Az november 9-i szeminárium témája Rövid összefoglaló

Poisson eloszlás karakterisztikus függvénye. Határeloszlástételek Poisson eloszlású határértékkel.

Legyen ξ λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, azaz P (ξ = k) =

\frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, k = 0, 1, 2. . . .. Számítsuk ki ξ karakterisztikus függvényét.

Ee^{itξ} = ∑_{k=0}^{∞} e^{itk} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} = e^{−λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(λe^{it})^{k}}{k!} = exp \{λ(e^{it} − 1)\} .

Innen kiolvasható az az egyébként ismert eredmény, mely szerint két független λ és μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó összege Poisson eloszlású λ + μ paraméterrel.

Megfogalmazunk és bebizonyítunk egy határeloszlástételt, melyben a határeloszlás a Poisson eloszlás.

Legyen adva minden n = 1, 2, …, számra n független, ξ_{1,n}, …, ξ_{n,n} valószínűségi változó, melyek mindegyike 0 vagy 1 értéket vesz fel, P (ξ_{k,n} = 1) = 1 − P (ξ_{k,n} = 0) = λ_{k,n}, 1 ≤ k ≤ n. Tegyük fel, hogy ezek a λ_{k,n} értékek egy rögzített nagy n számra egyenletesen kicsik, összegük pedig körülbelül λ, azaz lim_{n→∞} sup_{1≤k≤n} λ_{k,n} = 0,

és lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} λ_{k,n} = λ. Legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k,n}. Állítás: Az S_{n} valószínűségi változók

eloszlásban konvergálnak a λ paraméterű Poisson eloszláshoz.

Bizonyítás: Számítsuk ki az S_{n} valószínűségi változó karakterisztikus függvényét.

Ee^{itS_{n}} = ∏_{k=1}^{n} Ee^{itξ_{k,n}} = ∏_{k=1}^{n} (1 − λ_{k,n} + λ_{k,n}e^{itλ_{k,n}}) .

Viszont 1−λ_{k,n}+λ_{k,n}e^{itλ_{k,n}} = 1+λ_{k,n} (e^{it} − 1) = exp {λ_{k,n} (e^{it} − 1) + α(k, n, t)λ_{k,n}^{2})} rögzitett t-re, ahol |α(k, n, t)| ≤ const. , mely konstans függhet a t változótól, de nem függ n-től és k-tól, mert 1+x = e^{x}+ᾱx^{2}, ahol ᾱ = ᾱ(x) ≤ const. egy olyan konstanssal, mely egyenletes, ha x egy rögzített véges intervallumban van. Ezt az aszimptotikát alkalmazzuk x = λ_{k,n} (e^{it} − 1) választással, és megjegyezzük, hogy x ≤ const. λ_{k,n} rögzített t-re. E képleteket felhasználva kapjuk, hogy

Ee^{itS_{n}} = exp {∑_{k=1}^{n} λ_{k,n} (e^{it} − 1) + α(k, n, t)λ_{k,n}^{2}} → exp {−λ(e^{it} − 1)} ,

mert lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} λ_{k,n} (e^{it} − 1) = λ(e^{it} − 1), és

∑_{k=1}^{n} α(k, n, t)λ_{k,n}^{2} ≤ const. ∑_{k=1}^{n} λ_{k,n}^{2} ≤ const. ( sup_{1≤k≤n} λ_{k,n}) ∑_{k=1}^{n} λ_{k,n} → 0,

ha n → ∞. Ez viszont azt jelenti, hogy az S_{n} valószínűségi változó E^{itS_{n}} karakterisztikus függvénye konvergál a λ paraméterű Poisson eloszlás karakterisztikus függvényéhez, ha n → ∞. Tehát igaz a megfogalmazott határeloszlástétel.

Megfogalmazzuk a fent bebizonyított állítás egy élesítését, mely hasonlóan bizonyítható. A bizonyítást azonban nem tárgyaljuk, hanem az nem kötelező házi feladat.

Legyen ξ_{k,j}, j = 1, …, n_{k} valószínűségi változók szériasorozata, melyek rögzített k-ra függetlenek. Tegyük fel ezenkívül azt, hogy

(i) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem-negatív egész értékeket vesznek fel, P (ξ_{k,j} = 1) = λ_{k,j}, P (ξ_{k,j} ≥ 2) = o(λ_{k,j}), 1 ≤ j ≤ n_{k}, és az o(·) egyenletes j-ben.

