Feladatok:

Az első két feladatban a Komlós János előadásában szereplő, az elágazó folyamatokról szóló állítások bizonyítása. Az első feladatban megadjuk az elágazó folyamat kihalásának a valószínűségét. A másodikban bizonyítjuk azt az állítást, hogy két elágazó folyamatnak Poisson eloszlású születésszámmal megegyezik a feltételes eloszlása azon feltétel mellett, hogy a folyamat kihal, feltéve, hogy a két folyamatban szereplő Poisson eloszlás paramétere között bizonyos reláció teljesül. (Ez volt az az állítás, melyről az előadó megjegyezte, hogy valószínűleg sokan ismerik, de az irodalomban nem találta meg.)

Emlékeztetőül: Egy elágazó folyamatban a kezdeti null időpontban egy ős él, akinek az egy időpntban véletlen (egész) számú utóda születik F (x) eloszlással. Legyen X_{n} az utódok száma az n időpontban. Ezek mindegyikének születik véletlen számú utóda egymástól függetlenül F (x) eloszlással az n+1 időpontban. Ezek számának az összege az n+1 időpontban élő utódok X_{n+1} száma. Azt mondjuk, hogy az elágazó folyamat kihal az n időpontig, ha X_{n} = 0. (Ekkor X_{m} = 0 minden m ≥ n-re.) Az elágazó folyamatnak a születésszáma Poisson eloszlású λ paraméterrel, ha az F (x) eloszlás Poisson eloszlású

λ paraméterrel, azaz egy F (x) eloszlású ξ valószínűségi változóra P (ξ = n) = \frac{λ^{n}}{n!} e^{−λ}.

1.) Adva egy μ mérték a nem-negatív egész számokon, melyre μ(n) = p_{n} definiáljuk az

e mértékhez tartozó H(x) = H_{μ}(x) = ∑_{n=0}^{∞} p_{n}x^{n} generátorfüggvényt. Legyen G(x)

az elágazási folyamat definicójában szereplő F (x) eloszlás (F (x) annak az eloszlása, hogy az egyes egyedeknek hány utóda születik) által meghatározott mérték generátorfüggvénye, és μ_{n} az n időpontban élő utódok X_{n} számának az eloszlása. Lássuk be, hogy a μ_{n} mérték generátorfüggvénye G^{(n)}(x), a G(x) függvény n-ik iterációja, azaz G^{(n)}(x) = \underbrace{G(G(⋯ (G}_{n}(x) ⋯)). Lássuk be, hogy annak valószínűsége, hogy

az elágazó folyamat az n időpontig kihal G^{(n)}(0). Lássuk be, hogy G(x) monoton, konvex függvény, G(1) = 1, és G′(1) = ν egy F (x) eloszlású valószínűségi változó várható értéke. Annak valószínűsége, hogy az elágazó folyamat kihal egyenlő lim_{n→∞} G^{(n)}(0)-val, ami a G(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1, egyenlet kisebb megoldása. Az elágazó folyamat akkor és csak akkor hal ki egy valószínűséggel, ha ν ≤ 1.

2.) Mutassuk meg, hogy egy elágazó folyamat λ paraméterű Poisson eloszlású szüle-

tésszámmal Markov folyamat p(j, k) = \frac{(jλ)^{k}}{k!} e^{−jλ} átmenetvalószínűséggel, ha j ≥ 1. Annak valószínűsége, hogy a folyamat az n + 1 időpontban hal ki, és az r időpontban, 1 ≤ r ≤ n, l_{r} ≥ 1 számú utód él, C(l_{1}, …, l_{n})e^{−λ}(λe^{−λ})^{l_{1}+···+l_{n}} alkalmas C(l_{1}, …, l_{n}) számmal. Ezért annak a feltételes valószínűsége, hogy a folyamat az n + 1 időpontban kihal, és az r időpontban l_{r} ≥ 1 számú utód él, kifejezhető, mint az l_{r}, 1 ≤ r ≤ n és a λe^{−λ} számok függvényeként. Legyenek λ és φ olyan valós számok, melyekre λe^{−λ} = φe^{−φ}. Tekintsük az elágazó folyamatokat Poisson eloszlású születésszámmal λ illetve φ paraméterekkel. Lássuk be először azt, hogy a két folyamat kihalási idejének a feltételes eloszlása azon feltétel mellett, hogy a folyamat kihal megegyezik. Lássuk be, hogy ennél élesebb állítás is igaz. A két folyamat feltételes eloszlása megegyezik azon feltétel mellett, hogy a folyamat kihal.

