\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
 
{\bf Feladatok:}
\medskip
Az al\'abbi feladat t\'argyal\'as\'at a szemin\'ariumon a P\'alffy P\'eter
P\'al el\H oad\'as\'anak a v\'ege sugallta.
 
Hat\'arozzuk meg az $\Cal A$, $\Cal Af(x)=x^2f(x)-\dfrac{d^2f}{dx^2}(x)$
oper\'ator saj\'at\'ert\'ekeit \'es sa\-j\'at\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-it.
\smallskip
{\it Megjegyz\'es:\/} Az $\Cal A$ oper\'ator az un.\ quantum rot\'atort
le\'\i r\'o oper\'ator. Val\'oban, egy (klasszikus) rot\'ator
(harmonikus oszcill\'ator) Hamilton f\"uggv\'enye $\Cal H=x^2+v^2$, ha a
param\'etereket alkalmasan v\'alasztjuk. Kvant\'al\'askor az $x^2$-nek az
$x^2$ szorz\'ooper\'ator, $v$-nek az $i\dfrac d{dx}$ (a Planck
\'alland\'ot egynek v\'alasztottuk), \'\i gy $v^2$-nek a
$-\dfrac{d^2}{dx^2}$ oper\'ator felel meg. Ez\'ert a $\Cal H$
kvant\'altja a $\Cal A$ oper\'ator.
\smallskip
V\'azolok egy lehets\'eges megold\'ast.
 
\medskip
L\'assuk be, hogy az $\Cal A$ oper\'ator \"onadjung\'alt
oper\'ator a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"ugg\-v\'e\-nyek
ter\'eben, melynek saj\'ataltereit alkotj\'ak minden $k$-ra a
k\"ovetkez\H o f\"uggv\'enyek: $g(x)=P_k(x)e^{-x^2/2}$,
ahol $P_k(x)$ legfeljebb $k$-fok\'u polinom. Oldjuk meg a
feladatot ennek az \'eszrev\'etelnek az alapj\'an.
A saj\'atf\"uggv\'enyben szerepl\H o polinom legmagasabb
fok\'u tagj\'anak az egy\"utthat\'oj\'at vizsg\'alva l\'assuk be, hogy
amennyiben e polinom foksz\'ama $k$, akkor a saj\'at\'ert\'ek $2k$.
\parindent=0pt \bigskip
 
Hat\'arozzuk meg az $\varphi(t)=\int _{-\infty}^\infty
e^{itx-x^{4}}\, dx$ Fourier transzform\'alt aszimptotikus
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et, ha $t\to\infty$.
Mutassuk meg, hogy ez $t\to\infty$-re aszimptotikusan
$$
 C{t^{-1/3}}\exp\left\{-\dfrac3{8\root 3\of 4}t^{4/3}\right\}\;,
$$
alkalmas $C>0$-val. Sz\'am\'\i{}tsuk ki a $C>0$ konstanst.
\bigskip
Ennek a feladatnak a megold\'asa a nyeregpont m\'odszer egy nem
trivi\'alis alkalmaz\'as\'an alapul. Besz\'elt\"unk a szemin\'ariumon
arr\'ol, hogy analitikus f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja a
v\'egtelenben exponenci\'alis gyorsan tart null\'ahoz. A feladat az,
hogy ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a bizony\'\i{}t\'as\'at
finom\'\i{}tva egy konkr\'et esetben pontos aszimptotik\'at adjunk.
Tov\'abbi k\'erd\'es: Milyen a $\varphi(t)=\int _{-\infty}^\infty
e^{itx-x^{2k}}\, dx$ Fourier transzform\'alt aszimptotikus
viselked\'ese tetsz\H oleges pozit\'\i{}v eg\'esz $k$-ra?
(E feladat megold\'as\'anak r\'eszleteit nem dolgozzuk ki, de ha
valaki a r\'esztvev\H ok k\"oz\"ul ezt m\'egis megteszi, azt
sz\'\i{}vesen meghallgatjuk.) \bigskip
{\it Megold\'asv\'azlat:}\/ A nyeregpontok, az exponensben lev\H o
$itx-x^4$ f\"uggv\'eny nullhelyei, a $t_j=i\root  3\of{\dfrac
t4}\varepsilon_j$, $j=1,\,2,\,3$ sz\'amok, ahol $\varepsilon_1=1$,
$\varepsilon_2=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$,
$\varepsilon_3=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2$. Mi a nyeregpont
szeml\'eletes tartalma, \'es mi\'ert ezek az \'erdekes pontok?
K\"onnyen l\'athat\'o, hogy a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'enek
az abszolut \'ert\'eke $t_2$ \'es $t_3$ pontban kisebb mint a $t_1$
pontban. Azt v\'arjuk, hogy az integr\'al\'asi \'ut alkalmas
\'athelyez\'es\'evel el\'erhet\H o, hogy az integr\'al e k\'et pont
k\"ornyezet\'ebe koncentr\'al\'odik. A f\H o k\'erd\'es: Hogyan
val\'os\'\i{}that\'o ez meg?
 
