\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
%\nopagenumbers

\centerline{\bf A M\'AJUS 7.-I DOLGOZAT FELADATAI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$,
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$ \'es
$\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\item{2.)} Legyen a $(\xi,\eta)$ k\'etdimenzi\'os v\'eletlen vektor
eloszl\'asa egyenletes a $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$ cs\'ucspontok
\'altal meghat\'arozott der\'eksz\"og\H{u} h\'aromsz\"ogben, azaz
legyen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x,y)=1$ az
$x\ge0$, $y\ge0$, $x+2y\le2$ egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$(x,y)$ pontokban, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amolja
ki a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Cov(\xi,\eta)$ kovarianci\'aj\'at.

\item{3.)} Legyen $W(t)$, $0\le t\le1$, Wiener folyamat. Defini\'aljuk
a $\bar W(t)=tW(\frac1t)$, $t\ge1$, sztochasztikus folyamatot.
L\'assa be, hogy $\bar W(t)$, $t\ge1$, szint\'en Wiener folyamat.

\item{4.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_{10000}$ f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac14$, $P(\xi_1=0)=\frac12$, \'es
defini\'aljuk az $S=\summ_{j=1}^{10000}\xi_j$
\'es $T=\summ_{j=1}^{10000}\xi_j^2$ v\'eletlen \"osszegeket.
Adjunk egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny t\'abl\'azat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} \'ert\'eket a 
$P(S>100,T>5100)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.

\item{5.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor. Jel\"olje
$S_{100}$ e dob\'assorozat egym\'ast k\"ovet\H{o} h\'arom dob\'asb\'ol
\'all\'o \'es csak fejdob\'ast tartalmaz\'o r\'eszsorozatainak a
sz\'am\'at. Sz\'amolja ki az $S_{100}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{6.)} Mi a t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as 
definici\'oja? 

\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}

\medskip
\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$

\item{2.)} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$,
$E\xi\eta=\int xy f(x,y) \,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y) \,dx\,dy$
\'es $E\eta=\int y f(x,y) \,dx\,dy$.
$$
\align
E\xi\eta&=\int_{-\infty}^\infty\int_{\-\infty}^\infty xy f(x,y)\,dx\,dy
=\int_0^2 x\(\int_0^1f(x,y)y\,dy\)\,dx\\
&=\int_0^2 x\(\int_0^{1-\frac x2}y\,dy\)\,dx
=\int_0^2 x\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx
=\int_0^2 x\frac{\(1-\frac x2\)^2}2\,dx\\
&=\int_0^2\(\frac{x^3}8-\frac{x^2}2+\frac x2\)\,dx
=\frac12-\frac86+2=\frac16,
\endalign
$$
$$
E\xi=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} x\,dy\)\,dx
=\int_0^2\(x-\frac{x^2}2\)\,dx=2-\frac86=\frac23,
$$
$$
\align
E\eta&=\int_0^2\(\int_0^{1-\frac x2} y\,dy\)\,dx
=\int_0^2\[\frac{y^2}2\]_0^{1-\frac x2}\,dx\\
&=\int_0^2\frac{1-x+\frac{x^2}4}2\,dx=\frac13-1+1=\frac13.
\endalign
$$
Innen, $\Cov(\xi,\eta)=\frac16-\frac23\cdot\frac13=-\frac1{18}$.


\item{3.)} A $\bar W(t)=tW(\frac1t)$, $t\ge1$ szint\'en Gauss folyamat,
$E\bar W(t)=0$ minden $t\ge 1$ sz\'amra, tov\'abb\'a a trajekt\'ori\'ai
folytonosak. Ez\'ert el\'eg ellen\H{o}rizni,
hogy az $E\bar W(s)\bar W(t)=\min(s,t)$ azonoss\'ag teljes\"ul. De
$E\bar W(s) \bar W(t)=st\min(\frac1s,\frac1t)=\min(t,s)$.


