Feladatmegoldás:

Példa olyan gráfelméleti függvényre, amelyik minden racionális pontban szakad.

Egy \frac{1}{2} ≤ \frac{p}{q} < 1 racionális számnak tekintsük a következő szorzatreprezentációját, melyet nevezzünk mohó reprezentációnak:

\frac{p}{q} = \frac{k_{1} − 1}{k_{1}} · \frac{k_{2} − 1}{k_{2}} ⋯ \frac{k_{r} − 1}{k_{r}}

ahol k_{i} > (k_{i−1} − 1)^{2}, i = 1, 2, …, r − 1-re.

1.) Bizonyítsuk be, hogy minden \frac{1}{2} ≤ \frac{p}{q} < 1 racionális számnak van mohó reprezentációja, és az egyértelmü.

Az 1. feladat állítását elfogadva értelmes a következő definició:

Egy \frac{1}{2} ≤ \frac{p}{q} < 1 racionális számra legyen

f (\frac{p}{q}) = \frac{k_{1} − 2}{k_{1}} · \frac{k_{2} − 2}{k_{2}} ⋯ \frac{k_{r} − 2}{k_{r}} ,

ahol \frac{p}{q} = \frac{k_{1} − 1}{k_{1}} · \frac{k_{2} − 1}{k_{2}} ⋯ \frac{k_{r} − 1}{k_{r}} a racionális szám mohó reprezentációja.

2.) Bizonyítsuk be, hogy a függvény irracionális \frac{1}{2} < x < 1 számokra is határértékként kiterjeszthető, a következő módon:

f(x) = lim_{\frac{p}{q} →x} f (\frac{p}{q}) .

Azaz, a fenti határérték létezik. 3.) Bizonyítsuk be, hogy a kiterjesztett, az [1/2, 1) intervallumban értelmezett függvény

(a) szigorúan monoton növekvő,

(b) minden irracionális pontban folytonos, de

(c) minden racionális pontban szakadása van, ott csak balról folytonos.