A nyeregpont m\'odszer megadja azt, hogy milyen ir\'anyban \'erdemes
elindulni a $t_1$ illetve $t_2$ pontb\'ol. Abban, amelyik ir\'anyban a
$\Re(-z^4+itz)$ f\"uggv\'eny a leggyorsabban cs\"okken. Ezt az ir\'anyt
a $-z^4+itz$ f\"uggv\'eny m\'asodik deriv\'altja adja meg. Hogyan? Azt
kapjuk, hogy a $t_1$ pont k\"or\"ul az abszcissza tengellyel $-30$
fokos sz\"oget bez\'ar\'o, $[u_1,u_2]$, $0<u_1<u_2$, a $t_2$ pont
k\"or\"ul pedig az abszcissza tengellyel $30$ fokos sz\"oget bez\'ar\'o
$[v_1,v_2]$, $v_1<v_2<0$, r\"ovid szakaszt \'erdemes h\'uzni. Az
\'athelyezett integr\'al\'asi \'ut tov\'abbi r\'esz\'et p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H o m\'odon \'erdemes defini\'alni. A $v_2$ \'es $u_1$ pont
k\"oz\"ott v\'\i{}zszintes szakaszt h\'uzunk, az $u_2$ illetve a $v_1$
pontb\'ol f\"ugg\"oleges szakaszt h\'uzunk, amelyik majdnem el\'eri az
abszcissza tengelyt. Innen v\'\i{}zszintes f\'elegyenesekkel megy\"unk
ki a $\pm\infty$-be. N\'emi sz\'amol\'assal ellen\H or\'\i{}zhet\H o,
hogy megfelel\H o monotonit\'asi tulajdons\'agok miatt az \'athelyezett
integr\'al a $t_1$ \'es $t_2$ pontok kis k\"ornyezet\'ebe
koncentr\'al\'odik. (\'Erdemes a vizsg\'alt f\"uggv\'eny konvexit\'asi
tulajdons\'agait is felhaszn\'alni.) Aszimptotikusan Gauss tipus\'u
integr\'alokat kapunk, ($\int e^{-Au^2}\,du$ tipus\'u integr\'alokat,
ahol az $A$ param\'eter $t$ f\"uggv\'eny\'eben tart a v\'egtelenhez, ha
$t\to\infty$.) Ezek az integr\'alok explicit kisz\'am\'\i{}that\'oak,
\'es megkapjuk a k\'\i{}v\'ant eredm\'enyt. Dolgozzuk ki a
r\'eszleteket. Hogyan lehet r\'eszletes sz\'amol\'as n\'elk\"ul
l\'atni (a konstans szorz\'ot\'ol eltekintve) a vizsg\'alt Fourier
transzform\'alt aszimptotik\'aj\'at?
 
\bye