A következő két feladatban egy a Beck József előadásában javasolt feladatot, illetve egy ahhoz kapcsolódó állítást vizsgálunk. Legyen adva egy x_{n}, 0 ≤ x_{n} ≤ 1, n = 1, 2, …, számsorozat. Azt mondjuk, hogy ez az eloszlás egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, ha tetszőleges 0 ≤ a < b ≤ 1 számokra

lim_{n→∞} \frac{1}{n}#\{k: 1 ≤ k ≤ n, a ≤ x_{k} ≤ b\} → b − a ,

ahol #(A) jelöli az A halmaz számosságát.

3.) Az x_{n} sorozat akkor és csak akkor egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, ha minden k egész számra, k ≠ 0,

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{p=1}^{n} e^{2πikx_{p}} = 0 .

(Weyl lemma.)

4.) Ha α irracionális szám, akkor az n^{2}α mod (1), n = 1, 2, …, sorozat egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban.

Beck József által javasolt segítség: Azt kell belátni, hogy tetszőleges k ≠ 0 egész

számra lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{p=1}^{n} e^{2πikαp^{2}} → 0 vagy, ami ezzel ekvivalens:

I(k) = lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} |∑_{p=1}^{n} e^{2πikαp^{2}} |^{2} = lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} ∑_{p=1}^{n} ∑_{q=1}^{n} e^{2πikα(p^{2}−q^{2})}

= lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} ∑_{p=1}^{n} ∑_{q=1}^{n} e^{2πikα(p−q)(p+q)} = 0

Vezessük be a p + q = r és p − q = s új változókat, és összegezzünk először a r = p + q

változóra rögzített s = p−q-ra, és becsüljük meg a J(k, s, n) = \frac{1}{n} ∑_{r=s+2}^{2n−s} e^{2πiksαr} összeget.

Ez egy geometriai sor, amelyiket összegezve látjuk, hogy a kifejezés rögzített k-ra és s-re n → ∞ esetén nullához tart. Próbáljuk meg ennek alapján megoldani a feladatot.

További észrevételek: Ha a fenti összegre s-ben egyenletes konvergenciát tudnánk biztosítani, az elég volna a feladat megoldásához. Ezt azonban nem tudjuk, mert a geometriai összegben megjelenik az 1 − e^{2πksα} nevező. Ezért a J(k, s, n) kifejezések természetes becslése alapján nem magától értetödő, hogy valóban I(k) = 0. Hogyan birkozunk meg ezzel a nehézséggel? Egy lehetőség: Vegyük észre, hogy |J(k, n, s)| ≤ 2, és mivel a ksα sorozat egyenletes eloszlású (rögzített k-ra és α-ra), azon s számok, melyek esetén nem tudunk a J(k, s, n) kifejezésre jó becslést adni ritkán vannak. Dolgozzuk ki a részleteket!

A 4. feladatnak nem triviális általánosításait is lehet bizonyítani. Igaz a következő állítás: Ha az x_{n}, 0 ≤ x_{n} ≤ 1, sorozat olyan, hogy az x_{n+s} − x_{n} mod 1, n = 1, 2, …, sorozat minden rögzített s-re egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, akkor az eredeti x_{n} sorozat is egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban. Ebből viszonylag egyszerű levezetni a következő Weyltől származó eredményt: Legyen P (x) egy polinom, melynek legalább az egyik együtthatója irracionális. Ekkor az x_{n} = P (n) mod (1) sorozat egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban.