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}$ v\'eges (m\'erhet\H o) partici\'oj\'at.
A $\nu_{\Cal C}$ m\'ert\'ek egy $\nu\in X$ m\'ert\'ek \'es $\Cal
C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}\in\Cal C^*$ partici\'o eset\'en az a
m\'ert\'ek (egy v\'eges $\{x_1\dots,x_k\}$ halmazon), melyre $\nu_{\Cal
C}(\{x_j\})=\nu(\bold C_j)$, \'es $x_j\in \bold C_j$, $j=1,\dots,k$,
egy a $\Cal C$ partici\'ohoz r\"ogz\'{\i}tett pontrendszer. Egy $\bold
F\subset X$ halmaz $\bold F_{\Cal C}$ vet\"ulete egy $\Cal C$
partici\'ora a $\nu_{\Cal C}$ m\'ert\'ekekekb\H ol \'all\'o halmaz
az $Y_{\Cal C}=\{x_1,\dots,x_k\}$ (v\'eges) halmazon, ahol $\nu\in
\bold F$, \'es $x_j\in \bold C_j$, $j=1,\dots,k$, a $\Cal C=\{\bold
C_1,\dots,\bold C_k\}$ halmazhoz kijel\"olt pontrendszer. Az
$\[\bold F_{\Cal C}\]$ halmaz az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz lez\'artja
az $(X_{\Cal C},\Cal X_{\Cal C})$ t\'eren. Ez a t\'er az $(Y_{\Cal
C},\Cal B_{\Cal C})$, ($\Cal B_{\Cal C}$ jel\"oli a diszkr\'et
topol\'ogi\'at) m\'erhet\H o t\'eren \'ertelmezett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi m\'er\-t\'e\-kek tere a $\tau$
topol\'ogi\'aval.
\item{24.)} Az el\"oz\H o feladat jel\"ol\'es\'evel
$$
\sup_{\Cal C\in\Cal C^*}\inf_{\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal
C}\]}I\(\nu_{\Cal C} \|\mu_{\Cal C}\)\ge \inf_{\nu\in \bold F}\sup_{\Cal
C\in\Cal C^*}I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)=\inf_{\nu\in \bold
F}I(\nu\|\mu). \tag4
$$
Bizony\'{\i}tsuk be a Sanov t\'etelben megfogalmazott nagy elt\'er\'es
t\'etel iii.) tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'at.
\medskip
Az el\H oz\H o feladatokban egy z\'art $\bold F$ halmaz $\bold F_{\Cal
C}$ vet\"ulet\'et vett\"uk egy $\Cal C$ partici\'ora, majd annak
$\[\bold F_{\Cal C}\]$ lez\'artj\'at tekintett\"uk. B\'ar erre a
bizony\'{\i}t\'as helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz nincs
sz\"uks\'eg, \'erdemes p\'eld\'at l\'atni arra, hogy ez a lez\'ar\'as
val\'odi oper\'aci\'o, azaz $\bold F_{\Cal C}$ nem felt\'etlen\"ul
z\'art halmaz.
\item{25.)} Konstru\'aljunk $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o teret, az
$(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
m\'er\-t\'e\-kek $(X,\Cal X)$ ter\'en a $\tau$ topol\'ogi\'aval egy
z\'art $\bold F$ halmazt \'es egy $\Cal C$ v\'eges partici\'ot az
$(Y,\Cal B)$ t\'eren, melyre az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz nem
z\'art. (A 23. feladatban bevezetett fogalmakat haszn\'aljuk.)
Mutassuk meg, hogy a k\"ovetkez\H o p\'elda teljes\'{\i}ti ezeket a
felt\'eteleket: $(Y,\Cal B)$ a $[0,1]$ intervallum a Borel
$\sigma$-algebr\'aval, $\bold F=\{\mu_n,\;n=2,3,\dots\}$, ahol a
$\mu_n$ m\'ert\'ek a k\"ovetkez\H o:
$\mu_n\(\left\{\frac1n\right\}\)=1-\frac1n$,
$\mu_n\(\left\{\frac34\right\}\)=\frac1n$; $\Cal C=\{\bold C_1,\bold
C_2\}$, $\bold C_1=\[0,\frac12\]$, $\bold C_2=\(\frac12,1\]$.
\item{26.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, $(X,\Cal X)$ az
ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek
tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval. Legyenek $\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)$
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $Y$ \'er\-t\'e\-k\H u
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal D,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg mez\H{o}n.  Ha
$$
\{\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)\}=\{y_1,\dots,y_n\}\in Y^n,
$$
akkor jel\"olje $\mu_n(\oo)=\mu_n(y_1,\dots,y_n)$ ezeknek a
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'oknak az
 empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az $\oo\in \Omega$ pontban.
Tetsz\H{o}leges $\BB\subset Y$
(nem felt\'etlen\"ul m\'erhet\H o) halmaz \'es $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'am eset\'en lehet defini\'alni olyan $\bold G=\bold G(\BB,n)$
ny\'{\i}lt halmazt az $(X,\Cal X)$ t\'erben, melyre az
$\{\oo\:\mu_n(\oo)\in \bold G\}$ \'es az
$$
\{\oo\:\xi_k(\oo)\in \BB,\text{ minden }k=1,\dots,n\}
$$
esem\'enyek megegyeznek. Ennek az \'eszrev\'etelnek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel mutassunk p\'eld\'at arra, hogy az
$\{\oo\:\mu_n(\oo)\in \bold G\}$ esem\'enynek nem minden ny\'{\i}lt
$\bold G$ halmazra van va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-ge.
 
\parskip=2.6pt plus 1.3pt
 
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{1.)} Tekints\"unk el\H osz\"or olyan $x\in X$ pontot, amelyikre
$I(x)<\infty$. Az $I(\cdot)$ alulr\'ol f\'elig folytonoss\'aga miatt
$\supp_{\bold G\: x\in \bold G,\; \bold G\text { ny\'{\i}lt}}
\inff_{y\in \bold G}I(y)=I(x)$. Tov\'abb\'a, mivel a
topol\'ogia $T_3$ tipus\'u, ez\'ert $\supp_{\bold F\:x\in
\text{Int}\,\bold F,\; \bold F\text{z\'art}}\inff_{y\in
\bold F}I(y)=I(x)$. Val\'oban, tet\-sz\H  o\-le\-ges $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan ny\'{\i}lt $\bold G$, $x\in\bold
G$ halmaz, melyre $\inff_{y\in \bold G}I(y)\ge I(x)-\e$. Tov\'abb\'a
a topol\'ogia $T_3$ tulajdons\'aga miatt l\'etezik olyan z\'art
$\bold F$ halmaz, melyre $x\in \text{Int\,}\bold F\subset \bold
F\subset \bold G$. Val\'oban, a $T_3$ tulajdons\'ag miatt l\'eteznek
olyan diszjunkt, ny\'{\i}lt $\bold G_1$ \'es $\bold G_2$ halmazok,
melyekre $x\in \bold G_1$, \'es $X\setminus \bold G\subset
\bold G_2$. Ekkor $\bold F=X\setminus \bold G_2$ teljes\'{\i}ti a
k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agokat. Ez\'ert $\supp_{\bold F\: x\in
\text{Int}\,\bold F,\;\bold F\text{ z\'art}}\inff_{y\in \bold
F}I(y)\ge \inff_{y\in \bold F}I(x)\ge I(x)-\e$. A m\'asik
\'{\i}r\'any\'u becsl\'es ny\'{\i}lv\'anval\'o.
\item{} Ezekb\H ol a rel\'aci\'okb\'ol \'es a nagy elt\'er\'es
t\'etelb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
\sup\Sb \bold G\: \bold G\text{ ny\'{\i}lt halmaz}\\ x\in\bold G\endSb
\limsup_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \mu_n(\bold G)&\le I(x)\\
\sup\Sb \bold F\: \bold F\text{ z\'art halmaz}\\ x\in \text{Int}\,\bold
F \endSb \liminf_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \mu_n(\bold F)&\ge I(x)\;.
\endalign
$$
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy kis $\e>0$ sz\'amot. Legyen $\bold F$,
$x\in\text{Int}\,\bold F$ olyan z\'art halmaz, melyre
$\liminff_{n\to\infty}-\dfrac1n\log\mu_n(\bold F)\ge I(x)-\e$.
Ekkor egy $x\in\bold G\subset\text{int}\,\bold F$ halmazra
$\limsupp_{n\to\infty}-\dfrac1n\log\mu_n(\bold G)\ge
\liminff_{n\to\infty}-\dfrac1n\log\mu_n(\bold G)\ge I(x)-\e$. Mivel
ez az \'all\'{\i}t\'as tetsz\H oleges $\e>0$-ra igaz alkalmas $\bold
G$ ny\'{\i}lt halmazra, a fenti becsl\'esekb\H ol k\"ovetkezik a
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'asok els\H o fele. Az
\'all\'{\i}t\'as m\'asik fele hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o.
L\'etezik olyan $\bold G$, $x\in \bold G$ ny\'{\i}lt halmaz, melyre
$\limsupp_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \mu_n(\bold G)\le I(x)+\e$.
Legyen $\bold F$ a $\bold G$ halmaz lez\'artja. Ekkor
$$
\liminff_{n\to\infty} -\dfrac1n\log \mu_n(\bold F)\le
\limsupp_{n\to\infty} -\dfrac1n\log\mu_n(\bold F)\le I(x)+\e\;.
$$
Innen k\"ovetkezik a feladat m\'asik \'all\'{\i}t\'asa.
\item{} Az $I(x)=\infty$ eset az el\H oz\H o esethez hasonl\'oan
n\'eh\'any term\'eszetes v\'altoztat\'assal bizony\'{\i}that\'o.
\item{2.)} L\'assuk be el\H osz\"or az als\'o becsl\'est.
R\"ogz\'\i{}tett $\e>0$ sz\'amhoz v\'alasszunk olyan $x_0\in X$ pontot,
melyre $g(x_0)-I(x_0)>\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}-\e$. Mivel az
$I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos, a $g(x)$
f\"uggv\'eny pedig folytonos, l\'etezik az $x_0$ pontnak olyan $\bold
G\subset X$ ny\'\i{}lt k\"ornyezete, melyre $g(x)>g(x_0)-\e$ \'es
$I(x)>I(x_0)-\e$, ha $x\in \bold G$. Ez\'ert minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$ k\"usz\"obindex, melyre $\mu_n(\bold
G_0)>e^{-n(I(x_0)-2\e)}$, \'es
$$
\int e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)\ge
\int_{\bold G} e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)\ge e^{n(g(x_0)-\e)}\mu_n(\bold G_0)
\ge e^{n(g(x_0)-I(x_0)-3\e)}\;,
$$
ha $n\ge n_0(\e)$. Mivel $\e>0$ tetsz\H oleges, innen k\"ovetkezik, hogy
$$
\liminf\dfrac1n \log\int e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)\ge
\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}\;.
$$
A fels\H o becsl\'es bizony\'\i{}t\'asa \'erdek\'eben
r\"ogz\'\i{}ts\"unk egy el\'eg kis $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk
az  $\bold F(k)=\bold F(k,\e)$
$$
\bold F(k)=\{x\: x\in X,\; k\e\le g(x)\le (k+1)\e,\; l\e\le I(x)\}
$$
halmazokat, $-\dfrac1\e\sup|g(x)|\le k<\dfrac1\e\sup|g(x)|$. Az $\bold
F(k)$ halmazok z\'artak,  az $x\in\bold F_k$ eset\'en $I(x)\ge
k\e-\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}$. Ez\'ert el\'eg nagy $n$-re
$$
\align
\int_{\bold F(k)} e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)&\le \exp\left\{n\[(k+1)\e-
k\e+\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}\]\right\}\\
&=\exp\left\{n\e+\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}\right\}.
\endalign
$$
Ezeket az egyenl\H otlens\'egeket \"osszeadva az \"osszes (v\'eges
sok) $k$-ra, \'es kihaszn\'alva, hogy $\e>0$ tetsz\H oleges, megkapjuk
a k\'\i{}v\'ant fels\H o becsl\'est.
\item{3.)} A ii.) tulajdons\'ag bel\'at\'asa \'erdek\'eben egy $\bold
G\subset X$ ny\'{\i}lt halmaz eset\'eben tetsz\H oleges $\e>0$-hoz
tekints\"unk olyan $x\in \bold G$ pontot, melyre $I(x)<\inff_{u\in\bold
G}I(u)+\e$, \'es legyen $g(\cdot)$ olyan folytonos f\"uggv\'eny, melyre
$g(x)=0$, $g(u)=-\dfrac1\e$, ha $u\notin \bold G$, \'es $g(u)\le 0$
minden $u\in X$-re. Ilyen $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik,
mert v\'eve egy $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, melyre $h(x)=0$, $h(u)=1$, ha
$u\notin \bold G$, akkor defini\'aljuk a $h_1(u)=\min\{h(u),1\}$,
$g(u)=-\dfrac1\e h_1(u)$ f\"uggv\'enyeket. Ez a $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket. Ekkor
$$
-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le-\dfrac1n\log\[\int e^{ng(u)}\,\mu_n(du)
-e^{-n/\e}\].
$$
Legyen $A=\inff_{x\in G}I(x)$. Ha $A=\infty$, akkor
$\supp\{g(u)-I(u)\}\le-\dfrac2\e$,
$$
-\dfrac1n\log\int e^{ng(x)}\,\mu_n(dx)\le -\dfrac1{\e}\;,
$$
$-\dfrac1n\log\mu_n(\bold G)\le-\dfrac1{2\e}$, el\'eg nagy $n$-re, azaz
mivel $\e>0$ tetsz\H oleges,
$$
\limsup-\dfrac1n\log\mu_n(\bold G)=\infty=\inff_{x\in G}I(x)
$$
ebben az esetben. Ha $A<\infty$, akkor
$$
\int e^{ng(u)}\,\mu_n(du)\ge\exp\left\{n\(\supp_{u\in \bold
G} (g(u)-I(u))-\e\)\right\}\ge e^{n(g(x)-I(x)-\e)}\ge e^{-n(A+2\e)}
$$
el\'eg nagy $n$-re. Ez\'ert
$$
\limsup-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le\limsup -\dfrac1n\log
\{e^{-n(A+2\e)}-e^{n/\e}\}
$$
minden $\e>0$-ra, ahonnan $\limsup-\dfrac1n\log\mu_n(\bold G)\le
A=\inff_{x\in G}I(x)$.
\item{} A iii$'$.) tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
minden $x\in \bold K$ ponthoz \'es $\e>0$ sz\'amhoz defini\'alunk egy
alkalmas $g_{x,\e}=g_{x,\e}(u)$ folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyt
az $(X,\Cal X)$ t\'eren. Minden $x\in \bold K$ pontra defini\'aljuk az
$\bold F(x)=\{z\: I(z)\le I(x)-\e\}$, ha $I(x)<\infty$, \'es $\bold
F(x)=\{z\:I(z)\le \e^{-1}\}$, ha $I(x)=\infty$ halmazokat.
Mivel az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos, ez\'ert
az $F(x)$ halmazok z\'artak. Ez\'ert l\'etezik olyan folytonos
$g_{x,\e}$ f\"uggv\'eny az $(X,\,\Cal X)$ t\'eren, melyre
$g_{x,\e}(x)=\e$, $g_{x,\e}(u)=-I(x)$ az $u\in \bold F(x)$ pontokban,
ha $I(x)<\infty$, $g_{x,\e}(x)=\e$, $g_{x,\e}(u)=-\dfrac2\e$, ha
$u\in \bold F(x)$, $I(x)=\infty$, \'es $g_{x,\e}(u)\le \e$ minden $u\in
X$-re. (Ilyen f\"uggv\'enyek konstrukci\'oja az\'ert lehets\'eges, mert
az $(X,\rho)$ t\'er $T_\rho$ t\'er.) Defini\'aljuk az $x$ pont $\bold
U(x)=\bold U(x,\e)=\{z\: g_{x,\e}(z)>0\}$ ny\'{\i}lt k\"ornyezet\'et.
Mivel
az $\bold U(x)$ halmazok a $\bold K$ kompakt halmaz fed\'es\'et adj\'ak,
l\'etezik v\'eges sok $x_1,\dots,x_k$ pont, melyekre $\bold U(x_j)$,
$j=1,\dots,k$ halmazok lefedik a $\bold K$ halmazt. Legyen
$g_j(u)=g_{x_j,\e}(u)$, $j=1,\dots,k$. Ekkor
$$
\mu_n(\bold K)\le\sum_{j=1}^k \int e^{ng_j(u)}\,\mu_n(du).
$$
Tov\'abb\'a el\'eg nagy $n$-re
$$
\align
\int e^{ng_j(u)}\,\mu_n(du) \le
\exp\left\{n\(\sup_{u\in X} g_j(u)-\inf_{u\notin \bold F(x)}
I(u)+\e\)\right\}&\le e^{n(2\e-I(x_j))}\\
&\qquad\text{ha } I(x_j)<\infty,
\endalign
$$
\'es
$$
\int e^{ng_j(u)}\,\mu_n(du) \le
e^{n(2\e-1/\e)},\quad\text{ha } I(x_j)=\infty.
$$
Ez\'ert
$$
\dfrac1n\log\mu_n(\bold K)\le\frac{\const}n-
\min\(\frac1\e,\min_{I(x_j)<\infty}I(x_j)\)+2\e\le-\min\(\frac1\e,
\inf_{u\in \bold K} I(u)\)+3\e
$$
el\'eg nagy $n$-re. Innen k\"ovetkezik a iii$'$.) tulajdons\'ag.
\item{4.)} Az $I(x)$ f\"uggv\'eny
definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik,
hogy az monoton n\H o. Tov\'abb\'a, ha $I(z)<\infty$, $E\xi<z$, akkor
minden kis $\e>0$-ra l\'etezik olyan $t>0$, melyre $I(z)<tz-\log
R(t)+\e$, \'es l\'etezik egy $\e$-t\'ol f\"uggetlen
$\delta=\delta(z)$ \'ugy, hogy az el\H oz\H o egyen\-l\H
ot\-len\-s\'e\-get kiel\'eg\'{\i}t\H o $(\e,t)$ p\'arra $t>\delta$.
Val\'oban, mivel $z>E\xi_1$, $I(z)>\eta$ alkalmas $\eta>0$-ra, \'es ha
$\e<\dfrac\eta2$, akkor a $tz-\log R(t)>\dfrac\eta2$ felt\'etelnek
teljes\"ulnie kell. De mivel $\limm_{t\to0}(tz-\log R(t))=0$ ez csak
\'ugy lehets\'eges, ha $t>\delta$ alkalmas $\delta=\delta(z)$ sz\'ammal.
Adva egy $(y,x)$ p\'ar, melyre $E\xi<y<x$  v\'alasszunk egy $\e<
(x-y)\delta$, $\delta=\delta(y)$ sz\'amot, melyre l\'etezik olyan
$t>\delta$, hogy $I(y)<ty-\log R(t)+\e$. Ekkor $I(y)<tx-\log
R(t)-t(x-y)+\e\le I(x)+\e-\delta(x-y)<I(x)$. Az $I(\cdot)$
f\"uggv\'eny baloldali folytonoss\'ag\'anak bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben egy olyan $x$ sz\'amra, melyre $I(x)<\infty$, $x>E\xi$
egy el\'eg kis $\e>0$-ra v\'alasszunk olyan $t$ sz\'amot, melyre
$I(x)<tx-\log R(t)+\e$. Legyen $y$ olyan sz\'am, melyre $y<x$ \'es
$x-y<\dfrac\e t$. Ekkor $I(x)\ge I(y)\ge t(y-x)+tx-\log R(t)\ge
I(x)-\e-t(x-y)\ge I(x)-2\e$. Innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
folytonoss\'ag. V\'eg\"ul, mivel a $tx-\log R(t)$ f\"uggv\'eny minden
r\"ogz\'{\i}tett $t$-re konvex (s\H ot l\'{\i}ne\'aris) f\"uggv\'eny,
ez\'ert $I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$ is konvex f\"uggv\'eny.
Innen k\"ovetkezik az $I(x)$ f\"uggv\'eny jobbr\'ol val\'o
folytonoss\'aga az adott felt\'etelek mellett. Ha ugyanis
$I(x)<I(x+0)<\infty$ lenne valamely $x\ge E\xi$-re, akkor a szigor\'u
$\limm_{\e\to0}I(x+\e)>\limm_{\e\to0}\dfrac{I(x)+I(x+2\e)}2$
egyenl\H otlens\'eg teljes\"ulne, \'es ez ellentmond az $I(\cdot)$
f\"uggv\'eny konkvexit\'as\'anak.
\item{5.)} A nagy elt\'er\'es t\'etel i.) tulajdons\'aga, az hogy az
$I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos k\"ozvetlen\"ul
kiolvashat\'o az el\H oz\H o feladat eredm\'eny\'eb\H ol.
\item{} Ha $G$ ny\'{\i}lt halmaz, v\'alasszunk tetsz\H oleges
$\e>0$-ra olyan $z\in G$ pontot, melyre $I(z)<\inff_{x\in G} I(x)+\e$,
\'es legyen $h>0$ olyan sz\'am, melyre $[z,z+h]\in G$ ha $z\ge
E\xi_1$, \'es $[z-h,z]\in G$, ha $z<E\xi_1$. Ekkor
$$
\limsup\limits_{n\to\infty}\frac1n\log P\(\dfrac{S_n}n\in G\)
\ge\limsup\limits_{n\to\infty}\frac1n\log P\(\dfrac{S_n}n\in [z,z\pm
h]\)=I(z)\;.
$$
Az utols\'o azonoss\'ag bel\'at\'as\'ahoz el\'eg bebizony\'{\i}tani
azt, hogy $I(z)<I(z+h)$, ha $z\ge E\xi_1$ \'es $I(z)<\infty$, \'es
$I(z)<I(z-h)$, ha $z<E\xi_1$ \'es $I(z)<\infty$. Ezt az
\'all\'{\i}t\'ast viszont az $x>E\xi_1$ bel\'attuk a 4. feladatban.
Az $x<E\xi_1$ hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o, vagy k\"ovetkezik az
el\H oz\H o esetb\H ol, azt alkalmazva a $-\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi v\'altoz\'ora. Ez\'ert igaz a nagy elt\'er\'es t\'etelben
szerepl\H o ii.) tulajdons\'ag.
\item{} Egy $F$ z\'art halmazt \'{\i}rjunk fel $F=F_1\cup F_2$
alakban, ahol $F_1=F\cap \{x\ge E\xi_1\}$, $F_2=F\cap \{x\le E\xi_1\}$.
\item{} A iii.) \'all\'{\i}t\'ast el\'eg bel\'atni az $F_1$ \'es $F_2$
halmazokra. Legyen $z=\min\{x\: x\in F_1\}$. Ekkor a {\it Nagy
elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor
19. feladata alapj\'an
$$
\liminf\limits_{n\to\infty}-\dfrac1n\log P\(\dfrac{S_n}n\in
F_1\)\ge -\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\log P\(S_n\ge z\)=I(z)\;.
$$
Viszont $I(z)=\inff_{x\in F} I(x)$, mert az $I(x)$ f\"uggv\'eny monoton
n\H o.
\item{6.)} Tekints\"uk el\H osz\"or csak azt az esetet, amikor a
$\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik v\'arhat\'o
\'ert\'eke. El\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy az $I(x)$ f\"uggv\'eny
alulr\'ol f\'elig folytonos. Ha $Ee^{t\xi}<\infty$ alkalmas $t>0$-val,
akkor a 4. feladat eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik ez az
\'all\'{\i}t\'as $x\ge E\xi_1$-re. Tov\'abb\'a $\limm_{x\to
E\xi_1}I(x)=0$. Alkalmazva ezt az eredm\'enyt a $-\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ora, kapjuk az anal\'og
\'all\'{\i}t\'ast $x\le E\xi_1$ eset\'en, ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$
alkalmas $t<0$-ra. Mivel a t\"obbi esetben $I(x)=0$, ezekb\H ol az
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik a nagy elt\'er\'es t\'etel i.)
tulajdons\'aga.
\item{} Tekints\"uk a ii.) tulajdons\'agot el\H osz\"or olyan $G$
ny\'{\i}lt halmazokra, melyek tartalmazz\'ak a (v\'eges) $E\xi_1$
v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ebben az esetben a nagy sz\'amok
t\"orv\'enye alapj\'an $P\(\frac{S_n}n\in G\)\to1$, ez\'ert a ii.)
tulajdons\'ag teljes\"ul. Ha $E\xi\notin G$, akkor $\e>0$-ra
l\'etezik olyan $u\in G$ \'es $[a,b]\subset G$ intervallum, melyre
$I(u)\le \inff_{x\in G} I(x)+\e$, $u\in [a,b]$ \'es $[a,b]\subset
(E\xi_1,\infty)$ vagy $[a,b]\subset (-\infty,E\xi_1)$. El\'eg az
els\H o esetet vizsg\'alni, mert a m\'asodik eset a $-\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok bevezet\'es\'evel
visszavezethet\H o erre az esetre. Ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$ alkalmas
$t>0$-ra, akkor ez k\"ovetkezik az $I(x)$ f\"uggv\'eny 4. feladatban
bel\'atott szigor\'u monoton\'{\i}t\'as\'ab\'ol. Ha pedig ez a
tulajdons\'ag nem teljes\"ul, akkor a a {\it Nagy elt\'er\'esek
elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
 v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 15. feladat\'anak eredm\'enye alapj\'an
$\frac 1n\log P\(\frac{S_n}n\in [a,b]\)\to0$, ha $n\to\infty$, \'es
innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as az adott esetben.
\item{} Hasonl\'oan az el\H oz\H o feladat \'ervel\'es\'ehez, el\'eg
a iii.) tulajdons\'agot abban az esetben bel\'atni, ha az $F$ z\'art
halmaz teljes\'{\i}ti az $F\subset [E\xi_1, \infty)$ vagy az anal\'og
m\'odon t\'argyalhat\'o $F\subset (-\infty, E\xi_1]$ tulajdons\'agot.
Ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$ alkalmas $t>0$-ra, akkor ez az
\'all\'{\i}t\'as az el\H oz\H o feladat bizony\'{\i}t\'as\'ab\'ol
kiolvashat\'o, viszont ha ez a tulajdons\'ag nem teljes\"ul, akkor
az \'all\'{\i}t\'as ny\'{\i}lv\'anval\'o, mert ekkor
$I(x)=0$ minden $x\ge E\xi_1$-re.
\item{} V\'eg\"ul, ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'onak nincs v\'arhat\'o \'ert\'eke, akkor $I(x)=0$ minden
$x$-re. Ez\'ert a i.) \'es iii.) tulajdons\'ag ebben az esetben
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A ii.) tulajdons\'ag pedig k\"ovetkezik a
 {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete;
F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 15. feladat\'anak eredm\'eny\'eb\H ol.
