A 1995. évi Schweitzer verseny valószínűségfeladata,

illetve néhány mögötte levő érdekes a nagy eltérések elméletéhez tartozó kérdés.

Az 1995. évi Schweitzer verseny valószínűség feladata Legyen ξ_{k} = η_{k} + ϑ, ahol η_{k}, k = 1, 2, …, független valószínűségi változók ismert F (x) eloszlással, ϑ pedig ismeretlen paraméter. Ha az F (x) eloszlás által meghatározott mérték nem abszolut folytonos a Lebesgue mértékre nézve, akkor alkalmas α > 0 szám esetén minden ε > 0-ra létezik olyan T_{n}(x_{1}, …, x_{n}) függvény és E ⊂ R^{1} halmaz, melyre λ(E) < ε, ahol λ jelöli a Lebesque mértéket, és

P (|T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) − ϑ| ∉ E) < e^{−nα}

minden elég nagy n-re.

Ha az F (x) függvénynek létezik folytonos sűrűségfüggvénye, akkor minden α > 0 számra létezik olyan ε = ε(α) > 0 szám és n(ε, α) küszöbindex, amelyekre n > n(ε, α) és λ(E) < ε esetén tetszőleges T_{n}(x_{1}, …, x_{n}) függvényre

P (|T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) − ϑ| ∉ E) > e^{−nα} .

A feladat jobb megértése érdekében tekintsük a következő természetes jelöltet a ϑ

becslésre: T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n}(ξ_{k} − Eη_{k}). Ez a becslés még a legszebb esetekben

sem elégíti ki a feladat feltételeit. (e^{−nα} kicsiségű hiba nem lehetséges nagyon kis ε > 0 esetén.)

Legyen adva van két eloszlásfüggvény, F és G, és legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} n független egyforma eloszlású valószínűségi változó F eloszlásfüggvénnyel. Vezessük be az F_{n}(x) =

\frac{1}{n}#\{p: 1 ≤ p ≤ n, ξ_{p} < x\} empirikus eloszlásfüggvényt. Be lehet bizonyítani, hogy

−\frac{1}{n} log |F_{n}(x) − G(x)| < ε) ∼ I(G∥F) = ∫ log \frac{dG(u)}{dF (u)} dG(u) kis ε-ra és nagy n-re. Ez a

híres Sanov tétel, mely informálisan megfogalmazva azt jelenti, hogy jellemezni tudjuk, milyen (exponenciálisan kicsi) valószínűséggel viselkedik egy F eloszlású minta úgy, mintha G eloszlású minta volna. Ennek a valószínűségnek az exponensét az I(G∥F) úgynevezett I-divergencia adja meg. Ez azért érdekes a tárgyalt feladat szempontjából, mert a ϑ paraméterre akkor tudunk jó becslést adni, ha az F eloszlásfüggvény az előbbi értelemben jól megkülönböztethető eltoltjaitól. Ezt a megkülönböztethetőséget az I divergenciával lehet mérni. A feladat állítása pongyolán megfogalmazva azt jelenti, hogy egy eloszlásfüggvény akkor különböztethető meg jól eltoltjaitól, ha nem abszolut folytonos a Lebesgue mértékre nézve.

1.) Bizonyítsuk be, hogy a ϑ paraméter lokalizálható a következő értelemben: Minden α > 0-hoz lehet definiálni olyan A_{n} = A(α, ξ_{1}, …, ξ_{n}, F), B_{n} = B(α, ξ_{1}, …, ξ_{n}, F) számokat úgy, hogy P (A_{n} < ϑ_{n} < B_{n}) > 1 − e^{−nα}, és B_{n} − A_{n} < L egy determenisztikus (n-től független) L számmal.

Segítség: Legyen A_{n} = min_{1≤k≤n} ξ_{k}, B_{n} = max_{1≤k≤n} ξ_{k}, ha B_{n} − A_{n} nem túl nagy.

Lássuk be a Schweitzer feladat pozitív állítását. Vezessük be a következő jelöléseket. Legyen az F eloszlás által meghatározott μ mérték dekompoziciója μ = μ_{c} + μ_{s}, ahol μ_{c} a mérték abszolut folytonos, és μ_{s} a mérték szinguláris része. Legyen μ_{s} az A halmazra koncentrálva, azaz legyen μ_{s}(A) = c > 0, μ_{s}(R \ A) = 0, λ(A) = 0. Mivel μ(A) > 0, az F eloszlású η_{1}, …, η_{n} valószínűségi változók pozitív része esik az A halmazba. Ez akkor igaz a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) = (η_{1} + ϑ, …, η_{n} + ϑ) változókra is, ha μ(A − ϑ) > 0. Viszont majdnem minden ϑ-ra μ(A − ϑ) = 0. E tény segítségével lehet kiszűrni a nem jó ϑ értékek nagy részét. Illetve érdemes az állítást folytonosítani, hogy ϑ-t nem tartalmazó kis intervallumokat is ki tudjuk szűrni.

2.) Legyen K = {t: t ∈ R^{1}, μ(A − t) > 0}. Ekkor λ(K) = 0. Létezik olyan kompakt B ⊂ A halmaz, melyre μ(B) ≥ \frac{c}{2}. Jelölje B^{δ} = \{t: t ∈ R^{1}, ρ(t, B) < δ\} egy ilyen B halmaz δ sugarú környezetét. Lássuk be, hogy tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy a K^{ε} = {t: μ(B^{δ} − t) > ε} halmazra μ(K^{ε}) < ε, sőt ennek δ sugarú környezetére is μ ((K^{e})^{δ}) < ε.