(ii) lim_{k→∞} sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} = 0

(iii) lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} → λ > 0

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy Poisson

eloszlású valószínűségi változóhoz λ paraméterrel,

Egy másik házi feladat

Lássuk be a (karakterisztikus függvény módszer felhasználásaával), hogy ha ξ_{λ} λ

paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, akkor a \frac{ξ_{λ} − λ}{\sqrt{λ}} valószínűségi

változók eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz λ → ∞ esetén.

Érdemes megjegyezni, hogy nem véletlen egybeesésről van szó, amikor azt látjuk, hogy mind az előző feladatban mind a centrális határeloszlástételben ugyanaz a limesz jelenik meg. Ugyanis abból, hogy független λ és μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változók összege λ + μ paraméterű Poisson eloszlás, következik, hogy nagy paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változók előállíthatóak mint független (Poisson) eloszlású valószínűségi változók összegei.

Megfogalmazok néhány további házi feladatot, melyben néhány ismert eloszlás karakterisztikus függvényét kell kiszámítani.

Ha a ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, azaz sűrűségfüggvénye f(u) = λe^{−λu}, ha u ≥ 0, f(u) = 0, ha u < 0, akkor ξ karak-

terisztikus függvénye φ(t) = \frac{λ}{λ − it}.

Ha a ξ valószínűségi változó negativ binomiális eloszlású n = 1 és p paraméterrel, 0 < p < 1, azaz P (ξ = k) = p^{k}(1 − p), k = 0, 1, 2, …, akkor ξ karakterisztikus

függvénye φ(t) = \frac{1 − p}{1 − pe^{it}}.

A következő feladat az előbbi állítás általánosítása. Ennek bizonyításához jobban kell érteni a negatív binomiális eloszlás valószínűségi tartalmát, ezért ez nem kötelező házi feladat.

Ha a ξ valószínűségi változó negativ binomiális eloszlású n és p paraméterrel, ahol

n ≥ 1 egész szám, 0 < p < 1, azaz P (ξ = k) = \binom{n + k − 1}{k}p^{k}(1 − p)^{n}, k =

0, 1, 2, …, akkor ξ karakterisztikus függvénye φ(t) = (\frac{1 − p}{1 − pe^{it}} )^{n}.

Érdemes külön tárgyalni az úgynevezett Cauchy eloszlást. Ennek sűrűségfüggvénye,

\frac{1}{π} \frac{1}{1 + x^{2}} . Be lehet látni, hogy ennek karakterisztikus függvénye ∫ \frac{e^{itx}}{π(1 + x^{2})} dx = e^{−|t|}.

Ennek az integrálnak a kiszámolása nem triviális, bizonyos komplex függvénytani ismereteket (rezidium számítás) igényel, ezért még nem kötelező házi feladatként sem tárgyaljuk. Viszont érdemes észrevenni ennek a feladatnak a következő következményét: Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} független Cauchy eloszlású valószínűségi változók sorozata, és tekint-

sük ezen η_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} változók átlagát. Számítsuk ki η_{n} karakterisztikus függvényét.

Egyszerű számolás adja, hogy η_{n} karakterisztikus függvénye e^{−|t|}, tehát az η_{n} átlag eloszlása megegyezik a ξ_{k}, k = 1, 2, …, összedandók eloszlásával. Ez azt is jelenti, hogy ebben a példában nem teljesül a nagy számok törvénye. Megjegyzem, hogy a fenti eloszlásról szóló állítás direkt módon, sűrűségfüggvények konvoluciójának kiszámításával is bizonyítható, ez azonban igen fáradságos. Vegyük észre, hogy a sztochasztikus konvergencia szükséges és elégséges feltételét kimondó tétel feltételeit a Cauchy eloszlás nem teljesíti. Valóban, ha F jelöli a Cauchy eloszlás eloszlásfüggvényét, akkor

lim_{x→∞} x[1 − F (x) + F (−x)] = lim_{x→∞} 2x ∫_{x}^{∞} \frac{1}{π(1 + u^{2})} du = \frac{2}{π} > 0.

Valószínűségi változók összegének szorzatának a várható értéke.