\item{7.)} Az adott felt\'etelek mellett a {\it Nagy elt\'er\'esek
elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 8. feladata alapj\'an
$[\log R(0)]'=-\infty$. Tov\'abb\'a a $\log R(t)$ konvexit\'asa \'es
folytonoss\'aga valamint a $\log R(0)=0$ rel\'aci\'o miatt minden
$\e>0$-ra l\'etezik olyan $K=K(\e)>0$, melyre $\log R(t)>-\e-Kt$ minden
$t\ge0$-ra. Val\'oban, $\log R(t)-\e<0$, ha $t\le \delta(\e)$, \'es
$[\log R(t)]'\le-K(\e)$, ha $0<t\le \delta(\e)$, \'es innen k\"ovetkezik
az \'all\'{\i}t\'as. Ez\'ert, ha $x<-K(\e)$, akkor $tx-\log R(t)<\e$
minden $t\ge 0$ eset\'en. Mivel ez az egyenl\H otlens\'eg igaz minden
$\e>0$-ra, \'es $\log R(0)=0$ innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{8.)} Azt kell bel\'atni, hogy $\liminff_{n\to\infty}
-\dfrac1n\log\mu_n(G)\ge\inff_{x\in G}I(x)$ minden ny\'{\i}lt $G$
halmazra, ahol $\mu_n$ egy $\xi_k$, $k=1,2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozat els\H{o} $n$ elem\'b\H{o}l
k\'esz\'{\i}tett \'atlag eloszl\'asa, \'es $I(\cdot)$ a $\mu_n$,
$n=1,2,\dots$, m\'ert\'eksorozatra \'erv\'enyes nagy elt\'er\'es
t\'etel  $I(\cdot)$ f\"uggv\'enye. Ha $E\xi_1\in G$, akkor a
bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes, mert ekkor
$\inff_{x\in G}I(x)=0$. Ez\'ert el\'eg azt a k\'et esetet n\'ezni,
amikor $G\in (-\infty, E\xi_1)$ vagy $G\in (\xi_1,\infty)$.
Mivel az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny mind a k\'et f\'elegyenesen monoton
f\"uggv\'eny, ez\'ert mind a k\'et esetben teljes\"ulnek a $G\subset
G'=(x',x'')$ \'es $\inff_{x\in G}I(x)=\inff_{x\in G'}I(x)$
rel\'aci\'ok, ahol $x'=\inf\{x\:x\in G\}$ \'es $x''=\sup\{x\:x\in G\}$.
Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast el\'eg ilyen $G'$
ny\'{\i}lt intervallumra bel\'atni (esetleg $\pm\infty$
v\'egpontokkal). Ez viszont kiolvashat\'o a nagy
elt\'er\'es t\'etel alakj\'ab\'ol f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.
\item{} Defini\'aljuk az ellenp\'eld\'at a
k\"ovetkez\H o m\'odon:
$$
\mu_n{(0)}=2^{-1},\qquad \mu_n\(
j{2^{-n^2}}\)=2^{-(n+1)},\quad j=1,2\dots,2^n\;,
$$
\'es legyen $I(0)=0$, \'es $I(x)=\infty$, ha $x\neq0$. Ekkor $I(x)$
alulr\'ol f\'elig folytonos f\"uggv\'eny, teh\'at teljes\"ul az
i.) rel\'aci\'o. A iii.) rel\'aci\'o is teljes\"ul, mert egy z\'art $F$
halmazra vagy $0\in F$, mely esetben
$\limsupp_{n\to\infty}-\frac1n\log\mu_n(F)=0$ vagy $F$ nem tartalmazza
a 0 egy kis k\"ornyezet\'et, \'es ekkor $\mu_n(F)=0$ el\'eg nagy
$n$-re. A ii) rel\'aci\'o teljes\"ul tetsz\H oleges (nem
felt\'etlen\"ul ny\'{\i}lt) $G$ halmazra, mert vagy $0\in G$ mely
esetben $\mu_n(G)\ge\frac12$ minden $n$-re vagy $0\notin G$, \'es
ekkor $\inff_{x\in G}I(x)=\infty$. V\'eg\"ul a ii.) rel\'aci\'oban nem
lehet azonoss\'agot \'{\i}rni, mert a ny\'{\i}lt $G=R^1-\{0\}$
halmazra $\mu_n(G)=\frac12$, teh\'at
$\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(G)=0$.
\item{9.)} Mivel $\log(1+v)\le v$, $0\le v\le 1$ esetben, \'es
egyenl\H os\'eg csak $v=0$ eset\'en van,
$$
\align
I(\nu\|\mu)&=-\int\log \frac{d\mu}{d\nu}(u)\,d\nu(u)\ge
-\int\frac{d(\mu-\nu)}{d\nu}(u)\,d\nu(u) \\
&=\int d\mu(u)-\int d\nu(u)=0\;,
\endalign
$$
ha $\nu$ abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es egyenl\H
os\'eg csak $\nu=\mu$ esetben \'all fenn. Ha $\nu$ nem abszolut
folytonos, akkor ez az \'all\'\i{}t\'as ny\'\i{}lv\'anval\'o.
\item{} Ha az $R(t)=\int e^{tu}\,dF(u)$ integr\'al v\'eges, akkor
defini\'aljuk az $F_t(du)=\dfrac{e^{tu}F(du)}{R(t)}$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi m\'ert\'eket. Ekkor $\int u\,dG(u)=x$ eset\'en
$$
I(G\|F)=\int \log \frac{dF_t(u)}{dF(u)}\,dG(u)+\int
\frac{dG(u)}{dF_t(u)}\,dG(u)=tx-\log R(t)+I(G\|F_t)\;,
$$
ahonnan $I(G\|F)\ge tx-\log R(t)$, \'es egyenl\H os\'eg csak $G=F_t$
eset\'en \'all fenn. Innen k\"ovetkezik, hogy a bizony\'\i{}tand\'o (a)
azonoss\'ag bal\-ol\-dala mindig nagyobb vagy egyenl\H o mint a
jobboldal. Tov\'abb\'a, mivel $\int u\,dF_t(u)=[\log R(t)]'$
a $[\log R(t)]'=x$ megoldhat\'os\'aga eset\'en mind a bal mind a
jobboldal felveszi a sz\'els\H o\'ert\'eket a fel\-adat\-ban le\'{\i}rt
esetben \'es a k\'et kifejez\'es egyenl\H o.
\item{10.)} Be kell l\'atni az (a) azonoss\'ag m\'eg hi\'anyz\'o
fel\'et, azaz az $\inff_{G\:\int u\,dG(u)\ge
x}I(G\|F)\le\supp_{t\ge0} (tx-\log R(t))+\e$ egyenl\H otlens\'eget
minden $\e>0$ sz\'amra abban az esetben, ha a $[\log R(t)]'=x$ egyenlet
nem oldhat\'o meg. Az $R(t)$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny
vizsg\'alat\'aban, (a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete;
F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsor (8., 12., 14. \'es 15. feladatainak)
eredm\'enyeib\H ol k\"ovetkezik, hogy a k\"ovetkez\H o eseteket kell
vizsg\'alni: a.) Az $R(t)$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny egy
v\'eges jobbr\'ol z\'art  $[0,T]$ intervallumban van defini\'alva,
\'es $[\log R(T)]'=m_T\le x$, b.) Az $R(t)$ f\"uggv\'eny \'ertelmezve
van az eg\'esz $[0,\infty]$ f\'elegyenesen, de
$\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'=m\le x$. c.) Minden $t>0$ eset\'en
$R(t)=\infty$.
\item{} Az a.) esetben az (a) azonoss\'ag jobboldala $t=T$ pontban
veszi fel a szupr\'emum\'at. El\'eg bel\'atni, hogy ha $x>m_T$,
akkor tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik olyan $G$ eloszl\'as, melyre
$x+\e\ge \int u\,dG(u)\ge x$, \'es $I(G\|F_T)<\e$, ahol $m_T=\int
u\,dF_T(u)$. Ekkor ugyan\-is $I(G\|F)=T\int u\,dG(u)-\log R(T)
+I(G\|F_T)\le T(x+\e)-\log R(T)+\e$. Teljes\"ul tov\'abb\'a az
$\int e^{tu}dF_T(u)=\infty$ felt\'etel minden $t>0$ eset\'en, \'es a
$G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny konstrukci\'oj\'aban az $F_T$ eloszl\'asnak
ezt a tulajdons\'ag\'at fogjuk haszn\'alni. Ez\'ert az a.) \'es c.)
esetet, ahol ugyanezt az egyenl\H{o}tlens\'eget kell bizony\'{\i}tani
$T=0$ v\'alaszt\'assal, egyszerre vizsg\'alhatjuk. Feltehetj\"uk, hogy a
szigor\'u egyenl\H otlens\'eg $x>m_T$, illetve $x>m$ teljes\"ul,
($m_T=\int u\,dF_T(u)$, $m=\int u\,dF(u)$,) mert $x=m_T$, illetve $x=m$
eset\'en $G=F_T$ \'es $G=F$ kiel\'eg\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get. A konstrukci\'o megad\'asa \'erdek\'eben
az $x>m_T$ \'es $x>m$ esetben vegy\"uk \'eszre, hogy az a.) esetben
minden el\'eg kis $\e'>0$ sz\'amra l\'eteznek olyan $K_1>0$ \'es
$K_2>0$ sz\'amok, melyekre
$\mu_1=\mu([-K_1,K_2])=F_T(K_2)-F_T(-K_1)>1-\e'$,
$\int_{-K_1}^{K_2} u\,dF_T(u)<m_T<x\mu_1$, \'es hasonl\'o
\'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes a c.) esetben is. Val\'oban, $K_1>0$-t
\'es $K_2>0$-t el\'eg nagynak v\'alasztva teljes\'{\i}thetj\"uk az
els\H o felt\'etelt, \'es mivel $1-F_T(K_2)>0$, a $K_1>0$ konstansot
m\'eg nagyobbra v\'alasztva, ha
sz\"uks\'eges az $\int u\,dF_T(u)=m_T<x$ felt\'etel miatt a m\'asodik
felt\'etelt is teljes\'{\i}teni tudjuk. Tov\'abb\'a, mivel az $F_T$
eloszl\'ashoz tartoz\'o $R_T(t)$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny
v\'egtelen tetsz\H oleges $t>0$ eset\'en, tetsz\H oleges $\delta>0$
sz\'amhoz v\'egtelen sok pozit\'{\i}v $p$ eg\'esz sz\'am van,
melyekre, $\mu_2=\mu_2^{(p)}=F_T(2^{p+1})-F_T(2^p)>e^{-\delta 2^p}$.
Hasonl\'o \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes a c.) esetben is.
\item{} Defini\'aljuk a $\bar\mu_1$ \'es $\bar\mu_2$ val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi m\'ert\'ekeket, mint
$$
\align
\bar\mu_1(\A)&=\dfrac1{\mu_1}\int _{\A\cap [-K_1,K_2]}
\,dF_T(u)\;,\\
\bar\mu_2(\A)&=\bar\mu_2^{(p)}(\A)=\dfrac1{\mu_2^{(p)}}\int
_{\A\cap [2^p,2^{p+1}]} \,dF_T(u)\;,
\endalign
$$
ahol $\mu_1$, $K_1$, $K_2$ $\mu_2^{(p)}$ az el\H oz\H o
megjegyz\'esben szerepl\H o mennyis\'egek, \'es a $p$ pa\-ra\-m\'e\-tert
a $\mu_2^{(p)}$ m\'ert\'ek definici\'oj\'aban alkalmasan v\'alasztjuk.
Defini\'aljuk a $ G= G^{(p)}$ m\'er\-t\'e\-ket, mint az $G=\alpha \bar
\mu_1+(1-\alpha)\bar\mu_2^{(p)}$ line\'aris
kombin\'aci\'ot, ahol az $\alpha$ sz\'amot az $\int u\,dG(u)=x$
felt\'etel hat\'arozza meg. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy el\'eg kis
$\e'>0$, $\delta=\delta(\e')>0$ \'es el\'eg nagy $p=p(\delta)>0$
v\'alaszt\'as eset\'en $G$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek, \'es
$I(G\|F_T)<\e$. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
I(G\|F_T)=\alpha I(\bar \mu_1\|F_T) +(1-\alpha) I(\bar
\mu_2\|F_T)=-\alpha\log \mu_1-(1-\alpha)\log \mu_2^{(p)}\;,
$$
\'es mivel $\int u \,d\bar\mu_1(u)<x$, \'es $2^p\le\int u
\,d\bar\mu_2^{(p)}(u)\le 2^{(p+1)}$, el\'eg nagy $p$-re
$0<1-\alpha<\const 2^{-p}$. Innen $-\alpha\log \mu_1<-\log\mu_1
<-\log(1-\e')$, \'es $-(1-\alpha)\log \mu_2^{(p)}<\delta 2^{p}\const
2^{-p}=\const\delta$. Innen k\"ovetkezik, hogy az $\e'$, $\delta$
\'es $p$ alkalmas v\'alaszt\'as\'aval $I(G\|F_T)<\e$ el\'erhet\H o.
Az $I(G\|F)<\e$ egyenl\H otlens\'eg alkalmas konstrukci\'oval a c.)
esetben hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o.
\item{} A b.) eset k\"onnyen k\"ovetkezik a  {\it Nagy elt\'er\'esek
elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 13. feladat\'anak eredm\'eny\'eb\H ol.
El\'eg azt az esetet n\'ezni, ha $x=\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'$,
mert $x>\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'$ eset\'en $\supp_{t\ge0}(tx-\log
R(t))=\infty$. A vizsg\'aland\'o esetben v\'alasszuk a $G$
m\'ert\'eket, mint az $x$ pontba koncentr\'alt m\'ert\'eket. Ekkor
$I(G\|F)=-\log\mu_F({x})$, ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ m\'ert\'ek
\'altal induk\'alt m\'ert\'eket, azaz a jobboldalon az $x$ pont $\mu_F$
m\'ert\'eke van. Az eml\'{\i}tett feladatsor 13. feladat\'anak
eredm\'enye alapj\'an ez meg\-egye\-zik az (a) formula
baloldal\'an szerepl\H o szupr\'emummal.