3.) Legyen t ∈ K^{ε}, ahol K^{ε}-t az előző feladatban definiáltuk, t′ < [t − \frac{δ}{2}, t + \frac{δ}{2}]. Ekkor

a ν_{n}(t′) = #{l: 1 ≤ l ≤ n, ξ_{k} + t′ ∈ B^{δ/2}} változóra P (ν_{n}(t′) > n| log ε|^{−1}) <

2e^{−n/ε}, mivel μ(B^{δ/2} − t′) < ε. Ha t′ ∈ [−\frac{δ}{2}, \frac{δ}{2}], akkor mivel μ (B^{δ} + t′) ≥ \frac{c}{2}

P (ν_{n}(t′) < n| log ε|^{−1}) ≤ e^{−nα}.

A fenti észrevételek segítségével oldjuk meg a Schweitzer feladat első felét.

Segítség: Azon a már lokalizált intervallumon, ahol ϑ nagy valószínűséggel található tekintsünk egy sűrű rácsot, és ha t eleme a rácsnak, nézzük meg, tartalmaz-e a A^{δ}−t halmaz sok ξ_{k} pontot. Vegyük az első ilyen pontot.

Tekintsük a feladat negatív részét, annak bizonyítását, hogy amennyiben az F (x) eloszlásfüggvénynek van folytonos deriváltja (folytonos sűrűségfüggvénye), akkor nem lehet olyan jó becslést adni ϑ-ra, mint a nem abszolut folytonos esetben. Azt kell megfogalmazni és bebizonyítani, hogy ebben az esetben az F eloszlásfüggvényből, illetve annak kis eltoltjaiból származó minták nem különböztethetőek meg nagyon.

4.) Bizonyítsuk be, hogy ha F -nek van folytonos F′(x) sűrűségfüggvénye, akkor tetsző-

leges δ > 0-ra van olyan L = L(δ) szám, melyre a B(L) = \{t: |t| < L, F′(t) ≥ \frac{1}{L}\}

halmaz F eloszlás szerint meghatározott μ_{F} mértéke nagyobb mint 1 − δ. Legyen A ⊂ R^{n} olyan halmaz, amelyikre A ⊂ B(L) × ⋯ × B(L). Jelölje μ_{F_{ϑ}^{(n)}} az F (x − ϑ) eloszlás n-szeres direkt szorzata által meghatározott mértéket. Bizonyítsuk be, hogy μ_{F_{ϑ}^{(n)}}(A) ≥ e^{−nδ}μ_{F_{0}^{(n)}}(A).

5.) Bizonyítsuk be az előző feladat segítségével a Schweitzer feladat negatív felének következő gyengített változatát: Ha az F eloszlásnak létezik folytonos sűrűségfüggvénye, akkor rögzített α > 0-ra és nagyon kicsi ε = ε(α) > 0-ra nincs olyan T_{n}(x_{1}, …, x_{n}) becslés a ϑ paraméterre, melyre

P (|T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) − ϑ| < ε) > e^{−nα}.

(Azaz az E = (−ε, ε) választással nem lehet a feladat állítását teljesíteni.)

Az előző feladat bizonyítása azon alapult, hogy elég kis ε-ra nem lehet két diszjunkt halmazt találni ({(x_{1}, …, x_{n}): |T_{n}(x_{1}, …, x_{n})| < ε} és {(x_{1}, …, x_{n}): |T_{n}(x_{1}, …, x_{n})− 2ε| < ε} halmazok) az R^{n} térben, melyeknek az μ_{F_{0}^{(n)}} illetve a hozzá közel levő μ_{F_{ε}^{(n)}} szerinti mértéke nagy. A feladat bizonyításához ezt az érvet finomítani kell. Azt kell kihasználni, hogy ha az E halmaz mértéke kicsi, akkor a {|T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) − ϑ| ∈ E} halmazoknak nem lehet nagy metszete minden különböző ϑ_{1}, ϑ_{2} párra. Ezt az állítást fogjuk pontosabban megfogalmazni.

6.) Definiáljunk egy ν mértéket a számegyenesen, mint a következő feltételes eloszlást.

ν(A) = μ_{F_{0}^{(n)}} ({(x_{1}, …, x_{n}): T_{n}(x_{1}, …, x_{n}) ∈ A}| x_{j} ∈ B(L), 1 ≤ L ≤ n) .

Ekkor ν(E) > \frac{1}{2} elég nagy n-re, ahol E a Schweitzer feladatban szereplő E halmaz, ha ε > 0 elég kicsi, az L konstans pedig elég nagy a B(L) halmaz definiciójában.

Tetszőleges η > 0-ra és ε = ε(η) > 0 küszöbindexre igaz, hogy ha ν olyan mérték

a számegyenesen, melyre ν(E) > \frac{1}{2}, és λ(E) < ε, akkor létezik 0 ≤ t ≤ η, melyre

ν(E \ (E + t)) > \frac{1}{4}.

6.) Bizonyítsuk be a Schweitzer verseny állításának negatív felét is.