Tekintsünk ξ_{1}, …, ξ_{k} valószínűségi változókat egy (Ω, A, R) valószínűségi mezőn. Mint azt már többször hivatkoztunk rá, ekkor E(ξ_{1} + ⋯ + ξ_{k}) = Eξ_{1} + Eξ_{2} + ⋯ + Eξ_{k}. Továbbá, ha ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók, akkor Eξ_{1} ⋯ ξ_{k} = Eξ_{1} ⋯ Eξ_{k}. A bevezető előadásban szerepelt ez az eredmény abban a speciális esetben, ha a ξ_{j}, j = 1, …, k valószínűség változók diszkrétek, azaz legfeljebb megszámlálható sok értéket vehetnek fel. Az általános eset visszavezethető erre az esetre alkalmas határátmenettel. Érdemes tárgyalni, hogyan lehet ezt a határátmenetet elvégezni. Felsoroljuk a legfontosabb eredményeket, melyek segítenek az ilyen határátmenet végrehajtásában. Ezek az úgynevezett Lebesgue (dominated convergence) tétel, a Beppo–Levy tétel és a Fatou lemma.

Lebesgue tétel. Legyen f_{n}, n = 1, 2, …, mérhető függvények sorozata egy (X, X , μ) mértéktéren. Tegyük fel, hogy lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban, és létezik olyan “domináns” g függvény az (X, X , μ) téren, melyre |f_{n}(x)| ≤ g(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban minden n = 1, 2, …, indexre, és ∫ g(x) dμ(x) < ∞. Ekkor lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x) dμ(x) = ∫ f_{0}(x) dμ(x).

Beppo-Levy tétel. Legyen f_{n}, n = 1, 2, …, mérhető függvények sorozata egy (X, X , μ) mértéktéren. Tegyük fel, hogy az f_{n}(x) sorozat monoton növekszik, azaz f_{1}(x) ≤ f_{2}(x) ≤ f_{3}(x) ≤ ⋯ majdnem minden x ∈ X pontban. Legyen lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x) az f_{n}

függvények limesze. Tegyük fel, hogy teljesül az ∫ f_{1}(x) dμ(x) > −∞ feltétel. Ekkor lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x) dμ(x) = ∫ f_{0}(x) dμ(x). Ez úgy értendő, hogy amennyiben lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x) =

∞, akkor ∫ f_{0}(x) dμ(x) = ∞.

Fatou lemma. Legyen f_{n}, n = 1, 2, …, mérhető függvények sorozata egy (X, X , μ) mértéktéren. Tegyük fel, hogy lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban, és létezik olyan “alsó korlát” g függvény az (X, X , μ) téren, melyre f_{n}(x) ≥ g(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban minden n = 1, 2, … indexre, és ∫ g(x) dμ(x) > −∞. Ekkor lim inf_{n→∞} ∫ f_{n}(x) dμ(x) ≥ ∫ f_{0}(x) dμ(x).

A fenti tételekben szereplő feltételek jobb megértése érdekében tekintsük a következő példát. Legyen (X, X , μ) a (0, 1] intervallum, rajta a Borel σ-algebra, és Lebesgue mérték a μ mérték. Definiáljuk a következő f_{n}(x), n = 1, 2, …, függvényeket ezen a

téren. f_{n}(x) = n, ha 0 < x ≤ \frac{1}{n}, f_{n}(x) = 0, ha \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1. Ekkor lim_{n→∞} f_{n}(x) =

f_{0}(x) minden x ∈ (0, 1] pontban, ahol f_{0}(x) ≡ 0. Ekkor ∫ f_{n}(x) dμ(x) = 1 minden n = 1, 2, …, számra, és ∫ f_{0}(x) dμ(x) = 0. Ekkor a Lebesgue tétel és a Beppo–Levy tétel nem feltételei teljesülnek, a Fatou lemma feltételei pedig teljesülnek.

Legyen f_{n}(x) = −\frac{1}{x}, ha 0 < x ≤ \frac{1}{n}, és f_{n}(x) = 0, ha \frac{1}{n} < x ≤ 1, n = 1, 2, . . .. Ekkor ez egy monoton függvénysorozat, melyre lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x), f_{0}(x) ≡ 0. Ekkor

∫ f_{n}(x) dx = −∞ minden n = 1, 2, …, számra, és ∫ f_{0}(x) dx = 0. Ekkor a Beppo–Levy tételben szereplő feltételek közül az ∫ f_{0}(x) dμ(x) > 0 nem teljesül.