\item{} A feladat utols\'o \'all\'{\i}t\'as\'at, azt hogy
$I(G\|F)<\supp_{t\ge0}(tx-\log R(t))+\e$ el\'erhet\H o szigor\'u
egyenl\H{o}tlens\'eggel, ha az $x$ sz\'amot kiss\'e n\"ovelj\"uk,
kiolvashat\'o a konstrukci\'ok ellen\H{o}rz\'es\'evel. De ez
k\"ovetkezik a 4. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l \'es az ut\'ana
k\"ovetkez\H{o} megjegyz\'esb\H ol is. Ezek szerint ugyanis
$I(x)<\infty$ a tekintett esetben, \'es az $I(x)$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi tulajdons\'agai alapj\'an megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
eredm\'enyt, ha az ebben a feladatban bebizony\'{\i}tott
\'all\'{\i}t\'asokat $x$ helyett $x+\e$-ra alkalmazzuk el\'eg kis
$\e>0$ sz\'ammal.
\item{11.)} Tegy\"uk fel el\H osz\"or, hogy $q_l>0$ minden $1\le l \le
k$-ra. R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk egy $x_{j_1},\dots,x_{j_n}$ sorozatot,
$x_{j_s}\in X$, $1\le s\le n$, \'es legyen $m(l)=m(l,x_{j_1},\dots,
x_{j_n})=\#\{s\: 1\le s\le n,\; x_{j_s}=x_l\}$, $1\le l\le k$. Ekkor
$\chi_n(l)=\chi_n(l,x_{j_1},\dots,x_{j_n})=\dfrac {m(l)}n$, \'es
$$
\mu^{(n)}\(x_{j_1},\dots,x_{j_n}\)=\prod_{s=1}^n p_{j_s}
=\prod_{l=1}^kp_l^{m(l)}
=\prod_{l=1}^k\frac{p_l^{m(l)}}{q^{m(l)}}\cdot\prod_{l=1}^k
q_l^{m(l)}\;.
$$
Jel\"olje $\nu^{(n)}$ a $\nu$ m\'ert\'ek $n$-szeres direkt szorzat\'at
\"onmag\'aval az $\{x_1,\dots,x_k\}^n$ szor\-zat\-t\'e\-ren.
Ekkor \"ossze\-gez\-ve az utols\'o formul\'at az \"osszes olyan
$x_{j_1},\dots,x_{j_n}$ sorozatra, melyre $n\chi(l)=m(l)$,
$l=1,\dots,k$, valamilyen el\H{o}\'{\i}rt $m(l)$, $l=1,\dots,k$,
sz\'amokkal, kapjuk, hogy
$$
\frac{\mu^{(n)}\(n\chi(1)=m(1),\dots,n\chi(k)=m(k)\)}
{\nu^{(n)}\(n\chi(1)=m(1),\dots,n\chi(k)=m(k)\)}
=\prod_{l=1}^k\(\frac{p_l}{q_l}\)^{m(l)}.
$$
Ez\'ert,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\prod_{l=1}^k \frac{p_l^{n(1+\e)q_l}}{q_l^{n(1-\e)q_l}} \\
&\qquad \le
\frac{\mu^{(n)}\((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots,(1-\e)q_k<\chi(k)
<(1+\e)q_k\)} {\nu^{(n)} \((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots,
(1-\e)q_k<\chi(k)<(1+\e)q_k\)} \\
&\qquad\qquad\qquad\le \prod_{l=1}^k
\frac{p_l^{n(1-\e)q_l}}{q_l^{n(1+\e)q_l}}.
\endalign
$$
Mivel a nagy sz\'amok t\"orv\'enye alapj\'an
$$
\dfrac12\le \nu^{(n)}\((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots,(1-\e)q_k
<\chi(k) <(1+\e)q_k\)\le 1
$$
el\'eg nagy $n$-re az el\H oz\H o becsl\'esb\H ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
&\frac12\prod_{l=1}^k\frac{p_l^{\e q_ln}}{q_l^{-\e q_ln}}
\prod_{l=1}^k\(\frac{p_l}{q_l}\)^{nq_l}
 \\ &\qquad\qquad\le \mu^{(n)}\((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots,
(1-\e)q_k<\chi(k)<(1+\e)q_k\) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\le
\prod_{l=1}^k\frac{p_l^{-\e q_ln}}{q_l^{\e q_ln}}
\prod_{l=1}^k\(\frac{p_l}{q_l}\)^{nq_l}
\endalign
$$
el\'eg nagy $n$-re. Az utols\'o egyenl\H otlens\'egben logaritmust
v\'eve \'es $n$-nel osztva megkapjuk a feladatban megfogalmazott
egyenl\H otlens\'eg\'et, ha $q_l>0$ minden $l$-re.
\item{} Ha $q_l=0$ valamilyen $l$-re, akkor a fenti becsl\'es
v\'egrehajthat\'o azzal a m\'odos\'{\i}t\'assal, hogy csak olyan
$l$ indexet vesz\"unk figyelembe a fenti sz\'amol\'asban, melyekre
$q_l\neq0$. Mivel $\chi(l)=0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az olyan
$l$ indexekre, melyekre $q_l=0$, a figyelembe vett indexeknek ez a
megszor\'{\i}t\'ase nem okoz probl\'em\'at.
 
\item{} Ha $F$ \'es $G$ k\'et v\'eges sok pontba koncentr\'alt
eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'enye, akkor legyen
$X=\{x_1,\dots,x_k\}\subset R^1$ az a legkisebb halmaz, melyre mind az
$F$ \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ mind a $G$ \'altal meghat\'arozott
$\mu_G$ m\'ert\'ekre $\mu_F(X)=1$, $\mu_G(X)=1$. Legyen
$\mu_F(\{x_l\})=p_l$, $\nu_l(\{x_l\})=q_l$, $1\le l\le k$. Ha
l\'etezik olyan $l$, melyre $p_l=0$ (\'es $q_l>0$), akkor
$I(G\|F)=\infty$ \'es el\'eg kis $\e>0$-ra
$P(\supp_x|F_n(x)-G(x)|<\e)=0$, mert $P(\supp_x|F_n(x)-G(x)|<\e)\le
P(F_n(x+0)-F_n(x-0)-q>-\e)$. Ha $p_l>0$ minden $1\le l\le k$-ra, akkor
vegy\"uk \'eszre, hogy a feladatban bizony\'\i{}tott egyenl\H
otlens\'eg bal \'es jobboldal\'an $e^{-n(I(G\|F)\pm C(\e))}$
szerepel. Ez\'ert
$$
\align
e^{-n(I(G\|F)+C(\e/k))}&\le
P\(|\chi(l)-q_l|<\frac\e k,\;\text{minden }1\le l\le k\text{-ra}\) \\
&\le P\(\sup_{-\infty<x<\infty}|F_n(x)-G(x)|<\e\)\\
&\le P\(|\chi(l)-q_l|<k\e,\;\text{minden }1\le l\le k\text{-ra}\) \\
&\le e^{-n(I(G\|F)-C(k\e))}
\endalign
$$
el\'eg nagy $n$-re. Innen k\"ovetkezik a (+1) \'es (+2)
\'all\'\i{}t\'as.
\item{12.)} A k\'{\i}v\'ant egyenl\H otlens\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy minden $r=1,\dots,k$-ra
$$
\int_{\bold C_r} \log\frac{d\nu}{d\mu}(u)\,d\nu(u)\ge
\log\frac{\nu(\bold C_r)}{\mu(\bold C_r)} \nu(\bold C_r)\;,
$$
\"Osszegezve ugyanis ezeket az egyenl\H
otlens\'egeket $k=1,\dots,r$-re megkapjuk a k\'{\i}v\'ant egyenl\H
otlens\'eget. Vi\-szont az el\H obb fel\'{\i}rt egyenl\H otlens\'eg a
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek alkalmas v\'alaszt\'as\'aval
k\"ovetkezik a 9. feladatban bebizony\'{\i}tott $I(\nu\|\mu)\ge0$
egyen\-l\H ot\-len\-s\'eg\-b\H ol. Bevezetve ugyanis a
$\mu_{r}(\BB)=\dfrac{\mu(\bold C_r\cap\BB)}{\mu(\bold C_r)}$
\'es $\nu_{r}(\BB)=\dfrac{\nu(\bold C_r\cap\BB)}{\nu(\bold C_r)}$
m\'ert\'ekeket, a bizony\'{\i}tand\'o egyen\-l\H
ot\-len\-s\'eget megkapjuk a 9. feladatban bebizony\'{\i}tott $I(\nu
\|\mu)\ge0$ \'all\'{\i}t\'asb\'ol, ha $\nu$-t $\nu_r$-rel \'es $\mu$-t
$\mu_r$-rel helyettes\'{\i}tj\"uk.
\item{} Ha $\nu$ nem abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve,
tekints\"uk az $\Cal C=(\bold C_1,\bold C_2)$,
$\bold C_1=\left\{u\:\dfrac{d\mu}{d\nu}(u)=0\right\}$, $\bold
C_2=Y\setminus\bold C_1$
partici\'ot. Ekkor $\nu_{\Cal C}$ sem abszolut folytonos a $\mu_{\Cal
C}$ m\'ert\'ekre, \'es $I(\nu_{\Cal C}\| \mu_{\Cal C})=\infty$.
Tekints\"uk
ezut\'an azt az esetet, amikor $I(\nu\|\mu)<\infty$. Ekkor valamilyen
$K_1>1>K_2>0$ \'es $N$ param\'eterek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'aljuk az $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_{N+2}\}$ partici\'ot,
$$
\bold C_l=\left\{u\:K_1+\dfrac{(K_2-K_1)(l-1)}N\le\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)
<K_1+\dfrac{(K_2-K_1)l}N\right\},\quad l=1,\dots,N
$$
$\bold C_{N+1}=\left\{u\:\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\ge K_1\right\}$,
$\bold C_{N+2}=\left\{u\:\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)< K_2\right\}$,
Megmutatjuk, hogy alkalmas $K_1$, $K_2$ \'es $N$ v\'alaszt\'assal
$\left| I(\nu\|\mu)-I(\nu_{\Cal A}\|\mu_{\Cal A})\right|\le\e$.
\item{} Ha $K_2>1$-t el\'eg nagynak, $1>K_2>0$-t el\'eg kicsinek
v\'alasztjuk az $I(\nu\|\mu)$ v\'egess\'ege miatt el\'erhetj\"uk, hogy
$\left|\int_{\bold C_{N+i}}\log\dfrac
{d\nu}{d\mu}(u)\,du\right|\le\dfrac \e4$ legyen,
$i=1,2$. Ve\-gy\"uk \'eszre, hogy ha a $\Cal C\subset Y$ olyan, hogy
$a\le \dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\le b$ minden $u\in \bold C$ pontban,
$-\infty\le a<b\le\infty$, akkor $a\le \dfrac{\nu(\bold C)}{\mu(\bold
C)}\le b$. Val\'oban, mivel $\nu(\bold C)=\int_{\bold C}
\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\,d\mu(u)$, $\int_{\bold C}
a \,d\mu(u)\le \nu(\A)\le \int_{\bold C}b\,d\mu(u)$, ahonnan
k\"ovetkezik ez az \'all\'{\i}t\'as.
\item{} A feladat elej\'en szerepl\H o egyenl\H otlens\'eg alapj\'an
$$
\dfrac\e4\ge\int_{\bold C_{N+1}}\log
\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\,du\
\ge\log \dfrac{\nu(\bold C_{N+1})}{\mu(\bold C_{N+1})}\nu(\bold
C_{N+1})\ge0\;,
$$
tov\'abb\'a
$$
\dfrac\e4\ge-\int_{\bold C_{N+2}}\log
\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\,du\ge0\;,
$$
\'es mivel $\limm_{u\to0} u\log u=0$
$$
\align
0\ge \log \dfrac{\nu(\bold C_{N+2})}{\mu(\bold
C_{N+2})}\nu(\bold C_{N+2})&=
\dfrac{\nu(\bold C_{N+2})}{\mu(\bold C_{N+2})}\log
\dfrac{\nu(\bold C_{N+2})}{\mu(\bold C_{N+2})} \mu(\bold C_{N+2}) \\
&\ge \dfrac{\nu(\bold C_{N+2})}{\mu(\bold C_{N+2})}\log
\dfrac{\nu(\bold C_{N+2})}{\mu(\bold C_{N+2})} \ge-\frac\e4\;,
\endalign
$$
ha $K_1>0$-t el\'eg kicsinek, \'es $K_2>0$-t el\'eg nagynak
v\'alasztjuk. Ez\'ert a bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'ehez
ebben az esetben azt kell megmutatni, hogy el\'eg nagy $N=N(K_1,K_2)$
sz\'amra
$$
\sum_{l=1}^N\int_{\bold C_l}\left|\log\frac
{d\mu}{d\nu}(u)-\log\frac{\mu(\bold C_l)}{\nu(\bold
C_l)}\right|\,d\nu(u)\le \frac\e2\;.
$$
Ez viszont k\"ovetkezik abb\'ol a t\'enyb\H ol, hogy el\'eg nagy
$N$-re
$$
\left|\log
\frac{d\mu}{d\nu}(u)-\log\frac{\mu(\bold C_l)}{\nu(\bold
C_l)}\right|\le \frac\e2, \quad\text{ha } u\in \bold C_l\;.
$$
V\'eg\"ul tekints\"uk azt az esetet, amikor $I(\nu\|\mu)=\infty$, de a
$\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonos
a $\mu$ m\'ert\'ekre. Ez az eset hasonl\'oan
t\'argyalhat\'o az el\H oz\H o esethez. Mivel $I(\nu\|\mu)=\infty$
v\'alaszthatunk olyan $\bold C_1$, $\bold C_2$, $\bold C_3$ halmazokat,
$\bold C_1=\left\{u\:\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)<K_1\right\}$,
$\bold C_2=\left\{u\:K_1\le\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\le K_2\right\}$,
$\bold C_3=\left\{u\:\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)>K_2\right\}$
alkalmas $K_i=K_i(\e)$-nal, $i=1,2,3$, melyekre
$\nu(\bold C_1)\ge\dfrac12$, $\int_{\bold
C_2}\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\,d\nu(u)
\ge\dfrac2\e$, $\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)>1$, ha $u\in \bold C_3$. Ekkor
$\int_{\bold C_1\cup\bold C_3}\log
\dfrac{d\nu}{d\mu}(u)\,d\nu(u)>-\log 2$. Az $I(\nu\|\mu)<\infty$
esetben t\'argyalt konstrukci\'o \'ervel\'es\'ehez hasonl\'oan kapjuk,
hogy a $\bold C_2$ halmaznak l\'etezik olyan $\bold
C_2=\bigcup\limits_{l=1}^N \BB_l$ partici\'oja, melyre
$$
\summ_{l=1}^N\log\dfrac{\nu(\BB_l)}{\mu(\BB_l)}\nu(\BB_l)
\ge\dfrac1\e+\log2\;.
$$
Ez\'ert az $\Cal C=\{\bold C_1,\bold C_3,\BB_1,\dots,\BB_N\}$ rendszer
az  $(Y,\Cal B)$ t\'er olyan partici\'oja, melyre  $I\(\nu_{\Cal
C}\|\mu_{\Cal C}\)\ge\e$. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa ebben az esetben is.
