A MÁJUS 7.-I DOLGOZAT FELADATAI

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyek közül ξ λ paraméterű és η μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, azaz a ξ valószínűségi változó f(·) sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f(x) = 0, ha x < 0, az η valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye g(x) = μe^{−μx}, ha x > 0, g(x) = 0, ha x < 0, továbbá λ > 0, μ > 0 és λ ≠ μ. Számítsa ki a ξ+η összeg sűrűségfüggvényét.

2.) Legyen a (ξ, η) kétdimenziós véletlen vektor eloszlása egyenletes a (0, 0), (0, 1), (2, 0) csúcspontok által meghatározott derékszögű háromszögben, azaz legyen sűrűségfüggvénye az f(x, y) = 1 az x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 2 egyenlőtlenséget teljesítő (x, y) pontokban, és f(x, y) = 0 egyébként. Számolja ki a ξ és η valószínűségi változók Cov (ξ, η) kovarianciáját.

3.) Legyen W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat. Definiáljuk a W̄ (t) = tW (\frac{1}{t}), t ≥ 1, sztochasztikus folyamatot. Lássa be, hogy W̄ (t), t ≥ 1, szintén Wiener folyamat.

4.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{10000} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, P (ξ_{1} =

1) = P (ξ_{1} = −1) = \frac{1}{4}, P (ξ_{1} = 0) = \frac{1}{2}, és definiáljuk az S = ∑_{j=1}^{10000} ξ_{j} és T = ∑_{j=1}^{10000} ξ_{j}^{2}

véletlen összegeket. Adjunk egy normális eloszlásfüggvény táblázat segítségével jó közelítő értéket a P (S > 100, T > 5100) valószínűségre.

5.) Feldobunk egy szabályos pénzdarabot 100-szor. Jelölje S_{100} e dobássorozat egymást követő három dobásból álló és csak fejdobást tartalmazó részsorozatainak a számát. Számolja ki az S_{100} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

6.) Mi a többváltozós normális eloszlás definiciója?

MEGOLDÁSOK.

1. Tudjuk, hogy a tekintett két független valószínűségi változó összegének a sűrűségfüggvényét az f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − y) du konvolució segítségével számíthatjuk ki. Mivel f(x) = 0, g(x) = 0, ha x < 0, ezért ebben az esetben a konvolucióban szereplő integrandus f(u)g(x − u) = 0, ha u < 0 vagy x − u < 0, azaz u ≥ x. Innen

f ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} λe^{−λu}μe^{−μ(x−u)} du = λμe^{−μx} ∫_{0}^{x} e^{−(λ−μ)u} du, ha x ≥ 0,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0. Ezért

f ∗ g(x) = \frac{λμe^{−μx}}{μ − λ} [e^{−(λ−μ)u}]_{0}^{x} = λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} ha x ≥ 0 és λ ≠ μ.

2.) Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη, Eξη = ∫ xyf(x, y) dx dy, Eξ = ∫ xf(x, y) dx dy és Eη = ∫ yf(x, y) dx dy.

Eξη = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{∞}^{∞} xyf(x, y) dx dy = ∫_{0}^{2} x (∫_{0}^{1} f(x, y)y dy) dx

= ∫_{0}^{2} x (∫_{0}^{1− \frac{x}{2}} y dy) dx = ∫_{0}^{2} x [\frac{y^{2}}{2} ]_{0}^{1− \frac{x}{2}} dx = ∫_{0}^{2} x\frac{(1 − \frac{x}{2})^{2}}{2} dx

= ∫_{0}^{2} (\frac{x^{3}}{8} − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} − \frac{8}{6} + 2 = \frac{1}{6},

Eξ = ∫_{0}^{2} (∫_{0}^{1− \frac{x}{2}} x dy) dx = ∫_{0}^{2} (x − \frac{x^{2}}{2} ) dx = 2 − \frac{8}{6} = \frac{2}{3},

Eη = ∫_{0}^{2} (∫_{0}^{1− \frac{x}{2}} y dy) dx = ∫_{0}^{2} [\frac{y^{2}}{2} ]_{0}^{1− \frac{x}{2}} dx

= ∫_{0}^{2} \frac{1 − x + \frac{x^{2}}{4}}{2} dx = \frac{1}{3} − 1 + 1 = \frac{1}{3}.