\item{4.)} Tekints\"uk a f\"uggetlen $(\xi_i,\eta_i)=(\xi_i,\xi_i^2)$, 
$1\le i\le10000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor 
$(S,T)=\(\summ_{i=1}^{10000}\xi_i,\summ_{i=1}^{10000}\eta_i\)$, \'es
a $P(S>100,\,T>5100)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget 
kisz\'am\'{\i}thatjuk k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Vegy\"uk
\'eszre, hogy $ES=0$, $ET=10000E\xi_1^2=5000$, $\Var
S=10000(E\xi^2_1-(E\xi_1)^2)=5000$, \'es
$\Var T=10000(E\xi_1^4-(E\xi^2_1)^2)=10000(\frac12-\frac14)=2500$.
Tov\'abb\'a $\Cov (S,T)=10000\Cov(\xi_1,\xi^2_1)=0$, ez\'ert a 
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben 
megjelen\H{o} ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-ban 
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok egy\"uttes el\-osz\-l\'a\-s\'at kell ki\-sz\'a\-mol\-nunk.
Innen 
$$
P(S>100,\,T>5100)
=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\sqrt2,\frac{T-ET}{\sqrt{\Var T}}>2\)
\sim(\zeta_1>\sqrt 2,\zeta_2>2),
$$ 
ahol $\zeta_1$ \'es $\zeta_2$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok. Ez\'ert
$P(S>100,\,T>5100)\sim (1-\Phi(\sqrt 2))(1-\Phi(2))$.

\item{5.)} Legyen $\eta_i=1$, ha az $i$-ik, $i+1$-ik \'es $i+2$-ik
dob\'as fej, \'es $\eta_i=0$ egy\'ebk\'ent, $1\le i\le 98$. Ekkor az
$S_{100}=\summ_{i=1}^{98}\eta_i$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk kisz\'am\'{\i}tani. Innen 
$$
ES_i=\summ_{i=1}^{98}E\eta_i, \quad \text{\'es}  \quad
\Var S_i=\summ_{i=1}^{98}\Var\eta_i
+2\summ_{i=1}^{97}\summ_{j=i+1}^{98}\Cov(\eta_i,\eta_j).
$$ 
Viszont $E\eta_i=\frac18$, $\Cov(\eta_i,\eta_j)=0$, ha $j\ge i+3$,
$\Cov(\eta_i,\eta_{i+1})=E\eta_i\eta_{i+1}-E\eta_iE\eta_{i+1}
=\frac1{16}-\frac1{64}=\frac3{64}$,  
$\Cov(\eta_i,\eta_{i+2})=E\eta_i\eta_{i+2}-E\eta_iE\eta_{i+2}
=\frac1{32}-\frac1{64}=\frac1{64}$, \'es 
$\Var \eta_i=\frac18-\frac1{64}=\frac7{64}$.  Innen 
$ES_{100}=\frac{98}8$, \'es
$\Var S_{100}=\frac{98\cdot 7}{64}+2\cdot 97\cdot\frac3{64}
+2\cdot96\cdot\frac1{64}=\frac{1460}{64}$.  


\item{6.)} El\H{o}sz\"or defini\'aljuk a t\"obbv\'altoz\'os 
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o fogalm\'at. $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$
$n$-v\'altoz\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha a $\xi_1,\dots,\xi_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
standard norm\'alis eloszl\'as\'uak. Legyen $A$ 
{\it tetsz\H{o}leges}\/ $n\times n$ m\'eret\H{u} m\'atrix, 
\'es $b=(b_1,\dots,b_n)$ $n$-dimenzi\'os 
de\-ter\-mi\-nisz\-ti\-kus vektor, $\xi$ $n$-v\'altoz\'os standard 
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor. Ekkor $\eta=\xi A+b$ 
$n$-v\'altoz\'os, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o. Egy $n$-v\'altoz\'os v\'eletlen vektor akkor 
\'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha eloszl\'asa 
megegyezik egy az el\H{o}bbi m\'odon el\H{o}\'all\'{\i}tott $\eta$ 
vektor eloszl\'as\'aval valamilyen $A$ m\'atrix-szal, $b$ vektorral 
\'es $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektorral.

\medskip
\item{} Ha $A$ $n\times m$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $b$ $m$-dimenzi\'os 
vektor, $xi$ $n$-v\'altoz\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektor,
akkor $\eta=\xi A+b$ (illetve tetsz\H{o}leges vele azonos eloszl\'as\'u 
v\'eletlen vektor $m$-v\'altoz\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.





\bye