\item{13.)} Tekints\"uk az \"osszes olyan $\A$ halmazt, melyre
teljes\"ul a fenti approxim\'aci\'os \'all\'{\i}t\'as. Ny\'{\i}lv\'an
az $\bigcup\limits_{l=1}^{\infty}\Cal A_l$ uni\'o elemei ilyen
halmazok. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy az adott tulajdons\'ag\'u
halmazok $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast
k\"ozvetlen\"ul is lehet ellen\H or\'{\i}zni. P\'eld\'aul, ha az
$\A_l$, $l=1,2,\dots$, halmazok mindegyike teljes\'{\i}ti ezt a
tulajdons\'agot, akkor  az $\A=\bigcup\limits_{l=1}^\infty\A_l$
uni\'o is teljes\'{\i}ti azt. Ugyanis, minden $\e>0$-hoz l\'etezik
olyan $N=N(\e)$, melyre
$\mu_j\(\bigcup\limits_{l=1}^\infty\A_l\setminus
\bigcup\limits_{l=1}^N\A_l\)\le \dfrac\e2$, $j=1,\dots,k$, \'es minden
$\A_l$, $l=1,\dots,N$ halmazhoz l\'etezik olyan $\BB_l$ melyre
$\mu_j(\A_l\Delta\BB_l)\le\dfrac\e{2N}$, $j=1,\dots,k$. Ekkor
$\BB=\bigcup\limits_{l=1}^N \BB_l$ halmazra $\mu_j(\A\Delta\BB)\le\e$
minden $j=1,\dots,k$-ra.
\item{14.)} Tekints\"uk el\H osz\"or azt az esetet, amikor a $\nu$
m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre. A 12. feladat
eredm\'enyei alapj\'an tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik olyan $\Cal
B$ v\'eges partici\'o, melyre
$$
I(\nu\|\mu)\ge I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B}) >I(\nu\|\mu)-\e\;\quad\text
{ha } I(\nu\|\mu)<\infty\;,
$$
\'es
$$
I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})\ge \frac1\e\;\quad\text
{ha } I(\nu\|\mu)=\infty\;.
$$
Tov\'abb\'a az $I(\nu_{\Cal A_n}\|\mu_{\Cal A_n})$ sorozat monoton
n\H o, \'es a limesze kisebb vagy egyenl\H o mint $I(\nu\|\mu)$.
Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy el\'eg nagy $n$-re
$$
I\(\nu_{\Cal A_n}\|\mu_{\Cal A_n}\)\ge I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal
B})-\frac\e2\;.
$$
Legyen $\Cal B=\{\BB_1,\dots,\BB_r\}$. A 13. feladat eredm\'enye
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be fogjuk l\'atni, hogy tetsz\H oleges
$\delta>0$-ra \'es $n>n(\delta)$-ra az $\Cal
A_n=\{\A_1,\dots,\A_{p(n)}\}$ partici\'o ele\-meit $r$ oszt\'alyba lehet
sorolni \'ugy, hogy a $j$-ik $j=1,\dots,r$ oszt\'alyba tartoz\'o
$\A^{(j)}_{j(1)},\dots,\A^{(j)}_{j(s))}$, $s=s(n,j)$ halmazok
$\A_{(j)}=\A_{n,(j)}=\bigcup\limits_{l=1}^{s}\A^{(j)}_{j(l)}$
uni\'oja teljes\'{\i}ti a $\mu(\A_{(j)}\Delta \BB_j)\le \delta$
\'es $\nu(\A_{(j)}\Delta \BB_j)\le \delta$, $j=1,\dots,r$,
egyenl\H otlens\'egeket. A 13. feladat eredm\'enye alapj\'an
minden el\'eg nagy $n$-re \'es $\BB_j\in\Cal B$-re l\'etezik olyan
$\bar{\A}_{(j)}\in \Cal A_n$, ($\Cal A_n$-val jel\"olj\"uk az  $\Cal
A_n$ partici\'o elemeinek uni\'ojaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebr\'at
is.) melyre $\mu(\bar{\A}_j\Delta\BB_j)\le\dfrac\delta{4r}$,
$\nu(\bar{\A}_j\Delta\BB_j)\le\dfrac\delta{4r}$, $j=1,\dots,r$.
Ezek az $\bar{\A}_{(j)}$ halmazok nem felt\'etlen\"ul diszjunktak,
\'es az uni\'ojuk nem adja ki az eg\'esz teret, de mivel a $\BB_j$,
$j=1,\dots,r$, halmazok diszjunktak \'es az uni\'ojuk az eg\'esz
$Y$ t\'er, ez\'ert
$\mu\(\bigcup\limits_{j=1}^r\bar{\A}_{(j)}\)\ge1-\dfrac\delta4$,
$\nu\(\bigcup\limits_{j=1}^r\bar{\A}_{(j)}\)\ge1-\dfrac\delta4$,
$\mu(\bar{\A}_{(j)}\cup\bar{\A}_{(j)})\le\dfrac \delta{2r}$ \'es
$\nu(\bar{\A}_{(j)}\cup\bar{\A}_{(j)})\le\dfrac \delta{2r}$.
Defini\'aljuk az $\A_{(j)}=\bar{\A}_{(j)}\setminus
\bigcup\limits_{l=1}^{j-1}\bar{\A}_{(l)}$, $j=1,\dots,r-1$, \'es
$\A_r=Y\setminus \bigcupp_{l=1}^{r-1}\A_l$ halmazokat. Ezek az
$\A_{(j)}$ halmazok teljes\'{\i}tik a k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket.
\item{} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy el\'eg kis $\delta>0$ sz\'amot,
\'es el\'eg nagy $n$-re vezess\"uk be a $\Cal A_n$ partici\'o
$\bar{\Cal A}_n =\{\A_{(1)},\dots,\A_{(s)}\}
=\{\A_{n,(1)},\dots,\A_{n,(s)}\}$ durv\'{\i}t\'as\'at, ahol az
$\A_{(j)}$ halmazok a $\BB_j$ halmazok el\H oz\H oekben defini\'alt
approxim\'aci\'oi. Ekkor $I(\nu_{\bar{\Cal A}_n}\|\mu_{\bar{\Cal
A}_n})\le I(\nu_{\Cal A}\|\mu_{\Cal A})$, \'es mivel az $\A_{(j)}$
\'es $\BB_{(j)}$, $j=1,\dots,r$ halmazok $\mu$ \'es $\nu$
m\'ert\'eke csak $\delta$-val t\'erhet el, ez\'ert
$\left|I(\nu_{\bar{\Cal A}_n}\|\mu_{\bar{\Cal A}_n})-I(\nu_{\Cal
B}\|\mu_{\Cal B})\right| \le\dfrac\e2$, ha $\delta$-t el\'eg kicsinek
v\'alasztjuk. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa abban az
esetben, ha a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$
m\'ert\'ekre.
\item{} Az az eset, amikor a $\nu$ m\'ert\'ek nem abszolut folytonos
a $\mu$ m\'ert\'ekre hasonl\'oan t\'argyalhat\'o, de
egyszer\H ubb. Defini\'aljuk a $\Cal B=(\BB_1,\BB_2)$ partici\'ot,
ahol
$$
\BB_1=\left\{u\: \dfrac{d\mu}{d\nu}(u)=0\right\}\;,\quad
\BB_2=\left\{u\: \dfrac{d\mu}{d\nu}(u)>0\right\}\;.
$$
Ekkor tetsz\H oleges $\delta>0$-ra \'es $n\ge n(\delta)$-ra az
$\Cal A_n$ partici\'onak van olyan $\bar{\Cal
A}=\{\bar{\A}_1,\bar{\A}_2\}$ durv\'{\i}t\'asa, melyre
$\nu(\bar{\A}_1)\ge\nu(\BB_1)-\delta$ \'es
$\mu(\bar{\A}_1)\le\delta$. Innen k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy
$I(\nu_{\Cal A}\|\mu_{\Cal A})\ge I(\nu_{\bar{\Cal
A}_n}\|\mu_{\bar{\Cal A}_n})$, \'es
$$
I(\nu_{\bar{\Cal A}}\|\mu_{\bar{\Cal A}})=
\log\dfrac{\nu(\bar{\A}_1)}{\mu(\bar{\A}_1)}\nu(\bar{\A}_1)+
\log\dfrac{1-\nu(\bar{\A}_1)}{1-\mu(\bar{\A}_1)}
(1-\nu(\bar{\A}_1))\ge\dfrac1\e\;,
$$
ha $\delta>0$ el\'eg kicsi. Innen ad\'odik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa ebben az esetben is.
\item{15.)} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\delta_n\to0$ sorozatot. Az
$R^1$ sz\'amegyenes olyan egym\'asba skatuly\'azott (ny\'{\i}lt)
intervallumokb\'ol, egyelem\H u halmazokb\'ol \'es
k\'et f\'elegyenesb\H ol \'all\'o egym\'asba skatuly\'azott v\'eges
$\Cal A_n$ partici\'oit tekintj\"uk, melyekre az $\Cal A_n$
partici\'oban tartalmazott intervallumoknak \'es f\'elegyeneseknek a
$G$ eloszl\'as \'altal meghat\'aroztott m\'ert\'eke kisebb mint
$\delta_n$.
\item{} L\'assuk be el\H osz\"or, hogy ilyen partici\'ok
val\'oban l\'eteznek. Az $\Cal A_n$ partici\'o
meg\-konst\-ru\'a\-l\'a\-sa \'erdek\'eben tekints\"unk egy $(-\infty,
a)$, \'es $(b,\infty)$ f\'elegyenest, melyeknek a $G$ eloszl\'as
\'altal induk\'alt $\mu_G$ m\'ert\'eke kisebb mint $\delta_n$, \'es
legyenek $y_1,\dots,y_k$ azok a pontok melyekre $\mu_G(y_j)\ge
\delta$. Defini\'aljuk a a $\bar \mu_G$ m\'ert\'eket a $\bar
\mu_G(\A)=\mu_G((\A\cap[a,b])\setminus\{y_1,\dots,y_k\})$ k\'eplettel.
Ekkor minden $x\in R^1$ pontnak van olyan $(x-\eta(x), x+\eta(x))$
k\"ornyezete, melyre $\bar\mu_G\((x-\eta(x), x+\eta(x))\)<\delta$.
Ezek lefedik a (kompakt) $[a,b]$ intervallumot, ez\'ert
kiv\'alaszthat\'o ezen intervallumok k\"oz\"ul v\'eges sok, melyek
szint\'en lefedik az $[a,b]$ intervallumot. Tekints\"uk a
sz\'amegyenesnek azt a partici\'oj\'at v\'eges szakaszokra, azok
v\'egpontjaira (mint egyelem\H u halmazra) \'es k\'et f\'elegyenesre,
melyet ezen intervallumok v\'egpontjai \'es az $y_1,\dots,y_k$ pontok
hat\'aroznak meg. Az \'{\i}gy defini\'alt $\bar{\Cal A}_n$ partici\'o
nem egy pontb\'ol \'all\'o elemeinek a $\mu_G$ m\'ert\'ekes kisebb
mint $\delta$. Legyen $\Cal A_n$ a $\bar{\Cal A}_k$, $k=1,\dots n$,
partici\'ok k\"oz\"os finom\'{\i}t\'asa. Ez teljes\'{\i}ti a
k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket.