Innen, Cov (ξ, η) = \frac{1}{6} − \frac{2}{3} · \frac{1}{3} = −\frac{1}{18}. 3.) A W̄ (t) = tW (\frac{1}{t}), t ≥ 1 szintén Gauss folyamat, EW̄ (t) = 0 minden t ≥ 1 számra,

továbbá a trajektóriái folytonosak. Ezért elég ellenőrizni, hogy az EW̄ (s)W̄ (t) = min(s, t) azonosság teljesül. De EW̄ (s)W̄ (t) = st min(\frac{1}{s}, \frac{1}{t}) = min(t, s).

4.) Tekintsük a független (ξ_{i}, η_{i}) = (ξ_{i}, ξ_{i}^{2}), 1 ≤ i ≤ 10000, valószínűségi változókat.

Ekkor (S, T) = ( ∑_{i=1}^{10000} ξ_{i}, ∑_{i=1}^{10000} η_{i}), és a P (S > 100, T > 5100) valószínűséget

kiszámíthatjuk közelítőleg a többváltozós centrális határeloszlástétel segítségével. Vegyük észre, hogy ES = 0, ET = 10000Eξ_{1}^{2} = 5000, Var S = 10000(Eξ_{1}^{2} − (Eξ_{1})^{2}) = 5000, és Var T = 10000(Eξ_{1}^{4} − (Eξ_{1}^{2})^{2}) = 10000(\frac{1}{2} − \frac{1}{4}) = 2500. Továbbá Cov (S, T) = 10000Cov (ξ_{1}, ξ_{1}^{2}) = 0, ezért a többváltozós centrális határeloszlástételben megjelenő határeloszlásban független normális eloszlású valószínűségi változók együttes eloszlását kell kiszámolnunk. Innen

P (S > 100, T > 5100) = P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} > \sqrt{2}, \frac{T − ET}{\sqrt{Var T}} > 2) ∼ (ζ_{1} > \sqrt{2}, ζ_{2} > 2),

ahol ζ_{1} és ζ_{2} független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ezért P (S > 100, T > 5100) ∼ (1 − Φ(\sqrt{2}))(1 − Φ(2)).

5.) Legyen η_{i} = 1, ha az i-ik, i+1-ik és i+2-ik dobás fej, és η_{i} = 0 egyébként, 1 ≤ i ≤ 98.

Ekkor az S_{100} = ∑_{i=1}^{98} η_{i} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét

akarjuk kiszámítani. Innen

ES_{i} = ∑_{i=1}^{98} Eη_{i}, és Var S_{i} = ∑_{i=1}^{98} Var η_{i} + 2 ∑_{i=1}^{97} ∑_{j=i+1}^{98} Cov (η_{i}, η_{j}).

Viszont Eη_{i} = \frac{1}{8}, Cov (η_{i}, η_{j}) = 0, ha j ≥ i + 3, Cov (η_{i}, η_{i+1}) = Eη_{i}η_{i+1} − Eη_{i}Eη_{i+1} = \frac{1}{16} − \frac{1}{64} = \frac{3}{64}, Cov (η_{i}, η_{i+2}) = Eη_{i}η_{i+2} − Eη_{i}Eη_{i+2} = \frac{1}{32} − \frac{1}{64} = \frac{1}{64}, és Var η_{i} = \frac{1}{8} − \frac{1}{64} = \frac{7}{64}. Innen ES_{100} = \frac{98}{8}, és Var S_{100} = \frac{98·7}{64} +2·97· \frac{3}{64} +2·96· \frac{1}{64} = \frac{1460}{64}.

6.) Először definiáljuk a többváltozós standard normális eloszlású valószínűségi változó fogalmát. ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) n-változós standard normális eloszlású valószínűségi változó, ha a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók függetlenek, és standard normális eloszlásúak. Legyen A tetszőleges n × n méretű mátrix, és b = (b_{1}, …, b_{n}) ndimenziós determinisztikus vektor, ξ n-változós standard normális eloszlású vektor. Ekkor η = ξA + b n-változós, normális eloszlású valószínűségi változó. Egy n-változós véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha eloszlása megegyezik egy az előbbi módon előállított η vektor eloszlásával valamilyen A mátrixszal, b vektorral és ξ standard normális eloszlású vektorral.

Ha A n × m méretű mátrix, b m-dimenziós vektor, xi n-változós standard normális eloszlású vektor, akkor η = ξA + b (illetve tetszőleges vele azonos eloszlású véletlen vektor m-változós normális eloszlású vektor.