Lássuk be, hogy független valószínűségi változók szorzatának a várható értéke megegyezik a várható értékek szorzatával. Tekintsük először azt az esetet, amikor mindegyik ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változó pozítiv. Minden n = 1, 2, …, számra tekintsük ezeknek a valószínűségi változóknak következő diszkretizáltjait.

ξ_{j}^{(n)}(ω) = p2^{−n}, ha p2^{−n} ≤ ξ_{j}(ω) < (p + 1)2^{−n}, p = 0, 1, 2, …, n = 1, 2, …,

minden 1 ≤ j ≤ k indexre. Ekkor egyrészt Eξ_{1}^{(n)} ⋯ ξ_{k}^{(n)} = Eξ_{1}^{(n)} ⋯ Eξ_{k}^{(n)}, mert diszkrét valószínűségi változókra tudjuk az állítást. Másrészt a ξ_{j}^{(n)} valószínűségi változók rögzített j-re az n paraméter monoton függvényei, és ugyanez igaz a szorzatukra is. Ezért a Beppo–Levy tétel lehetővé teszi a határátmenet elvégzését, ahonnan kapjuk az állítást nem negatív valószínűségi változók esetén. Az általános eset erre könnyen visszavezethető erre az esetre a ξ_{j} = ξ_{j}^{+} − ξ_{j}^{−}, 1 ≤ j ≤ k, ξ_{j}^{+}(ω) = max(ξ_{j}(ω), 0), ξ_{j}^{−}(ω) = − min(ξ_{j}(ω), 0) felbontás segítségével. Érdemes megjegyezni, hogy elég csak a E|ξ_{j}| < ∞ feltételeket feltenni ahhoz, hogy a szorzat abszolut értékének a várható értéke véges legyen.

Centrális határeloszlástétel.

A centrális határeloszlástétel független és nem feltétlenül egyforma eloszlású valószínűségi változók összegére is igaz, ha ezek a valószínűségi változók teljesítenek alkalmas feltételeket. A bizonyítás gondolata a következő: Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független

valószínűségi változók sorozata, Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = σ_{k}^{2}, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2}. Azt

akarjuk belátni, hogy az \frac{S_{n}}{s_{n}} valószínűségi változóknak van határeloszlása. Jegyezzük

meg, hogy a tekintett normalizálás a természetes, mert E \frac{S_{n}}{s_{n}} = 0 és E (\frac{S_{n}}{s_{n}} )^{2} =

1. Azt kell belátnunk, hogy az φ_{n}(t) = Ee^{itS_{n}/s_{n}} karakterisztikus függvények konvergálnak egy az origóban folytonos ψ(t) függvényhez. Viszont φ_{n}(t) = Ee^{itS_{n}/s_{n}} =

∏_{k=1}^{n} Ee^{itξ_{k}/s_{n}}. E szorzat aszimptotikájának vizsgálatához az egyes tényezők jó aszimp-

totikájának ismeretére van szükségünk. Az érdekes, minket érdeklő esetekben s_{n} → ∞,

ha n → ∞. Ekkor a \frac{t}{s_{n}} argumentumok kicsik, ezért természetes azt várni, hogy az

ρ_{k}(t) = Ee^{itξ_{k}/s_{n}} tagokra jó aszimptotikát ad a Taylor sorfejtés. Az origóban vett deriváltakat ki tudjuk fejezni a a ξ_{k} valószínűségi változó momentumaival. Azt kapjuk,

hogy Ee^{itξ_{k}/s_{n}} = 1 + 0 · t − \frac{σ^{2}t^{2}}{2s_{n}^{2}} + elhanyagolható hiba = e^{−σ^{2}t^{2}/2s_{n}^{2}+elhanyagolható hiba},

mert log(1 + x) ∼ x kis x számokra. Ezeket összeszorozva φ_{n}(t) = Ee^{itS_{n}/s_{n}} =

∏_{k=1}^{n} Ee^{itξ_{k}/s_{n}} ∼ e^{−(σ_{1}^{2}+···+σ_{n}^{2})/2s_{n}^{2}} = e^{−t^{2}/2}. Ha a fenti számolást el tudjuk végezni,

azaz az előforduló hibák elhanyagolhatóak, akkor megkapjuk a kívánt eredményt.