\item{} A 14. feladat eredm\'enye alapj\'an teh\'at tetsz\H oleges
$\e>0$ sz\'amra l\'etezik a sz\'am\-egye\-nes\-nek olyan egyelem\H u
halmazokb\'ol, ny\'{\i}lt intervallumokb\'ol \'es k\'et
f\'elegyenesb\H ol \'all\'o $\Cal A$ partici\'oja, melyre
$$
\align
&\left|I(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A})-I(G\|F)\right|\le\frac\e2
\quad\text {ha } I(G\|F)<\infty \\
&I(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A})>\frac2{\e}\quad \text{ha }
I(G\|F)=\infty\;,
\endalign
$$
\'es $\mu_G(A)\le\dfrac\e2$, ha $\A\in\Cal A$, \'es $\A$ nem egy
pontb\'ol \'all. (Eml\'ekeztet\H o\"ul, ha $\Cal
A=\{\A_1,\dots,\A_k\}$, akkor minden minden $\A_l\in \Cal A$,
$l=1,\dots,k$, elemnek kijel\"olj\"uk egy $x_l$ pontj\'at, \'es
az $F_{\Cal A}$ illetve $G_{\Cal A}$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt azok az
eloszl\'asok \'altal meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'enyek, melyek
az $x_l$ \'ert\'eket $p_l=\mu_F(\A_l)$ illetve $q_l=\mu_G(\A_l)$
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel veszik fel.) Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen $F$ eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi
v\'altoz\'ok. Ezek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak az
$F_n(x)=\dfrac1n\summ_{j=1}^n \xi_jI(\xi_j\le x)$ empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt. Defini\'aljuk a $\bar\xi_j$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okat a
k\"ovetkez\H o m\'odon: Ha $\xi_j\in \A_l\in\Cal A$, akkor
$\bar\xi_j=x_l$. Ekkor $\bar\xi_1,\bar\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
$F_{\Cal A}$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok,
\'es a $\bar\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
konstrukci\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy a bel\H ol\"uk
elk\'esz\'{\i}tett $\bar F_n=\bar F_{n,\Cal A}$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az $F_n(x)=\bar F_n(x)$,
$F_n(x-0)=\bar F_n(x-0)$ azonoss\'agot minden olyan $x$ pontban,
mely az $\Cal A$ partici\'oban szerepl\H o intervallumok
valamelyik\'enek v\'egpontja. Innen, \'es a $\Cal A$ elemeinek
$\mu_G$ m\'ert\'ek\'ere adott becsl\'esb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\sup_x|F_n(x)-G(x)|-\e\le \sup_x\left|\bar F_n(x)-G_{\Cal A}(x)\right|
\le\sup_x|F_n(x)-G(x)|+\e\;.
$$
Viszont a 12. feladat eredm\'enye alapj\'an
$$
-I\(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A}\)-C(u)
\le\frac1n \log P\(\sup_x\left|\bar F_n(x)-G_{\Cal A}(x)\right|>u\)\le
-I\(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A}\)-C(u)\;,
$$
alkalmas $C(u)$ f\"uggv\'ennyel, ha $n>n(u)$ melyre $C(u)\to0$,
ha $u\to0$. Az utols\'o k\'et egyenl\H otlens\'egb\H ol \'es abb\'ol
a t\'enyb\H ol, hogy  $I(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A})$ j\'ol approxim\'alja
az $I(G\|F)$ $I$-divergenci\'at, k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{16.)} Az $L=L(\e)$ sz\'amot el\'eg nagyra v\'alasztva
el\'erhetj\"uk, hogy az
$$
\bar F(x)=P(\xi_1\le x|\,\,|\xi_1|\le L)
$$
eloszl\'asf\"uggv\'eny teljes\'{\i}tse a $\supp_x|\bar F(x)-F(x)|\le\e$
\'es az $|I(G\|\bar F)-I(G\|F)|\le \e$ egyenl\H otlens\'egeket. (Az
ut\'obbi egyenl\H otlens\'eg teljes\"ul\'es\'ehez kell az a
felt\'etel, hogy a $G$ eloszl\'as egy v\'eges intervallumba van
koncentr\'alva.) Ez\'ert a 15. fel\-adat eredm\'eny\'eb\H ol ezzel a
$\bar F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny v\'alaszt\'as\'aval
k\"ovetkezik az ebben a fel\-adat\-ban fel\'{\i}rt becsl\'es az
$\supp_x|F_n(x)-G(x)|\le\eta$ esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H
us\'eg\'ere a $\{|\xi_k|\le L,\;1\le k\le n\}$ felt\'etel mellett.
\item{} A 10. feladat eredm\'enye alapj\'an a nagy elt\'er\'es t\'etel
fels\H o becsl\'es\'enek a bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz el\'eg
megmutatni, hogy minden $\e>0$-ra \'es olyan  $G$ eloszl\'asra,
melyre $a<\int u\,dG(u)<a+\e$ \'es $I(G\|F)<\inff_{t\ge 0}(ta- \log
R(t))+\e$ teljes\"ul a
$$
-\dfrac1n \log P\(\dfrac{S_n}n\in[a,b]\)\le I(G\|F)+2\e
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.
L\'etezik ugyanis olyan $G$ eloszl\'as, melyre $a<\int u\,dG(u)<a+\e$,
\'es $I(G\|F)<\inff_{t\ge0}(ta-\log R(t)+\e$. S\H ot, feltehetj\"uk,
hogy ez a $G$ eloszl\'as v\'eges intervallumba van koncentr\'alva, mert
egy el\'eg nagy $K>0$ sz\'amot v\'alasztva \'es a $G$ f\"uggv\'enyt a
$\bar G(x)=\dfrac{G(x)-G(-K)}{G(K)-G(-K)}$, $-k\le x\le K$,
helyettes\'{\i}tve olyan f\"uggv\'enyt kapunk, amelyik szint\'en
teljes\'{\i}ti a fenti egyen\-l\H ot\-len\-s\'e\-ge\-ket.
(Pontosabban, a 10. fel\-adat\-ban felhaszn\'alt eredm\'eny nem
alkalmazhat\'o abban a speci\'alis (elfajult) esetben, amikor az
$R(t)=Ee^{t\xi_1}$ minden $t\ge0$-ra \'ertelmezve van, \'es
$\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'=a$. De ezt az esetet, amikor
$P(\xi_1\le a)=1$ re\-l\'a\-ci\'o is teljes\"ul, a
{\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 13.
fel\-adat\'anak eredm\'enye le\'{\i}rja, \'es ezzel itt nem
foglalkozunk. Feltehetj\"uk tov\'abb\'a, hogy $I(G\|F)<\infty$, mert
k\"ul\"onben az \'all\'{\i}t\'as ny\'{\i}lv\'anval\'o.)
Alkalmazzuk a fel\-adat els\H o \'all\'{\i}t\'as\'at ezt az
\'all\'{\i}t\'ast kiel\'eg\'{\i}t\H o $G$ \'es $\bar F$
eloszl\'assal, $\e$ helyett $\e'=\dfrac12\(\int u\,dG(u)-a\)$
param\'eter v\'alaszt\'assal. Ekkor $\e'\le \e$, \'es ha $\e>0$ el\'eg
kicsi, akkor az $\e'\le\dfrac 12\(b-\int u\,dG(u)\)$ egyenl\H
otlens\'eg is teljes\"ul. Azt kapjuk, hogy
$$
P\(\left.\omega\: |F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta\right|
|\xi_k(\omega)|\le L,\;1\le k\le n\)\ge e^{-nI(G\|\bar F)
-nC(\eta,\e')}\;,
$$
$|IG(\|F)-I(G\|\bar F)|\le\e'$. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni azt,
hogy el\'eg kis $\eta=\eta(L)>0$-ra
$$
\left\{\omega\:\supp_x |F_n(x,\omega)-
G(x)|\le \eta,\right\}\cap \A_n \subset\left\{\omega\:
\dfrac{S_n(\omega)}n\in [a,b]\right\}\;,
$$
ahol $\A_n=\A_n(L)=\{\omega\:|\xi_k(\omega)| \le L,\;1\le k\le n\}$,
\'es $L>0$ ugyanaz a sz\'am, amelyik az el\H obb tekintett felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H us\'eg felt\'etel\'eben szerepel. Innen ugyanis
k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
P\(\dfrac{S_n(\omega)}n\in [a,b]\)&\ge
P\(\left.|F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta,\right|
|\xi_k(\omega)|\le L,\;1\le k\le n\)P(\A_n)\\
&\ge e^{-nI(G\|\bar F)-nC(\eta,\e')}P(|\xi_1|\le L)^n
\ge e^{-nI(G\|\bar F)-n \bar C(\eta,\e)}\;,
\endalign
$$
ahol $\bar C(\e)\to0$, ha $\e\to\infty$. Parci\'alis integr\'al\'assal
kapjuk, hogy $\omega\in A_n$ \'es $\left\{\omega\:\supp_x
|F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta,\right\}$ eset\'en
$$
\align
\left|\frac{S_n(\omega)}n-\int u\,dG(u)\right|&=\left|\int
u\,dF_n(u,\omega)-\,dG(u)\right| \\
&\le \int_{-L}^L |F_n(u,\omega)-G(u)|\, du\le L\eta\;.
\endalign
$$
Viszont el\'eg kis $\eta>0$-ra $L\eta\le\int u\,dG(u)-a$ \'es
$L\eta\le b-\int u\,dG(u)$. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{17.)} Mivel $\mu\notin\bold F$, \'es $\bold F$ z\'art, azaz
$X\setminus \bold F$ ny\'{\i}lt halmaz, ez\'ert l\'etezik az $\mu\in X$
pontnak az $\bold F$ halmazt\'ol diszjunkt $\bold
U=\{\nu\:|\nu(\BB_l)-\mu(\BB_l)|<\e,\;1\le l\le k\}$
ny\'{\i}lt k\"ornyezete, ahol $\BB_l$ az $(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o
r\'eszhalmazai. Legyen Defini\'aljuk a $\bold
G_1=\{\nu\:|\nu(\BB_l)-\mu(\BB_l)|<\e/4,\;1\le l\le k\}$ \'es
$\bold G_2=X\setminus\{\nu\:|\nu(\BB_l)-\mu(\BB_l)|\le\e/2,
\;1\le l\le k\}$ halmazokat. Ezek a $\bold G_1$, $\bold G_2$ ny\'{\i}lt
halmazok teljes\'{\i}tik
a $T_3$ tulajdons\'agban szerepl\H o felt\'eteleket.
\item{} A $\bold K=\bold K(\BB,\e)=\{\nu\:|\nu(\BB_l)-\mu(\BB)|\le\e\}$
halmaz, ahol $\BB$ az $(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o r\'eszhalmaza,
a $\mu$ pontot tartalmaz\'o z\'art halmaz. Az \"osszes ilyen halmaz
metszete szint\'en z\'art, \'es egyed\"ul a $\mu$ pontot tartalmazza.
Ez\'ert a $\{\mu\}$ halmaz z\'art.
\item{18.)} Tekints\"uk az $Y$ t\'er v\'eges $\Cal
D=\{\bold D_1,\dots,\bold D_k\}$ v\'eges partici\'oj\'at, \'es adva
k\'et $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ek az $(X,\Cal X)$
t\'eren, legyen $I(\nu_{\Cal D}\|\mu_{\Cal
D})=\summ_{l=1}^k\log\dfrac{\nu(\bold D_l)}{\mu(\bold D_l)} \nu(\bold
D_l)$ az $I(\nu\|\mu)$ m\'ert\'ek vet\"ulete a $\Cal D$ partici\'ora.
A $I(\nu_{\Cal D}\|\mu_{\Cal D})$ f\"uggv\'eny r\"ogz\'{\i}tett $\mu$
m\'ert\'ekkel mint a $\nu$ m\'ert\'ek f\"uggv\'enye folytonos, ha a
partici\'ot \'ugy v\'alasztjuk, hogy $\mu(\bold D_l)>0$ minden
$l=1,\dots,k$-ra. Viszont a 12. feladat eredm\'enye alapj\'an
v\'alaszthatunk $\Cal D_n$ partici\'oknak olyan sorozat\'at,
melyekre $\limm_{n\to\infty}I(\nu_{\Cal D_n}\|\mu_{\Cal D_n})=
\supp_n I(\nu_{\Cal D_n}\|\mu_{\Cal D_n})= I(\nu_{\Cal D}\|\mu_{\Cal
D})$. Mivel (alulr\'ol f\'elig) folytonos f\"uggv\'enyek
szupr\'emuma alulr\'ol f\'elig folytonos, innen k\"ovetkezik a
feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{19.)} Tekints\"unk egy olyan $\nu\in \bold G$ m\'ert\'eket,
melyre $I(\nu\|\mu)\le\inff_{\chi\in \bold G}I(\chi\|\mu)+\e$, \'es
te\-kint\-s\"uk ennek olyan $\bold U$ k\"ornyezet\'et, melyre $\bold
U\subset\bold G$, \'es $\bold U$ a k\"ovetkez\H o alak\'u: $\bold
U=\{\chi\:\chi\in X, |\chi(\BB_1)-\nu(\BB_l)|<\e, \;l=1,2,\dots,k\}$
alkalmas $\e>0$ sz\'ammal \'es $\Cal B=\{\BB_1,\dots,\BB_l\}$ az $Y$
t\'er alkalmas partici\'oja. Tekints\"uk a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekek
vet\"ulet\'et ezekre a partici\'okra. Jel\"olj\"uk ezeket $\mu_{\Cal B}$
\'es $\nu_{\Cal B}$-vel, \'es vizsg\'aljuk ezek $I$-divergenci\'aj\'at.
A 12. feladat eredm\'enye alapj\'an
$I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})=\summ_{l=1}^p \log
\dfrac{\nu(\bold B_l)}{\mu(\bold B_l)}\nu(\bold B_l)\le I(\nu\|\mu)$.
Ez\'ert a 11. feladat eredm\'eny\'et felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$I(\mu_{\Cal B}\|\nu_{\Cal B})\le\inff_{\chi\in\bold
G} I(\chi\|\mu)+\e$, \'es $\mu_n(\bold G)\ge\mu_n(\bold U)\ge
e^{-n(I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})-C(\e))}$, alkalmas $C(\e)$
sz\'ammal, ha $n\ge n(\e)$. Tov\'abb\'a, $C(\e)\to0$, ha
$\e\to0$. Ez\'ert
$$
\mu_n(\bold G)\ge \inff_{\chi\in\bold G}
e^{-n(I(\chi\|\mu)-\e-C(\e))},\quad\text{ha }n\ge n(\e)\;.
$$
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{20.)} A feladat \'all\'{\i}t\'asa kapcsol\'odik a
funkcion\'alanal\'{\i}zis egyik klasszikus eredm\'eny\'ehez, mely
szerint egy Banach t\'er du\'alis ter\'enek  z\'art egys\'egg\"ombje a
gyenge topol\'ogi\'aban kompakt. Term\'eszetesebbnek t\H unik viszont e
t\'etelre val\'o hivatkoz\'as helyett a bizony\'{\i}t\'as m\'odszer\'et
adapt\'alni. Ez a Tichonov t\'etel alkalmaz\'asa, a topol\'ogikus t\'er
ter\-m\'e\-sze\-tes be\'agyaz\'asa a $[0,1]$ intervallum (a szok\'asos
topol\'ogi\'aval) nagy sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u p\'el\-d\'a\-ny\'a\-nak
direkt szorzat\'aba. Ez ut\'obbi t\'er kompakt a Tichonov t\'etel
szerint.
\item{} Tekints\"unk az $(Y,\Cal B)$ minden m\'erhet\H o $\BB\subset
\Cal B$ r\'eszhalmaz\'ara egy $(Z_{\BB}, \Cal C_{\BB})$ teret, amelyik
a $[0,1]$ intervallum a szok\'asos topol\'ogi\'aval. Legyen ezek
direkt szorzata a szorzattopol\'ogi\'aval $(\bold Z,\Cal
C)=\prodd_{\BB\in \Cal B}(Z_{\BB},\Cal C_{\BB})$.  A $\bold Z$
t\'er felfoghat\'o mint azokb\'ol a f\"uggv\'enyekb\H ol \'all\'o
halmaz, melyek az $Y$ t\'er $\Cal B$ m\'erhet\H o halmazait k\'epezik
le a $[0,1]$ intervallumra. A $\Cal C$ topol\'ogia ny\'{\i}lt
halmazait pedig ezen a t\'eren a $\{z_{\BB_1}\in \bold
G_1,\dots,z_{\BB_k}\in\bold G_k\}$ halmazok gener\'alj\'ak, ahol
$k=1,2,\dots,$, $\BB_1,\dots,\BB_k$ az $Y$ halmaz m\'erhet\H o
halmazai, $\BB_1,\dots,\BB_k$ pedig a $[0,1]$ intervallum ny\'{\i}lt
r\'eszhalmazai. Vegy\"uk \'eszre, hogy $X\subset \bold Z$, \'es az $X$
t\'eren bevezetett $\Cal X$ $\tau$ topol\'ogia a $\bold Z$ t\'eren
defini\'alt $\Cal C$ topol\'ogia megszor\'{\i}t\'asa az $X$ t\'erre.
\'Igy az $(X,\Cal X)$ teret be\'agyaztuk egy kompakt topol\'ogikus
t\'erbe. Tudjuk, hogy egy kompakt halmaz z\'art r\'eszhalmazai szint\'en
kompaktak. Ezenk\'{\i}v\"ul azt is tudjuk (a 18. feladat eredm\'enye),
hogy minden $\mu\in X$-re az $I(\cdot\|\mu)$ $I$-divergencia alulr\'ol
f\'elig folytonos f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X)$ t\'eren. Egy alulr\'ol
f\'elig folytonos $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny $\{x\: I(x)\le R\}$ tipus\'u
n\'{\i}v\'ohalmazai z\'artak. Ezen t\'enyek alapj\'an pr\'ob\'aljuk
meg bebizony\'{\i}tani a feladat \'all\'{\i}t\'as\'at. A probl\'em\'at
az okozza, hogy az $I$-divergencia a kompakt t\'ernek csak egy $X$
r\'eszhalmaz\'an van \'ertelmezve, \'es ennek topol\'ogiai
tulajdons\'agair\'ol semmit sem tudunk. E neh\'ezs\'egen \'ugy
seg\'{\i}t\"unk, hogy az $X$ teret begy\'azzuk a $\bold Z$ egy
$\bold Z_0$ z\'art r\'eszhalmaz\'aba (ez a $\bold Z_0$ halmaz
val\'oj\'aban az $X$ t\'er lez\'artja, de erre a t\'enyre nincs
sz\"uks\'eg\"unk), \'es az $I$-divergencia f\"uggv\'enyt
kiterjesztj\"uk az $X$ halmazr\'ol a kompakt $\bold Z_0$ halmazra
\'ugy, hogy a kiterjesztett f\"uggv\'eny is alulr\'ol f\'elig
folytonos. R\'aad\'asul a kiterjesztett f\"uggv\'eny \'ert\'eke a
$\bold Z_0\setminus X$ halmazon $\infty$. E t\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem lesz neh\'ez bizony\'{\i}tani a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{} Defini\'aljuk a $\bold Z_0\subset \bold Z$ halmazt mint a
k\"ovetkez\H{o} metszetet: $\bold Z_0=\bigcapp_{\Cal U} \bold Z_{\Cal
U}$, ahol az $\Cal U$ indexhalmaz jel\"oli az $Y$ halmaz \"osszes
v\'eges partici\'oj\'at m\'erhet\H o halmazokra, \'es az $Y$ t\'er egy
$\Cal U=\{\BB_1,\dots,\BB_k\}$, $\BB_l\in \Cal B$, $l=1,\dots, k$
v\'eges partici\'oj\'ara legyen
$$
\bold Z_{\Cal U}=\left\{z\: z\in \bold Z,\;\summ_{l=1}^k z_{\bold
B_l}=1\right\}\;.
$$
Ekkor $\bold Z_0$ a $\bold Z$ halmaz z\'art r\'eszhalmaza, mivel
a z\'art $\bold Z_{\Cal U}$ halmazok metszete. A $\bold Z_0$ halmaz az
$(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o halmazain \'ertelmezett v\'egesen
additiv nem negat\'{\i}v \'ert\'ek\H u 1-re norm\'alt
halmazf\"uggv\'enyeib\H ol \'all, ez\'ert $X\subset \bold Z_0$.
\item{} Az $I$-divergencia kiterjeszt\'es\'enek \'es
tulajdons\'againak bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben jegyezz\"uk meg,
hogy ha $\nu$ \'es $\mu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek,
akkor
$$
I(\nu\|\mu)=\sup_{\Cal U} I(\nu_{\Cal
U}\|\mu_{\Cal U})=\supp_{\{\BB_1,\dots,\BB_k\}}\summ_{l=1}^k\log
\dfrac{\nu(\BB_l)}{\mu(\BB_l)}\nu(\BB_l), \quad\Cal
U=\{\BB_1,\dots,\BB_k\}
$$
ahol a szupr\'emum az $Y$ t\'er $\Cal U=\{\BB_1,\dots,\BB_l\}$ v\'eges
(m\'erhet\H o) partici\'oj\'ara v\'etetik. (Ez k\"ovetkezik a 12.
feladat eredm\'eny\'eb\H ol.) Defini\'aljuk az $I(\nu\|\mu)$
f\"uggv\'enyt (r\"ogz\'{\i}tett $\mu$ m\'ert\'ekkel) minden $\nu\in
\bold Z_0$-re, azaz akkor is, ha $\nu$ addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny az el\H obb fel\'{\i}rt
szupr\'emum seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor $I(\cdot\|\mu)$ alulr\'ol
f\'elig folytonos, mert (alulr\'ol f\'elig) folytonos f\"uggv\'enyek
szupr\'emuma. Be\-l\'at\-juk, hogy az \'{\i}gy kiterjesztett
$I$-divergenci\'ara $I(\nu\|\mu)=\infty$, ha $\nu\in \bold Z_0\setminus
X$ (\'es $\mu\in X$). Ugyanis az, hogy a pozit\'{\i}v \'ert\'ek\H u,
addit\'{\i}v $\mu$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v azzal
ekvivalens, hogy  tetsz\H oleges $\bold B_n\in \bold B$
halmazsorozatra, melyre $\BB_n\supset \BB_{n+1}$, $n=1,2,\dots$,
\'es $\bigcapp_{n=1}^\infty \BB_n=\emptyset$,
$\limm_{n\to\infty}\mu(\BB_n)=0$. Mivel $\mu\in X$, \'es $\nu\in \bold
Z_0\setminus X$, l\'etezik olyan lesz\'all\'o $\BB_n\in \Cal B$ az
\"ures halmazhoz tart\'o $\BB_n$ halmazsorozat, melyre
$\limm_{n\to\infty}\mu(\BB_n)=0$ \'es
$\limm_{n\to\infty}\nu(\BB_n)=\alpha>0$. Ez\'ert tekintve az $\Cal
U_n=\{\BB_n,Y\setminus\BB_m\}$ partici\'okat
$I(\nu\|\mu)\ge\limm_{n\to\infty}I(\nu_{\Cal U_n}\|\mu_{\Cal
U_n})=\infty$.
\item{} A fentiek alapj\'an k\"onnyen bizony\'{\i}that\'o a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.  Mivel $\bold Z_0$ a $(\bold Z,\Cal C)$ t\'er z\'art
r\'esz\-hal\-ma\-za, a $\bold Z_0$-ra kiterjesztett $I(\cdot\|\mu)$
halmaz alulr\'ol f\'elig folytonos, ez\'ert az $\A(R)=\{\nu\: \nu\in
\bold Z_0,\,I(\nu\|\mu)\le R\}$ halmaz minden $0\le R<\infty$
sz\'amra a $(\bold Z,\Cal C)$ t\'er z\'art, ez\'ert kompakt
r\'eszhalmaza. Viszont $\A(R)\subset X$. Innen nem neh\'ez bel\'atni,
hogy $\A(R)$ nemcsak a $(\bold Z,\Cal C)$ t\'eren, hanem annak
megszor\'{\i}t\'as\'an az $(X,\Cal X)$ t\'eren is kompakt.
\item{21.)} Mint az el\H oz\H o feladatban l\'attuk, az $(X,\Cal X)$
t\'er be\'agyazhat\'o egy kompakt $T_2$  t\'erbe. (A $[0,1]$ t\'er
\"onmag\'aval vett nagy p\'eld\'anysz\'am\'u direkt szorzat\'aba.) A
topol\'ogia standard eredm\'enyei alapj\'an egy kompakt $T_2$ t\'er
$T_4$ t\'er. (Tetsz\H oleges k\'et diszjunkt z\'art halmaznak l\'etezik
diszjunkt ny\'{\i}lt k\"ornyezete.) Egy $T_4$ t\'er egyben $T_\rho$
t\'er, \'es annak tetsz\H oleges altere, teh\'at p\'eld\'aul az
$(X,\Cal X)$ t\'er is $T_\rho$ t\'er.
\item{22.)} V\'alasszunk minden $\nu\in\bold K$ m\'ert\'ekre a $\nu$
m\'ert\'eknek egy olyan $\bold G(\nu,\e)$ ny\'{\i}lt
k\"or\-nye\-ze\-t\'et, melyre $\liminff_{n\to\infty}-\dfrac1n\log
(\bold G,\nu)<I(\nu)-\e$. Ezen halmazok lefedik a $\bold K$ halmazt.
Vegy\"uk a $\bold K$ halmaznak egy ilyen halmazokb\'ol \'all\'o v\'eges
$\bold G (\nu_1,\e),\dots,\bold G(\nu_m,\e)$ fed\'es\'et. Ekkor el\'eg
nagy $n$ indexre
$$
\bold Q_n(\bold K)\le \summ_{l=1}^m\bold Q_n(\bold G_l)\le
\const\supp_{1\le k\le m} e^{-n(I(\nu_k)-2\e)}\le \const \supp_{\nu\in
\bold K}e^{-n(I(\nu)-2\e)}.
$$
Innen k\"ovetkezik a (iii$'$) tulajdons\'ag.
\item{} L\'assuk be, hogy az $I(\cdot\|\mu)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti
a feladat felt\'eteleit. Az $I(\cdot\|\mu)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol
f\'elig folytonos a 18. feladat eredm\'enye alapj\'an. Te\-kint\-s\"uk
az $Y$ t\'er egy alkalmas v\'eges $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold
C_k\}$ partici\'oj\'at, vegy\"unk  egy kis $\delta>0$ sz\'amot, \'es
defini\'aljuk egy $\nu\in X$  pont alkalmas ny\'{\i}lt k\"ornyezet\'et
a k\"ovetkez\H o m\'odon: $\bold G(\nu,\e)=\{\chi\: \chi\in X,
|\chi(\bold C_j)-\nu(\bold C_j)|<\delta,\;j=1,\dots k\}$,
$\delta=\delta(\e)$. A 12. fel\-adat eredm\'enye alapj\'an
alkalmas $\Cal C$ partici\'o v\'alaszt\'as\'aval
el\'erhet\H{o}, hogy az $I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})\ge
I(\nu\|\mu)-\dfrac \e2$ ha $I(\nu\|\mu)<\infty$, \'es $I(\nu_{\Cal
C}\|\mu_{\Cal C})>\dfrac1\e$, ha $I\nu\|\mu)=\infty$
egyenl\H{o}tlens\'egek teljes\"uljenek. M\'asr\'eszt
a 11. fel\-adat\-ban bizony\'{\i}tott (3) egyenl\H{o}tlens\'eg
jobb\-ol\-da\-la alapj\'an $\bold Q_n(\bold G(\nu,\e))
<e^{-n(I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})-\e/2)}$, ha a
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'amot el\'eg kicsinek v\'alasztjuk, \'es
$n\ge n(\delta)$. (Jelen esetben a (3) formul\'at\'ol elt\'er\H{o}
jel\"ol\'est haszn\'alunk. A $\bold Q_n(\bold G(\nu,\e))$ kifejez\'es
j\'atssza a (3) formul\'aban szerepl\H{o} $\mu^{(n)}(\cdot)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg sze\-re\-p\'et, \'es ott $\delta=\delta(\e)$-t
\'{\i}runk $\e$ helyett. Tov\'abb\'a a $\mu^{(n)}(\cdot)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a (3) formul\'aban adott fels\H{o}
becsl\'es a mostani jel\"ol\'esben a $e^{-nI(\nu\|\mu)-nC(\delta)}$
kifejez\'essel egyenl\H{o}.) Ez\'ert
$\liminff_{n\to\infty}-\dfrac1n\log \bold Q_n(\bold G(\nu,\e))\ge
I(\nu\|\mu)-\e$, ha $I(\nu\|\mu)<\infty$, \'es na\-gyobb mint
$\dfrac1\e$, ha $I(\nu\|\mu)=\infty$.
\item{23.)} Tetsz\H oleges $\Cal C\in \Cal C^*$-ra, $\e\ge0$-ra
$$
\mu^{(n)}(\mu_n\in \bold F)\le \mu^{(n)}\({\mu_n}_{\Cal C}\in \bold
F_{\Cal C}\)\le \mu^{(n)}\({\mu_n}_{\Cal C}\in\[\bold F_{\Cal C}\]\)
\le\sup_{\nu\in \[\bold F_{\Cal C}\]} e^{-n(I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal
C})-\e)}\;,
$$
ha $n>n(\e,\Cal C)$. Ez p\'eld\'aul k\"ovetkezik a 22. feladat
eredm\'eny\'eb\H ol, \'es abb\'ol a t\'enyb\H ol, hogy $\[\bold F_{\Cal
C}\]$ kompakt halmaz az $(X_{\Cal C},\Cal A_{\Cal C})$ t\'eren.
(Egy\'ebk\'ent ez az egyen\-l\H ot\-len\-s\'eg elemien is levezethet\H
o.) Innen logaritmust v\'eve kapjuk, hogy
$$
\liminf_{n\to\infty}-\frac1n \log\mu^{(n)}(\mu_n\in \bold F)\ge
\inf_{\nu\in \[\bold F_{\Cal C}\]} I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\;.
$$
Szupr\'emumot v\'eve $\Cal C\in \Cal C^*$-re kapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.
\item{24.)} Tekints\"unk egy $L> \supp_{\Cal C\in\Cal
C^*}\inff_{\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]}I\(\nu_{\Cal C}
\|\mu_{\Cal C}\)$ sz\'amot. A (4) formul\'aban szerepl\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy
ez az $L$ sz\'am fels\H o becsl\'es az egyenl\H otlens\'eg
jobboldal\'ara is. Ennek \'erdek\'eben el\H osz\"or l\'assuk be azt,
hogy l\'etezik olyan $\nu\in (X,\Cal A)$, melyre $\nu_{\Cal
C}\in\[\bold F_{\Cal C}\]$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$-re, \'es
$I(\nu\|\mu)\le L$. Viszont nem \'all\'{\i}tjuk, --- legal\'abbis
egyel\H{o}re, --- hogy a $\nu\in\bold F$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.
\item{} A $\bold D_{\Cal C}=\left\{\nu: \nu\in X,\; \nu_{\Cal
C}\in\[\bold F_{\Cal C}\],\; I(\nu \|\mu)\le L\right\}$ halmaz kompakt
minden $\Cal C\in\Cal C^*$-ra, mivel a 20. feladat alapj\'an egy
kompakt \'es egy z\'art halmaz metszete. (A $\{\nu\:\nu\in X, \nu_{\Cal
C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]\}$ halmaz z\'art. Ez k\"ovetkezik abb\'ol,
hogy a $\nu\to\nu_{\Cal C}$ lek\'epez\'es folytonos.) Tov\'abb\'a a
$\bold D_{\Cal C}$ halmaz nem \"ures, mivel l\'etezik olyan $\nu_{\Cal
C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]$, melyre $I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})\le
L$, \'es arra a $\nu\in X$ m\'ert\'ekre, melyet a $\nu(\bold
D)=\dfrac{\mu(\bold D)}{\mu(\bold C_l)}\nu_{\Cal C}(x_l)$,
$l=1,\dots,k$, k\'eplet defini\'al, ha $\bold D\subset \bold C_l$,
ahol $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}$, \'es $x_l$ a $\bold
C_l$-hez rendelt pont, $I(\nu\|\mu)=I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})\le
L$. Tov\'abb\'a az \'{\i}gy defini\'alt $\nu$ m\'ert\'ek ,,vet\"ulete"
a $\Cal C$ partici\'ora a fenti $\nu_{\Cal C}$ m\'ert\'ek, amelyik
eleme az $\[\bold F_{\Cal C}\]$ halmaznak. Azt akarjuk bel\'atni, hogy
$\bigcapp_{\Cal C\in \Cal C^*} \bold D_{\Cal C}\neq \emptyset$. A
$\bold D_{\Cal C}$ halmazok kompakts\'aga miatt el\'eg azt bel\'atni,
hogy v\'eges sok $\bold D_{\Cal C_1}$,\dots, $\bold D_{\Cal C_p}$
halmaz metszete nem \"ures. Legyen $\bar {\Cal C}$ olyan v\'eges
partici\'o, mely finomabb mint a $\Cal C_1,\dots,\Cal C_p$ partici\'ok
mindegyike, \'es legyen $\nu\in\bold D_{\bar{\Cal C}}$. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy ekkor $\nu\in\bold D_{\Cal C_l}$ minden
$l=1,\dots,p$-re. Ehhez azt kell bel\'atni, hogy mivel $\Cal C_k$
durv\'{\i}t\'asa a $\bar {\Cal C}$ partici\'onak, ha $\nu_{\bar{\Cal
C}}\in\[\bold F_{\bar{\Cal C}}\]$, akkor $\nu_{\Cal C_l}\in\[\bold
F_{\Cal C_l}\]$. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy ha $\nu_{\bar{\Cal C}}\in\[\bold
F_{\bar{\Cal C}}\]$, akkor l\'etezik olyan $\nu^{(n)}\in X$,
$n=1,2,\dots$, m\'ert\'eksorozat, melyre $\nu^{(n)}_{\bar{\Cal C}}
\in \bold F_{\bar{\Cal C}}$, azaz $\nu^{(n)}_{\bar{\Cal C}}$ eleme a
$\bold F_{\bar{\Cal C}}$ halmaznak \'es nemcsak annak lez\'artj\'anak,
\'es $\limm_{n\to\infty}\nu^{(n)}(x_l)=\nu_{\bar{\Cal
C}}(x_m)$ minden $m=1,\dots,p$-re, ahol $\bar{\Cal C}=\{\bar{\bold
C}_1,\dots,\bar{\bold C}_p\}$, \'es $x_m$ a $\bar{\bold C}_m$ halmazhoz
rendelt pont. Mivel a $\Cal C_l$ partici\'o elemei ilyen (diszjunkt)
$\bar{\bold C}_m$ halmazok uni\'oi, innen k\"ovetkezik, hogy
$\nu^{(n)}_{\Cal C_l}\in \bold F_{\Cal C_l}$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\nu^{(n)}_{\Cal C_l}=\nu_{\Cal C_l}$. Ez\'ert
$\nu_{\Cal C_l}\in\[\bold F_{\Cal C_l}\]$.
\item{} Legyen $\nu\in \bold D_{\Cal C}$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$
partici\'ora. Ekkor, mivel $\nu\in\[\bold F_{\Cal C}\]$ minden $\Cal
C\in \Cal C^*$-ra, \'es $\bold F$ z\'art halmaz, ez\'ert $\nu\in \bold
F$. Val\'oban, ha $\nu\notin \bold F$ lenne, akkor az $(X,\Cal X)$
t\'er $T_3$ tulajdons\'aga miatt l\'etezne olyan $\Cal C=\{\bold
C_1,\dots,\bold C_k\}\in\Cal C^*$ partici\'o \'es
$\e>0$, melyre az $\bold U=\{\chi\:\chi\in X,\,|\chi(\bold
G_l)-\nu(\bold G_l)|<\e\text { minden }1\le l\le k\text{-ra}\}$ halmaz
a $\nu\in X$ pontnak, a $\bold V=\{\chi\:\chi\in X,\,|\chi(\bold
G_l)-\nu(\bold G_l)|>2\e\text { valamely }1\le l\le k\text{-ra}\}$
halmaz az $\bold F$ z\'art halmaznak a ny\'{\i}lt k\"ornyezete, \'es
$\bold U\cap\bold V=\emptyset$. Ez viszont ellentmond a
$\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]$ rel\'aci\'onak.
 
\item{}A bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H otlens\'eg jobboldala
fel\"ulr\H ol becs\"ulhet\H o a $\supp_{\Cal C\in \Cal
C^*}I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)$ kifejez\'essel egy olyan $\nu\in
X$ m\'ert\'ekkel, melyre $\nu\in \bold D_{\Cal C}$ minden $\Cal C\in
\Cal C^*$ partici\'ora. Mivel $\supp_{\Cal C\in \Cal C^*}I\(\nu_{\Cal
C}\|\mu_{\Cal C}\)\le I(\nu\|\mu)\le L$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$-ra,
innen k\"ovetkezik a (4) formul\'aban fel\'{\i}rt
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg. V\'eg\"ul a (4) formul\'aban fel\'irt
azonoss\'ag a 12. feladat k\"ovetkezm\'enye.
\item{} A 23. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l  \'es a 24. feladatban m\'ar
bebizony\'{\i}tott (4) formul\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik a  nagy
elt\'er\'es t\'etel iii.) tulajdons\'aga a Sanov t\'etel
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en.
\item{25.)} Mutassuk meg el\H osz\"or azt, hogy az $\bold F$ halmaz
z\'art, azaz, ha  $\nu\notin \bold F$, akkor l\'etezik a $\nu$ pontnak
olyan $\bold U(\nu)$ k\"ornyezete, melyre $\bold U(\nu)\cap \bold
F=\emptyset$.  Minden  $\nu\in X$-re l\'etezik olyan $\e>0$, melyre
$\nu(\{(0,\e)\})\le\frac13$. Ez\'ert az $\bold F$ halmaz \'es a $\nu\in
X$ pont $\bold U_1(\nu)=\left\{\chi:
\left|\chi(\{(0,\e)\})-\nu(\{(0,\e)\})\right|<\frac13\right\}$
k\"ornyezet\'enek a metszete v\'eges. Legyen $N=[\e^{-1}]$,
ahol $[\cdot]$ eg\'esz r\'eszt jelent. Ekkor $n>N$ indexre
$\mu_n\notin\bold U_1(\nu)$. V\'alasszunk minden
$k\le N$ indexre olyan $\e_k>0$ sz\'amot, melyre vagy
$\left|\nu\(\left\{\dfrac1k\right\}\)-
\mu_k\(\left\{\dfrac1k\right\}\)\right|>\e_k$ vagy
$\left|\nu\(\left\{\dfrac34\right\}\)-
\mu_k\(\left\{\dfrac34\right\}\)\right|>\e_k$. Mivel $\nu\neq\mu_k$ ez
lehets\'eges. Legyen $\e=\min\limits_{k\le N}\e_k$, \'es defini\'aljuk
az
$$  \allowdisplaybreaks
\align
U_2(\nu)&=\left\{\chi\: \left|\chi\(\left\{k^{-1}\right\}\)-
\nu\(\left\{k^{-1}\right\}\)\right|>\e,\;\text {ha }k\le N\right\}
\intertext {\'es}
U_3(\nu)&=\left\{\chi\:\left|\chi\(\left\{\frac34\right\}\)-
\nu\(\left\{\frac34\right\}\)\right|>\e\right\}
\endalign
$$
halmazokat. Ekkor az $U(\nu)=U_1(\nu)\cap U_2(\nu)\cap U_3(\nu)$ halmaz
a $\nu$ m\'ert\'eknek az $\bold F$ halmazt\'ol diszjunkt k\"ornyezete.
Teh\'at az $\bold F$ halmaz z\'art.
\item{} Az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz a k\"ovetkez\H o $\bar \mu_n$
m\'ert\'ekek: $\bar\mu_n(\{x_1\})=1-\frac1n$,
$\bar\mu_n(\{x_2\})=\frac1n$. Ezek a m\'ert\'ekek konverg\'alnak a
$\bar\mu$ m\'ert\'ekhez, $\bar\mu(\{x_1\})=1$, amelyik nem szerepel a
$\bar\mu_n$ m\'ert\'ekek k\"oz\"ott. Innen k\"ovetkezik,
hogy az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz nem z\'art.
\item{26.)} Tetsz\H oleges $y_1,\dots, y_k$, $y_j\in Y$, $j=1,\dots,k$
pontokra, $1\le k\le n$, \'es $j_1,\dots,j_k$, $\summ_{p=1}^k j_p=n$,
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokra defini\'aljuk a
$$
\align
\bold G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)&=\bold
G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k,n)\\
&=\left\{\mu\: \mu\in X, \;
\left|\mu(\{y_p\}-\dfrac{j_p}n\right|<\dfrac1n\right\}
\endalign
$$
halmazokat. Adva egy $\BB\subset Y$ halmaz, defini\'aljuk a
$$
\bold G=\bigcupp_{y_l\in \BB,\;1\le l\le k} \bold
G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)
$$
halmazt. Ez a halmaz ny\'{\i}lt, mert minden $\bold
G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)$ halmaz ny\'{\i}lt.
Tov\'abb\'a a $\xi_1,\dots,\xi_n$ minta \'altal meghat\'arozott $\mu_n$
empirikus m\'ert\'ekre, $\mu_n\in\bold G$ akkor \'es csak akkor, ha az
\"osszes $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke a
$\BB$ halmazban van. Ugyanis $\mu_n(\{y\})=\dfrac jn$, $0\le j\le n$
minden $y\in Y$-ra, \'es az \"osszes $\xi_j$ akkor \'es csak akkor esik
az $\A$ halmazba, ha az \'altala meghat\'arozott $\mu_n$ m\'ert\'ek
eleme valamelyik a $\bold G$ definici\'oj\'aban szerepl\H o $\bold
G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)$ halmazban.
\item{} Legyenek $\xi_1,\cdots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\mu_n$ azt az empirikus
m\'ert\'eket, melyet ezek a val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
hat\'aroznak meg. Legyen $\BB\subset [0,1]$ nem m\'erhet\H o, 0 bels\H
o \'es 1 k\"uls\H o m\'ert\'ek\H u halmaz. Ekkor az az esem\'eny, hogy
mindegyik $\xi_j$, $1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o
ebbe a halmazba esik nem m\'erhet\H o, \'es ennek az esem\'enynek nincs
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-ge. Viszont az el\H obbi \'ervel\'esben
megmutattuk, hogy l\'etezik olyan  ny\'{\i}lt $\bold G$ halmaz a
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek ter\'en, melyre ez az esem\'eny
megegyezik a $\{\mu_n\in\bold G\}$ esem\'ennyel.
 
\bye
